Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[lostG]

εστω f κυρτη και g κοιλη.
αρα f' γν αυξουσα και g' φθινουσα.
εστω h(x)=f(x)-g(x). η h' αποδεικνυεται με τον ορισμο πως ειναι γν. αυξουσα.
εστω οτι η h(x)=0 εχει 3 ριζες x1,x2,x3 και εστω χ1<χ2<χ3
κανουμε Rolle στην h στο [χ1,χ2] και στο [χ2,χ3]
αρα υπαρχουν ξ1 και ξ2 διαφορετικα μεταξυ τους για τα οποια ισχυει h'(ξ1)=h'(ξ2)=0. ατοπο αφου h' γν αυξουσα.
αρα η h(x)=0<=>f(x)=g(x) exei to το πολυ 2 λυσεις, αρα οι Cf και Cg εχουν το πολυ 2 κοινα σημεια.


Προσοχη μην χρησιμοποιησει κανεις 2η παραγωγο, το εχασε το παιχνιδι.

Απέδειξες σωστά ότι δεν μπορείς να έχεις τρείς ρίζες.Αυτό όμως δεν συνεπάγεται αυτόματα ότι θε έχεις το πολύ δύο! Όσο κι αν εποπτικά ή διαισθητικά βλέπεις ότι έτσι πρέπει να είναι.Δεν χάνεις επομένως τίποτα, να δώσεις δύο συναρτήσεις γνωστές, με τα υποθετικά σου χαρακτηριστικά και να δείξεις ότι τέμνονται σε δύο σημεία οπότε δεν θα επιδέχεται η λύση σου καμμία αμφισβήτηση.

Πράγματι οι έννοιες της κυρτότητας και του σημείου καμπής μπορούν να τεθούν σε γενικότερο πλαίσιο από εκείνο που αναφέρει το σχολικό βιβλίο. Μία συνάρτηση f λέγεται κυρτή σε ένα διάστημα Δ αν για κάθε ζευγος x, y από το Δ και κάθε ζεύγος κ, λ από το [0,1] με κ+λ=1 ισχύει
f(κx+λy)≤κf(x)+λf(y)
Αντίστοιχη ανισότητα με άλλη φορά θα έχουμε στη περίπτωση της κοίλης.
Θα ήμουν ψεύτης αν ισχυριζόμουν ότι ο "επίσημος" ορισμός της κυρτότητας(ή κοιλότητας) ήταν εις γνώση μου τη στιγμή που ασχολούμαι "ερασιτεχνικά" με τα μαθηματικά σε ανώτερο επίπεδο.Αυτός τον ορισμό τον πήρα μάτι από τα γραφόμενα του Ν.Σ Μαυρογιάννη σε άλλο φόρουμ.

Πάντως ποτέ δεν κατάλαβα γιατί σε μιά συνεχή παντού συνάρτηση που είναι π.χ κοίλη αριστερά του x0 και κυρτή δειξά του χωρίς να παραγωγίζεται στο x0, να μην μπορεί να χαρακτηριστεί το (x0, f(x0)) ως σημείο καμπής!
Αυτό οσον αφορά στις απαιτήσεις που θέτει το σχολικό βιβλίο γιά το x0 ότι δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει η εφαπτομένη στο x0 κα να αλλάζει η κοιλότητα αριστερά και δεξιά τού σημείου ώστε να χαρακτηριστεί αυτό σημείο καμπής.

Αυτά, καλημέρα τώρα γιατί έχω ταξίδι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

Απέδειξες σωστά ότι δεν μπορείς να έχεις τρείς ρίζες.Αυτό όμως δεν συνεπάγεται αυτόματα ότι θε έχεις το πολύ δύο! Όσο κι αν εποπτικά ή διαισθητικά βλέπεις ότι έτσι πρέπει να είναι.Δεν χάνεις επομένως τίποτα, να δώσεις δύο συναρτήσεις γνωστές, με τα υποθετικά σου χαρακτηριστικά και να δείξεις ότι τέμνονται σε δύο σημεία οπότε δεν θα επιδέχεται η λύση σου καμμία αμφισβήτηση.

αφου απεδειξε οτι δεν μπορει να εχει τρεις απεδειξε οτι εχει το πολυ δυο,δηλαδη 0,1ή 2 κοινα σημεια.δεν υπαρχει λαθος στην αποδειξη.


οσο για την κυρτοτητα και την παραγωγισιμοτητα αποδεικνυεται το εξης:

"αν μια συναρτηση ειναι κυρτη ή κοιλη σε ενα διαστημα τοτε υπαρχουν σε καθε σημειο οι πλευρικες παραγωγοι της συναρτησης"

αυτο ειναι οτι καλυτερο μπορουμε να κανουμε για την παραγωγισιμοτητα ξεκινωντας απο τον σωστο ορισμο της κυρτοτητας με το λ.το σχολικο βιβλιο δεχεται οτι σε καθε σημειο οι πλευρικες παραγωγοι ειναι ισες οποτε η συναρτηση παραγωγιζεται.για αυτο λεει "θα μιλαμε για κυρτοτητα μονο σε παραγωγισιμες συναρτησεις".δηλαδη το λαθος ειναι οτι εξισωνει τις πλευρικες παραγωγους σε καθε σημειο.για αυτο και απαιτει στα σημεια καμπης να υπαρχει η εφαπτομενη.

αν ξεκινησουμε απο τον σωστο ορισμο , ενα σημειο μπορει να ναι σημειο καμπης και χωρις να υπαρχει η εφαπτομενη σ αυτο,αρκει μονο να αλλαζει η κυρτοτητα εκατερωθεν του σημειου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Υπάρχουν τίποτα ασκήσεις συνδυαστικές στα θεωρήματα των παραγώγων στις οποίες να μπορεί να εμπλακεί σε κάποιο σημείο το Darboux?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

το θεωρημα darboux(νταρμπου) λεει οτι η παραγωγος μιας παραγωγισιμης συναρτησης απεικονιζει διαστηματα σε διαστηματα και νομιζω πως ειναι εκτος υλης.δηλαδη αν θελεις νατο χρησιμοποιησεις πρωτα το αποδυκνυεις.δεν εχω υποψιν μου τετοιες ασκησεις,αλλα τωρα που το λες θα το ψαξω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

1)
αφου απεδειξε οτι δεν μπορει να εχει τρεις απεδειξε οτι εχει το πολυ δυο,δηλαδη 0,1ή 2 κοινα σημεια.δεν υπαρχει λαθος στην αποδειξη.


2)
αν ξεκινησουμε απο τον σωστο ορισμο , ενα σημειο μπορει να ναι σημειο καμπης και χωρις να υπαρχει η εφαπτομενη σ αυτο,αρκει μονο να αλλαζει η κυρτοτητα εκατερωθεν του σημειου.

Έχω μιά διαφωνία στι 1).
Φτειάχνω μιά υποθετική άσκηση.
Έστω πολυωνυμική συνάρτηση με κ.λ.π και μας ζητάει να δείξουμε ότι έχει το πολύ κ διακεκριμένες ρίζες.Αν εγώ δείξω ότι δεν μπορεί να έχει λ διακεκριμένες ρίζες, αυτό σημαίνει αυτόματα ότι θα έχει το πολύ κ τέτοιες?
Δεν νομίζω.Όσο αυτονόητο και αν είναι στην συγκεκριμένη άσκηση, νομίζω δεν σε εξασφαλίζει.
Πιστεύω δηλαδή ότι αφού απέδειξε ότι δεν μπορεί να έχει τρείς ρίζες θα έπρεπε μετά να δώσει γιά παράδειγμα τις συναρτήσεις χ^2-1 και -χ^2+1 πού είναι τέτοιες με δύο κοινά σημεία και τέλειωνε.

Γιά το 2) έτσι λέω κι εγώ.

Αρίθμησα το κείμενό σου γιά λειτουργικούς λόγους

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Έχω μιά διαφωνία στι 1).
Φτειάχνω μιά υποθετική άσκηση.
Έστω πολυωνυμική συνάρτηση με κ.λ.π και μας ζητάει να δείξουμε ότι έχει το πολύ κ διακεκριμένες ρίζες.Αν εγώ δείξω ότι δεν μπορεί να έχει λ διακεκριμένες ρίζες, αυτό σημαίνει αυτόματα ότι θα έχει το πολύ κ τέτοιες?
Δεν νομίζω.Όσο αυτονόητο και αν είναι στην συγκεκριμένη άσκηση, νομίζω δεν σε εξασφαλίζει.

Γιά το 2) έτσι λέω κι εγώ.
Αρίθμησα το κείμενό σου γιά λειτουργικούς λόγους

εφοσον λ=κ+1 τοτε απεδειξατε το ζητουμενο.
στην περιπτωση μας, θελουμε να δειξουμε οτι εχει το πολυ 2 ριζες, αρα οτι ΔΕΝ εχει απο 3 ΚΑΙ ΠΑΝΩ.(σε αυτο νομιζω συμφωνουμε ε?)

εφοσον αποδειξαμε οτι δεν γινεται να εχει 3 ριζες, αρα ουτε 4 μπορει ναχει γιατι αμα ειχε 4 συνεπαγεται πως θα ειχε και 3. ατοπο, ομοια για 5,6,...,ν.

που διαφωνουμε ακριβως?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

εφοσον λ=κ+1 τοτε απεδειξατε το ζητουμενο.
στην περιπτωση μας, θελουμε να δειξουμε οτι εχει το πολυ 2 ριζες, αρα οτι ΔΕΝ εχει απο 3 ΚΑΙ ΠΑΝΩ.(σε αυτο νομιζω συμφωνουμε ε?)

εφοσον αποδειξαμε οτι δεν γινεται να εχει 3 ριζες, αρα ουτε 4 μπορει ναχει γιατι αμα ειχε 4 συνεπαγεται πως θα ειχε και 3. ατοπο, ομοια για 5,6,...,ν.

που διαφωνουμε ακριβως?

Μιλάμε γιά το προς τα κάτω. Όχι γιά περισσότερες από λ.
Δηλαδή εσύ απέδειξες πολύ σωστά ότι δεν μπορεί να έχει τρείς.Εγώ θα ισχυριστώ τότε ότι έχεις το πολύ μία ρίζα.Δεν μού έδειξες ότι λάθος ισχυρίζομαι αυτό.
Κατάλαβες?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

αν δειξουμε οτι εχει το πολυ τρεις και μετα για ενα συγκεκριμενο ζευγος κυρτης-κοιλης δειξουμε οτι υπαρχουν δυο κοινα σημεια τοτε για το συγκεκριμενο ζευγος δειξαμε οτι υ παρχουν ακριβως δυο ριζες.

και ενα αλλο:ας πουμε η εξισωση χ^2+1=0 ειναι αδυνατη στο R αλλα μπορουμε να πουμε οτι εχει το πολυ 3 ριζες.κι ας μην εχει ουτε μια,ειναι σωστο!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Μιλάμε γιά το προς τα κάτω. Όχι γιά περισσότερες από λ.
Δηλαδή εσύ απέδειξες πολύ σωστά ότι δεν μπορεί να έχει τρείς.Εγώ θα ισχυριστώ τότε ότι έχεις το πολύ μία ρίζα.Δεν μού έδειξες ότι λάθος ισχυρίζομαι αυτό.
Κατάλαβες?

η εκφραση "το πολυ μια"(1) εμπεριεχεται στην εκφραση "το πολυ δυο"(2).
δηλαδη αν σου ζητησει να αποδειξεις οτι εχει το πολυ 3 και εσυ αποδειξεις οτι εχει το πολυ 1, εισαι σωστος.(1)=>(2), αλλα (2)=/=>(1).

ειναι σαν να λεμε: αποδειξε οτι η f εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (-1,2), και εσυ αποδειξεις οτι εχει τουλαχιστον μια ριζα στο (0,1).
(Σημειωση: αν ζητηθει να δειξεις οτι εχει μοναδικη ριζα στο (-1,2) και εσυ δειξεις οτι εχει μοναδικη ριζα στο (0,1) τοτε εισαι λαθος γτ δεν εξασφαλισες μοναδικοτητα σε ολο το διαστημα.)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

Κάνετε μεγάλο λάθος.
Η έκφραση "το πολύ" αποτελεί ένα φραγμό
Δεν γίνεται να λέμε τέτοια πράγματα.Νη διακιολογούμε τα αδικαιολόγητα τώρα.
Όταν σου λέει το πολύ 1 δεν είναι το ίδιο με το πολύ 2.Μάλλον έμπλεξες με την έκφραση "τουλάχιστον".Γιατί το τουλάχιστον μία εμπεριέχει τις δύο ρίζες.
Γιά όνομα!

@riemann80
Αν δεν υπήρχε αυτή η διάκριση τότε ποιό το νόημα να βάζουν ασκήσεις με την έκφραση "το πολύ" ν διακεκριμένες ρίζες?(Δεν μιλάω γιά βαθμό πολλαπλότητας ριζών μη βραχυκυκλωθούμε κι άλλο). Εγώ δεν θα μπορούσα να αποδείξω αυτό αλλά θα μπορούσα να αποδείξω π.χ γιά ν+κ ρίζες.Σύμφωνα με αυτά που λέτε θα ήμουν σωστός!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Κάνετε μεγάλο λάθος.
Η έκφραση "το πολύ" αποτελεί ένα φραγμό
Δεν γίνεται να λέμε τέτοια πράγματα.Νη διακιολογούμε τα αδικαιολόγητα τώρα.
Όταν σου λέει το πολύ 1 δεν είναι το ίδιο με το πολύ 2.

δεν ειπα πως ειναι το ιδιο. αλλα οταν ειναι η πρωτη αληθης ειναι και η δευτερη.Η αντιθετη εκφραση του "τουλαχιστον" δεν ειναι το "το πολυ"?συμφωνα με λογικες εκφρασεις προσπαθω να το προσεγγισω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Zod]

Επειδή στο βιβλίο ο ορισμός είναι αρκετά ασαφής και επειδή υπάρχει σύγκρουση απόψεων μεταξύ σχολείου και φροντιστηρίου ρωτώ το εξής:

Μπορούμε να έχουμε σημείο καμπής σε ένα Χο χωρίς να παραγωγίζεται η συνάρτηση στο Χο και απλά να είναι μόνο συνεχής.

Γιατί ο μαθηματικός μου μου είπε πως αν η 2η παράγωγος αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του Χο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο Χο έχουμε σημείο καμπής, γιατί μπορεί να δέχεται εφαπτομένη χωρίς να είναι παραγωγίσιμη. Αντιθέτως, στο σχολείο ο άλλος μαθηματικός μας είπε πως πρέπει οπωσδήποτε να είναι παραγωγίσιμη στο Χο για να θεωρηθεί σημείο καμπής.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dragonver]

Τον τελευταίο καιρό στο σχολείο ο καθηγητής που μας κάνει Μαθ. Κατ/σης μας αναφέρει αρκετά συχνά τις αναγκαίες και επαρκείς συνθήκες, αναλόγως κάθε φορά με την άσκηση. Αναφέρομαι στα πρέπει, πρέπει και αρκεί, αρκεί. Τι παίζει μ'όλα αυτα; Ρωτάω γιατί επιμένει πάρα πολύ ενώ δεν τα έχουμε διδαχτεί ποτέ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Eruyomo]

Αν δεν τα λέω ανάποδα (και εγώ τα μπερδεύω συχνά)

Επαρκή συνθήκη εκφράζεις με συνεπαγωγή* " => "
Είναι μια συνθήκη που αρκεί να ισχύει (στην αριστερή πλευρά) για να ισχύει στην δεξιά)
πχ x = y => x^2 = y^2

Αντίθετα αυτή η συνθήκη δεν είναι "ανάγκη" να ισχύει για να ισχύει x^2=y^2, θα μπορούσε κάλιστα
να ισχύει η -x=y => χ^2 =y^2

Αναγκαία και επαρκής συνθήκη είναι η συνθήκη τέτοια, ωστε να είναι επαρκής + να μπορείς να πάς και "ανάποδα" (δηλαδή αναγκαία ισχύει και η άλλη) εξάγοντας το συμπέρασμα και απο τις δυο πλευρές.

πχ x^2=y^2 <=> |x|=|y| αναγκαστικά, πχ παρόλο που x=y => x^2 = y^2 δεν μπορεις να γράψεις
x=y <=> x^2 = y^2 γιατί απο την x^2=y^2 δεν μπορείς να εξάγεις την x=y (θες απόλυτο)

Υ.Γ. Ένας καθηγητής μας το λέει ωραία.

Ο Γιώργος είναι καλός μαθητής (ικανή)
Ο καλός μαθητής είναι Γιώργος (αναγκαία)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Ο συνδυασμός αναγκαιότητας και ικανότητας είναι το γνωστό "αν και μόνο αν", δηλαδή ευθύ κι αντίστροφο κι απλά εκφράζεται με διαφορετικές φράσεις "τότε και μόνο τότε", "αν και μόνο αν", "πρέπει και αρκεί" κλπ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[manos66]

To σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι σημείο καμπής είναι το σημείο Α (x0 , f (x0)) όταν
--> αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0
--> ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο A


Με δεδομένο ότι αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0
Αν ορίζεται η f΄΄ στο x0, αρκεί f΄΄(x0) = 0.

Aν ορίζεται η f΄΄(x0), τότε αρκεί να ορίζεται η f΄(x0)

Υπάρχει και η περίπτωση να έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη (εκτός ύλης) που το σημείο A είναι σημείο καμπής αλλά δεν ορίζεται η f΄(x0)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

δηλαδη αν πω οτι η εξισωση χ^2+1=0 εχει το πολυ 500 πραγματικες ριζες ειναι λαθος?οχι βεβαια.αφου δεν εχει καμια!

ο m3Lt3d εχει δικιο σε αυτο που λεει και συμφωνω μαζι του επειδη οταν μια εξισωση εχει το πολυ ν ριζες τοτε θα εχει και το πολυ ν+κ ριζες.

ειναι σα να σου λεω οτι ημχ<10 και να μου λες οτι ειναι λαθος επειδη ισχυει το ημχ<1. εγω λεω οτι το ημιτονο καθε γωνιας ειναι το πολυ 10.δεν εχει σημασια (για την εκφραση αυτη) αν υπαρχει ενα μικροτερο κατω φραγμα.

δηλαδη αν σε μια ασκηση ζηταει να δειξεις οτι μια εξισωση εχει το πολυ 5 ριζες και συ δειξεις οτι εχει το πολυ 3 δεν ειναι σωστο? ειναι απολυτως σωστο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

Διαφωνούμε τώρα riemmann αλλά γιά καλό είναι αυτό.
Όμως με αυτά που λες κατήργησες το θεμελιώδες θεώρημα του d' Αlambert που λέει ότι κάθε πολυώνυμο ν βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών ν ακριβώς μιγαδικές ρίζες ή "το πολύ" ν διακεκριμένες μιγαδικές ρίζες.Σύμφωνα λοιπόν με τα λεγόμενά σου μπορεί να έχει "το πολύ" ν+κ ρίζες.
Γιατί?

Έπειτα μην το απλοποιούμε τόσο πολύ γιατί δεν είναι το ίδιο με το συλλογισμό ότι αφού το ημίτονο είναι <=1 'αρα θα είναι και <50.
Δεν είναι ποιοτικά το ίδιο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[miv]

Εγώ δεν θα το εξελάμβανα ως λάθος. Λέγοντας "το πολύ ν+κ ρίζες" δεν λες ότι θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα πέραν των ν και κάτω των ν+κ, οπότε δεν έχεις λογικό σφάλμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

Διαφωνούμε τώρα riemmann αλλά γιά καλό είναι αυτό.
Όμως με αυτά που λες κατήργησες το θεμελιώδες θεώρημα του d' Αlambert που λέει ότι κάθε πολυώνυμο ν βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών ν ακριβώς μιγαδικές ρίζες ή "το πολύ" ν διακεκριμένες μιγαδικές ρίζες.Σύμφωνα λοιπόν με τα λεγόμενά σου μπορεί να έχει "το πολύ" ν+κ ρίζες.
Γιατί?

διοτι αν εχει το πολυ ν ριζες θα εχει το πολυ ν+κ ριζες.ειναι ακριβως το ιδιο με το ημιτονο που ανεφερα.

το θεμελιωδες θεωρημα της αλγεβρας αποδειχτηκε πρωτη φορα απο τον gauss παρεπιπτοντως.και η αξια του ειναι οτι βρεθηκε το κατωτατο ανω φραγμα για το πληθος των ριζων.το "κατωτατο" εχει σημασια οχι το "φραγμα".ή οπως θα λεγαμε καλυτερα το supremum !

τελος παντων ολο αυτο μπορει απλως να ειναι ενα ανουσιο παιχνιδι λεξεων!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.