Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

iJohnnyCash · 16-02-07

Σε κάποιες ασκήσεις έχω παρατηρήσει ότι αρκετά συχνά βγάζω σαν συμπέρασμα ότι όταν f(x) άρτια ή περιττή ή f'(x) είναι περιττή ή άρτια αντίστοιχα, αυτό ισχύει πάντα; Αν ναι πως περίπου είναι η απόδειξη

Γιώργος · 16 Φεβρουαρίου 2007

Αρχική Δημοσίευση από Exposed_Bone:
Σε κάποιες ασκήσεις έχω παρατηρήσει ότι αρκετά συχνά βγάζω σαν συμπέρασμα ότι όταν f(x) άρτια ή περιττή ή f'(x) είναι περιττή ή άρτια αντίστοιχα, αυτό ισχύει πάντα; Αν ναι πως περίπου είναι η απόδειξη

Δώσε μου τρία λεπτά και θα κάνω edit εδώ..

edit:
Λοιπόν:

Έστω f: A -> IR, παραγωγίσιμη στο Α.
Έστω f άρτια. Τότε για κάθε χ ε Α έχουμε:

1ον: χ ε Α => -χ ε Α [ΠΡΟΣΟΧΗ!! Είναι δύο συνθήκες όχι μία]

2ον: Για κάθε χ ε Α ισχύει:

f(-x) = f(x)

=> [f(-x)]' = [f(x)]'

=> (-x)' f'(-x) = f'(x)

=> - f'(-x) = f'(x)

=> f'(-x) = - f'(x), για κάθε χ ε Α (1)

και χ ε Α => -χ ε Α (2)

[προσοχή, χρησιμοποιώ το "απλό" συνεπάγεται]

Από τα (1) και (2) έπεται ότι η f' είναι περιττή. Ανάλογη απόδειξη είναι ότι αν η f είναι περιττή τότε η f' είναι άρτια.

io-io · 16-02-07

f(x)=f(-x) => f'(x)=df(x)/dx=df(-x)/dx=f'(-x)d(-x)/dx =-f'(-x)

Κοινως, παιρνεις την παραγωγο και απο τα δυο μελη, και στο δευτερο εχεις και ενα "-" λογω του -χ.

ALEX_ · 16-02-07

Αρχική Δημοσίευση από io-io:
f(x)=f(-x) => f'(x)=df(x)/dx=df(-x)/dx=f'(-x)d(-x)/dx =-f'(-x)

Κοινως, παιρνεις την παραγωγο και απο τα δυο μελη, και στο δευτερο εχεις και ενα "-" λογω του -χ.

tanos56 · 17-02-07

Αρκεί η f:R->R να μην είναι η ταυτιτικά μηδενική, που είναι συγχρόνως άρτια και περιττή

Γιώργος · 17-02-07

Αρχική Δημοσίευση από tanos56:
Αρκεί η f:R->R να μην είναι η ταυτιτικά μηδενική, που είναι συγχρόνως άρτια και περιττή

Ακόμα όμως κι αν f(x)=0 για κάθε χ ε IR, η f "μας κάνει τη δουλειά"

Είναι άρτια, άρα η f' είναι περιττή.
Είναι περιττή, άρα η f' είναι άρτια.

tanos56 · 17-02-07

Απλά είναι τετριμμένη περίπτωση. Το πιο αξιοσημείωτο είναι -με βάση αυτό που λες-, ότι ενώ f άρτια ή περιττή (για την μηδενική μιλάω) θα μπορούσε η παράγωγος να εκληφθεί άρτια ή περιττή κατά τον αυτό τρόπο.
Είναι θέμα φρασεολογίας, όπως σε μία τοπολογία, το σύνολο αναφοράς Χ και το κενό, είναι τα μοναδικά, συγχρόνως ,ανοικτά και κλειστά σύνολα.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ · 06-08-07

Βαριέμαι που ζω, και περιδιαβαίνω τα θεματάκια του στεκίου... :whistle:

Επ! Αυτός κλέβει :mad:

Αρχική Δημοσίευση από tanos56:
σε μία τοπολογία, το σύνολο αναφοράς Χ και το κενό, είναι τα μοναδικά, συγχρόνως ,ανοικτά και κλειστά σύνολα.

Δεν νομίζω πως ισχύει κάτι τέτοιο.Αν ισχύει, τότε (και μόνο τότε) ο χώρος είναι συνεκτικός.

arisdim · 02-10-07

Είμαι νέο μέλος και χρειάζομαι λίγη βοήθεια σε μια άσκηση στους μιγαδικούς.
Η άσκηση είναι η εξής:

Έστω zεC* και f(z)= $\frac{2z-1}{z^2}$ . Να δίξετε ότι αν f(z)eR, τότε zeR ή Re(z)= $|z|^2$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

mostel · 02-10-07

Αρχική Δημοσίευση από arisdim:
Είμαι νέο μέλος και χρειάζομαι λίγη βοήθεια σε μια άσκηση στους μιγαδικούς.
Η άσκηση είναι η εξής:

Έστω zεC* και f(z)= $frac{2z-1}{z^2}$ . Να δίξετε ότι f(z)eR ή Re(z)= $|z|^2$

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Σιγουρα ειναι ετσι η ασκηση ;

arisdim · 03-10-07

Τη διόρθωσα

mostel · 03-10-07

Θα βάλω εν συντομία τη λύση μου, διότι δεν έχω χρόνο.

Για να 'ναι η f(z) πραγματική, θα πρέπει να ισχύει ότι είναι ίση με τη συζυγή της παράσταση. Μετά από πράξεις και παραγοντοποιήσεις φτάνεις στο:

$(z-\overline{z})(2\overline{z}z-z-\overline{z})=0$

Από εδώ συνεπάγεται:

Ή

$z=\overline{z}$ (που σημαίνει ότι ο z είναι πραγματικός)

ή

$2|z|^2=z+\overline{z}=2Re(z)$

από όπου προκύπτει και το άλλο ενδεχόμενο της άσκησης.

Krou · 09-10-07

Δεν ξέρω από latex γμτ, αλλά να μια άσκηση που μας έβαλαν σήμερα:

Εστω δυο μιγαδικοι $\displaystyle z_1=a+bi,\; z_2= \frac{2-\overline{z_1}}{2+\overline{z_1}}, \; z_2-z_1 \in \mathbb{R}$ . (στο z2 οπου έχει z1 ειναι ο συζυγης) Nα αποδειξετε οτι $\displaystyle z_2-z_1=1$

Μου φαίνεται έχει άπειρες πράξεις... Αν έχετε καμια γρήγορη λύση ποστάρετε παρακαλω!

mostel · 09-10-07

Δέσποινα, είμαι κατά 99% σίγουρος ότι δεν υπάρχει πιο σύντομος τρόπος από αυτόν που σου έδειξα στο msn... :s

Krou · 09-10-07

Ευχαριστώ καταρχάς για το edit

Θα κάτσω να τη μάθω κάποια στιγμή τη Latex

Mostel, έδωσα την άσκηση στον μαθηματικό στο φροντιστήριο μπας και βρει εκείνος γρήγορη λύση, αν βρεθεί θα την γράψω. Κι εγώ πιστεύω πως είναι μπάχαλο η συγκεκριμένη :/

Vorbulon · 10-10-07

------------------------ Αρχικό μήνυμα από Krou --------------------------------
Δεν ξέρω από latex γμτ, αλλά να μια άσκηση που μας έβαλαν σήμερα:

Εστω δυο μιγαδικοι $\displaystyle z_1=a+bi,\; z_2= \frac{2-\overline{z_1}}{2+\overline{z_1}}, \; z_2-z_1 \in \mathbb{R}$ . (στο z2 οπου έχει z1 ειναι ο συζυγης) Nα αποδειξετε οτι $\displaystyle z_2-z_1=1$

Μου φαίνεται έχει άπειρες πράξεις... Αν έχετε καμια γρήγορη λύση ποστάρετε παρακαλω!

---------------------------------------------------------------------------------

Είναι το 4ο θέμα των επαναληπτικών 2007!
Και όντως έχει άπειρες πράξεις!

Krou · 10-10-07

Ναι, μας το είπαν και στο σχολείο σήμερα

(Μας την είχαν βάλει σε τεστ). Δεν προλάβαμε να τη λύσουμε όμως

exc · 20-10-07

Παιδιά, θέλω μία μικρή βοήθεια σε μία άσκηση.

(Επειδή βιάζομαι και δυσκολεύομαι με το Latex, θα τα γράψω, έτσι...: )

$\displaystyle z^2 - \overline{z} + 2 = 0$
Φτάνω στο σύστημα:
(1) $x^2 - y^2 - x + 2 = 0$
(2) $2xy + y = 0$

λύνω τη 2: $y(2x+1)=0$
$y=0$
ή $x=-1/2$
σωστά;

Όταν αντικαθιστώ το y=0 στην 1, φτάνω σε λάθος αποτέλεσμα, γιατί;

Μήπως πρέπει να κάνουμε επαλήθευση τις λύσεις που βρίσκουμε;

Συγγνώμη για την προχειρότητα που επιδεικνύω, αλλά δεν μπορώ να κάνω αλλιώς αυτή τη στιγμή.

ΥΓ: θα ήταν εύκολο ένα λινκ με βοήθεια για γραφή μαθηματικών τύπων σε Latex;

mostel · 20-10-07

Ποιος σου είπε ότι είναι λάθος το αποτέλεσμα....

Απλώς αν y=0, τότε θα έχεις ότι ο z είναι πραγματικός, που δεν ισχύει αφού η (1) θα είναι: $x^2-x+2=0$ , η οποία όμως δεν έχει λύση στο R.
Ε, τώρα για $x=-\frac{1}{2}$ , κάνε πράξεις...

exc · 20-10-07

Α εκεί βρίσκεται το πρόβλημα... Είμαι πάντα απρόσεκτος...

THANKS!:thanks:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

e-steki.gr Founder

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος