Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

ilias77 · 3 Μαρτίου 2011 στις 19:31

καλησπερα παιδια εχω κατι αποριες σε κατι ασκησεις....αν μπορειτε να με βοηθησετε... λοιπον

Ασκηση 1

να βρειτε την συνεχης συναρτηση f:R-->R για την οποια ισχυει

για καθε ΧΕR

(εγω σκεφτηκα e^x-t να το σπασω σε e^x επι e^-t και μετα να φερω το e^x μπροστα απο το ολοκληρωμα...και μετα να διερεσω με e^x...μετα κολλησα)

Ασκηση 2

Δινεται η παργωγισιμη στο διαστημα

συναρτηση f. Θεωρουμε και την συναρτηση g(X)=(e-ξ)

α) ν.δ.ο υπαρχει ξε(1,ε) τετοιο ωστε G'(ξ)=0
β)να δειχθει οτι

=(e-ξ) f(ξ)

στο β ερωτημα στο ολοκληρωμα στο πανω ειναι ξ

(σε αυτην την ασκηση σκεφτικα να βρω την g'(x) kai επειτα να εφαρμοσω Θ.ROLLE στο 1,e) αλλα μετα δεν ξερω

οποιος μπορει να βοηθησει θα του ειμουν υπερευγνομων

rebel · 4 Μαρτίου 2011 στις 05:23

1) Όταν κάνεις αυτά που λες εν συνεχεία παραγωγίζεις την σχέση ( είναι εύκολο να δείξεις ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ) και φθάνεις τελικά στην $f'(x)=2xe^x$ . Απο δω ολοκληρώνοντας από 0 εως χ και λαμβάνοντας υπ'οψιν ότι f(0)=0 έχουμε:

$\int_{0}^{x}f'(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{x}2te^t\mathrm{d}t \Rightarrow\ldots \Rightarrow f(x)=2xe^x-2e^x+2$

2)Απλά κάνε αυτό που σκέφτηκες...

c.k · 4 Μαρτίου 2011 στις 10:26

Παιδιά στον ορισμό σύνθεσης συναρτήσεων χρειάζεται να γράφουμε και αυτό που αναφέρει ποιο κάτω για το πεδίο ορισμού ? (στο βιβλίο είναι έξω από το μπλε κουτάκι)
και στο θεώρημα μέγιστης και ελαχίστης τιμής πάλι γράφουμε αυτά μόνο που είναι σε ''μπλε''...

strsismos88 · 6 Μαρτίου 2011 στις 21:17

Εχω προμπλεμ εδω: Εστω μια συναρτηση f: [α,β] -->R η οποια ειναι συνεχης στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β). Αν f(α) =
f(β) = c και η f ειναι κυρτη στο R, να δειξετε οτι f(x) < c για καθε x ε (α,β). Μαλλον θελει Rolle...

vassilis498 · 6 Μαρτίου 2011 στις 21:33

Rolle στο [α,β] ναι
άρα παίρνεις Χο ανάμεσα στο α και το β τέτοιο ώστε f'(Xo)=0
επίσης f κυρτή, άρα f' γν. άυξουσα
δηλαδή για χ<Χο <--> f'(x) < f'(Xo) <--> f'(x)<0
και για x>Xo <--> f'(x)>f'(Xo) <--> f'(x) > 0
άρα για χ πριν το Χο η f είναι φθίνουσα ενώ ενώ για μετά από αυτό είναι αύξουσα.
άρα a<x<Xo <--> f(a)>f(x)
και Xo<x<b <--> f(x)<f(b)
όμως f(a)=f(b)=c άρα σε κάθε περίπτωση η f(x) είναι μικρότερη από c

επίσης από τη στιγμή που ξέρεις τη μονοτονία φαίνεται εύκολα και με ένα πινακάκι στο [a,b]

Chris1993 · 6 Μαρτίου 2011 στις 22:23

Σωστός ο Βασίλης!!!

funny_girl! · 11 Μαρτίου 2011 στις 00:25

πωσ ειναι η παραγωγοσ του xlnx/x+1 και η παραγωγοσ του x+1/xe^x

Chris1993 · 11 Μαρτίου 2011 στις 00:41

Αρχική Δημοσίευση από funny_girl!:
πωσ ειναι η παραγωγοσ του xlnx/x+1 και η παραγωγοσ του x+1/xe^x

$(\frac{x\cdot lnx}{x+1})' = \frac{(x\cdot lnx)'\cdot (x+1) -(x\cdot lnx)\cdot (x+1)'}{{(x+1)}^{2}}$
$= \frac{((x)'\cdot lnx + x\cdot (lnx)')(x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}} = \frac{(lnx + x\cdot \frac{1}{x})\cdot (x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}}$
$= \frac{(lnx+1)(x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}}=\frac{x\cdot lnx + lnx + x + 1 - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}}$
$= \frac{lnx + x + 1}{{(x+1)}^{2}}$

$(\frac{x+1}{x\cdot {e}^{x}})' = \frac{(x+1)'\cdot (x\cdot {e}^{x}) - (x+1)\cdot (x\cdot {e}^{x})'}{(x\cdot {e}^{x})^{2}}$
$= \frac{x\cdot {e}^{x} - (x+1)((x)'\cdot {e}^{x}+ x\cdot ({e}^{x})')}{(x\cdot {e}^{x})^{2}} = \frac{x\cdot {e}^{x} - (x+1)({e}^{x} + x\cdot {e}^{x})}{(x\cdot {e}^{x})^{2}}$
$= \frac{x\cdot {e}^{x} - x\cdot {e}^{x} - {x}^{2}\cdot {e}^{x} - {e}^{x} - x\cdot {e}^{x}}{(x\cdot {e}^{x})^{2}} =\frac{-{e}^{x}({x}^{2} + x + 1)}{{x}^{2}\cdot {({e}^{x})}^{2}}$
$= - \frac{{x}^{2} + x + 1}{{x}^{2}\cdot {e}^{x}}$

Ελπίζω να μην έκανα κάτι λάθος,γιατί τα έλυσα καθώς έγραφα στο latex!
Και τα έκανα όσο αναλυτικά μπορούσα

funny_girl! · 11 Μαρτίου 2011 στις 01:13

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
$(\frac{(x\cdot lnx)}{x+1})' = \frac{(x\cdot lnx)'\cdot (x+1) -(x\cdot lnx)\cdot (x+1)'}{{(x+1)}^{2}} = \frac{((x)'\cdot lnx + x\cdot (lnx)')(x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}} = \frac{(lnx + x\cdot \frac{1}{x})\cdot (x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}} = \frac{(lnx+1)(x+1) - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}}=\frac{x\cdot lnx + lnx + x + 1 - x\cdot lnx}{{(x+1)}^{2}} = \frac{lnx + x + 1}{{(x+1)}^{2}}$

$(\frac{x+1}{x\cdot {e}^{x}})' = \frac{(x+1)'\cdot (x\cdot {e}^{x}) - (x+1)\cdot (x\cdot {e}^{x})'}{(x\cdot {e}^{x})^{2}}$
$= \frac{x\cdot {e}^{x} - (x+1)((x)'\cdot {e}^{x}+ x\cdot ({e}^{x})')}{(x\cdot {e}^{x})^{2}} = \frac{x\cdot {e}^{x} - (x+1)({e}^{x} + x\cdot {e}^{x})}{(x\cdot {e}^{x})^{2}}$
$= \frac{x\cdot {e}^{x} - x\cdot {e}^{x} - {x}^{2}\cdot {e}^{x} - {e}^{x} - x\cdot {e}^{x}}{(x\cdot {e}^{x})^{2}} =\frac{-{e}^{x}({x}^{2} + x + 1)}{{x}^{2}\cdot {({e}^{x})}^{2}}$
$= - \frac{{x}^{2} + x + 1}{{x}^{2}\cdot {e}^{x}}$

Ελπίζω να μην έκανα κάτι λάθος,γιατί τα έλυσα καθώς έγραφα στο latex!
Και τα έκανα όσο αναλυτικά μπορούσα

ευχαριστω πολυ! αλλη μια ασκ.
πωσ εξεταζουμε αν οριζεται η εφαπτομενη τησ γραφικησ πραστασησ τησ f στο χ0=3 οταν f(x)=lx^2-3xl+x
ποια ειναι η εξισωση τησ εφαπτομενησ τησ γραφικησ παραστασησ τησ f(x)=ριζα(1-x^2} που σχηματιζει γωνια π/3 με τον αξονα του x(δεν μπορω να γραψω στο latex....πωσ τ κανετε να φενονται ετσι??

Chris1993 · 11 Μαρτίου 2011 στις 01:24

1) Παίρνεις 2 περιπτώσεις : α) x^2 - 3x > 0 , β) x^2 - 3x < 0
Παραγωγίζεις και τους δύο κλάδους της συνάρτησης !
Και υπολογίζεις το f'(3) και στις 2 , άν σου βγεί ίδιος αριθμός , τότε ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης!
2)Ξέρουμε ότι f'(x)=εφφ
Αφού φ=π/3 , τότε f'(x)=εφ(π/3)= $\sqrt{3}}$
Επίσης, βρίσκουμε την παράγωγο της f .
$f'(x)=(\sqrt{1-{x}^{2}})' = \frac{1}{2\sqrt{1-{x}^{2}}}\cdot (1-{x}^{2})'} = - \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$
Εξισώνουμε:
$- \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}} = 3 \Leftrightarrow {x}^{2} = 3 - 3{x}^{2} \Leftrightarrow$
$4{x}^{2} = 3 \Leftrightarrow {x}^{2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Βρίσκουμε το $f(\frac{\sqrt{3}}{2})$ :
$f(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{1-{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
και τέλος η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης που σχηματίζει γωνία π/3 με τον άξονα x'x είναι της μορφής :
$y-\frac{1}{2}=\sqrt{3}\cdot (x - \frac{\sqrt{3}}{2}) \Leftrightarrow y=\sqrt{3}x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow y=\sqrt{3}x - 1$

***Μην ξεχάσεις να βρείς και το πεδίο ορισμού

funny_girl! · 11 Μαρτίου 2011 στις 01:40

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
1) Παίρνεις 2 περιπτώσεις : α) x^2 - 3x > 0 , β) x^2 - 3x < 0
Παραγωγίζεις και τους δύο κλάδους της συνάρτησης !
Και υπολογίζεις το f'(3) και στις 2 , άν σου βγεί ίδιος αριθμός , τότε ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης!
2)Ξέρουμε ότι f'(x)=εφφ
Αφού φ=π/3 , τότε f'(x)=εφ(π/3)= $\sqrt{3}}$
Επίσης, βρίσκουμε την παράγωγο της f .
$(\sqrt{1-{x}^{2}})' = \frac{1}{2\sqrt{1-{x}^{2}}}\cdot (1-{x}^{2})'} = - \frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$
Εξισώνουμε,βρίσκουμε το Χο για το οποίο επαληθεύεται , βρίσκουμε το f(Xo) και τέλος η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης που σχηματίζει γωνία π/3 με τον άξονα x'x είναι της μορφής :
y-f(Xo)= $\sqrt{3}}$ (x - Xo)

ο αρι8μοσ στο πρωτο δεν μ βγαινει ιδιοσ....ειναι δυνατοσν??μπορεισ ν τ κανεισ κ εσυ κ ν μ πεισ ποσο σ βγαινει??
το 2 τ εκανα..στο 1 οταν χ>0 μου βγαινει f'(3)=4 και οταν χ<0 μου βγαινει f'(3)=-2

Chris1993 · 11 Μαρτίου 2011 στις 01:57

Φυσικά και γίνεται,αφού η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης , έχει γωνίες (στα "ευαίσθητα σημεία--σημεία αλλαγής του τύπου της συνάρτησης" : 0 και -3) , όπως θα δείς στην παρακάτω εικόνα , άρα δεν ορίζεται μια ενιαία εφαπτομένη για την συνάρτηση,αλλά επιμέρους!

Δες το και μόνη σου στο post #3319
Κατάλαβες?

***Δες και το post #3315 γιατί έχω γράψει ολόκληρη την λύση

funny_girl! · 11 Μαρτίου 2011 στις 02:01

Αρχική Δημοσίευση από Chris1993:
Φυσικά και γίνεται,αφού η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης , έχει γωνίες (στα "ευαίσθητα σημεία" : 0 και 3) , όπως θα δείς στην παρακάτω εικόνες , άρα δεν ορίζεται μια ενιαία εφαπτομένη για την συνάρτηση,αλλά επιμέρους!

Δες το και μόνη σου :

Κατάλαβες?

***Δες και το post #3315 γιατί έχω γράψει ολόκληρη την λύση

ok!σε ευχαιστω παρα πολυ!κ για τν χρονο σ!

Chris1993 · 11 Μαρτίου 2011 στις 02:12

Τίποτα,εσύ να είσαι καλά!
Πρόσεχε πολύ,γενικά τα απόλυτα έχουν την τάση να σχηματίζουν γωνίες

Είναι πολύ ευαίσθητα τα σημεία και πολλές οι λεπτομέριες που χάνονται-->άρα και τα μόρια

Διόρθωση!!! ) To σχήμα είναι έτσι :

***Τα σημεία αλλαγής του τύπου της συνάρτησης είναι τα 0,-3

Θάλεια · 11 Μαρτίου 2011 στις 21:02

Eστω f μια συναρτηση για την οποια ισχυει ${e}^{f(x)} + 2{f}^{3} (x)- x + 1 =0$ για καθε x εR. Aν θεωρησουμε γνωστο οτι το συνολο τιμων της συναρτησης $g(x)= {e}^{x}+ 2{x}^{3} + 1$ ειναι το R, να δειξετε οτι η f αντιστρεφεται και οτι ${f}^{-1} = g$ .

Καμια ιδεα? :/:

εχω φτασει σε ενα σημειο οπου g(f(x))=x , στην αρχη δηλαδη.Μετα?

vassilis498 · 11 Μαρτίου 2011 στις 22:47

Αρχική Δημοσίευση από 9aleia:
Eστω f μια συναρτηση για την οποια ισχυει ${e}^{f(x)} + 2{f}^{3} (x)- x + 1 =0$ για καθε x εR. Aν θεωρησουμε γνωστο οτι το συνολο τιμων της συναρτησης $g(x)= {e}^{x}+ 2{x}^{3} + 1$ ειναι το R, να δειξετε οτι η f αντιστρεφεται και οτι ${f}^{-1} = g$ .

Καμια ιδεα?

εχω φτασει σε ενα σημειο οπου g(f(x))=x , στην αρχη δηλαδη.Μετα?

αυτό είναι στην ουσία
για x1,x2 στο R τέτοια ώστε f(x1)=f(x2)
f(x1)=f(x2)<-->g(f(x1))=g(f(x2))<-->x1=x2
άρα f "1-1" συνεπώς και αντιστρέψιμη

για το άλλο πάλι την ίδια σχέση χρησιμοποιείς.

Θάλεια · 11 Μαρτίου 2011 στις 22:51

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
αυτό είναι στην ουσία
για x1,x2 στο R τέτοια ώστε f(x1)=f(x2)
f(x1)=f(x2)<-->g(f(x1))=g(f(x2))<-->x1=x2
άρα f "1-1" συνεπώς και αντιστρέψιμη

για το άλλο πάλι την ίδια σχέση χρησιμοποιείς.

A ηταν απλη τελικα!Σε ευχαριστω πολυ!!

frk007 · 12 Μαρτίου 2011 στις 10:49

Γεια σας!!! Έχω μια άσκηση Φυσικοχημείας Ι, Β εξάμηνο τμήματος Χημικών Μηχανικών αλλά θεωρώ ότι απαιτεί καθαρά μαθηματική λύση. Η παρούσα άσκηση έχει ως εξής:
Βρείτε την έκφραση για τον ισόθερμο συντελεστή συμπιεστότητας ο οποίος ορίζεται ως k=(1/u)(θu/θT), όπου u ο όγκος του (πραγματικού) αερίου, Τ η θερμοκρασία, και θ το σύμβολο της μερικής παραγώγου, θu/θT η μερική παράγωγος του όγκου ως προς τη θερμοκρασία, υπό σταθερή πίεση. Το αέριο υπακούει στην εξίσωση Van der Vaals: p=(RT/(u-b))-(a/(u^2)), όπου a,b πραγματικές σταθερές.
Να σημειώσω ότι προκειμένου να λυθεί η άσκηση, πρέπει μάλλον να βρεθεί η αναλυτική λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης Van der Vaals ως προς τον άγνωστο u, όπου u>0 και πραγματικός αριθμός, και έπειτα αυτή να αντικατασταθεί στη σχέση με το k.
Ίσως όμως μπορεί να λυθεί και με διαφόρηση της εξίσωσης Van der Vaals ως προς T.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων για το χρόνο σας και αναμένω με αγωνία την όποια καθοδήγηση (δε λύνεται με τη μέθοδο Newton-Raphson).

Bemanos · 12 Μαρτίου 2011 στις 16:24

καλησπερα σας.επειδη δεν εχω καταλαβει πως λειτουργει το θεωρημα ενδιαμεσων τιμων(δηλαδη τι καταλαβαινουμε απο το συμπερασμα του f(x0)=η)μπορει κανεις να μου το εξηγησει?

Catalyst · 12 Μαρτίου 2011 στις 16:45

Μπορείς να δεις αυτό το βίντεο https://www.youtube.com/watch?v=XNeM5yLf5YM που δείχνει παραστατικά τα κριτήρια που πρέπει να ικανοποιούνται, τα συμπεράσματα του θεωρήματος και πώς αυτό αποδεικνύεται

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος