Έχουμε μια μπάλα σε ύψος H και την αφήνουμε να πέσει. Κάθε φορά που πέφτει και κάνει αναπήδηση, χάνει ένα ποσοστό ενέργειας λ, πόσο είναι το διάστημα που διάνυσε ;

Αν Ε = mgH η ερχική ενέργεια, αφού μετά από κάθε αναπήδηση χάνει ποσοστό λ, η ενέργεια στις διαδοχικές αναπηδήσεις είναι:
Ε , (1-λ)Ε , (1-λ)²Ε , (1-λ)³Ε , . . .
Άρα το ύψος στο οποίο κάθε φορά φτάνει είναι:
Η , (1-λ)Η , (1-λ)²Η , (1-λ)³Η , . . .
Έτσι διανύει συνολικά διάστημα:
s = Η + 2(1-λ)Η + 2(1-λ)²Η + 2(1-λ)³Η + . . .
(To 2 διότι σε κάθε αναπήδηση έχουμε πτώση από το ίδιο ύψος)
s = Η + 2(1-λ).[Η + (1-λ)Η + (1-λ)²Η + (1-λ)³Η + . . .]
Το άθροισμα μέσα στην αγκύλη είναι άθροισμα άπειρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο Η και λόγο (1-λ). Αυτό δεν είναι στην ύλη του λυκέιου. (Αν δεν κάνω λάθος έχει αφαιρεθεί πλέον και από τα βιβλία). Αν σου έβαλαν την άσκηση σε σχολείο δεν είσαι υποχρεωμένη να ξέρεις να την λύσεις. Αν ενδιαφέρεσαι "εγκυκλοπαιδικά" να τι παίζει:
Αν μια γεωμετρική πρόοδος είναι φθίνουσα, δηλαδή έχει λόγο < 1, τότε το άθροισμα των άπειρων όρων της είναι:
Σ = (πρώτος όρος) / (1 - λόγος)
Έτσι το άθροισμα στην αγκύλη είναι: Η / λ. Άρα:
s = Η + 2(1-λ).H/λ => s = H.[1 + 2(1-λ)/λ]