Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

rebel · 1 Νοεμβρίου 2011 στις 18:31

Πρόκειται για ανεξάρτητα(όχι ασυμβίβαστα) ενδεχόμενα $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ . Είναι παρόμοιο με το πρόβλημα:
Ποια η πιθανότητα να έρθει κορώνα σε δύο διαδοχικές ρίψεις ενός νομίσματος
Απάντηση
$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Που την βρήκες την άσκηση;

Guest 018946 · 1 Νοεμβρίου 2011 στις 18:41

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Πρόκειται για ανεξάρτητα(όχι ασυμβίβαστα) ενδεχόμενα $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ . Είναι παρόμοιο με το πρόβλημα:
Ποια η πιθανότητα να έρθει κορώνα σε δύο διαδοχικές ρίψεις ενός νομίσματος
Απάντηση
$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Που την βρήκες την άσκηση;

Στο ιντερνετ θα σου δωσω σελιδα σε λιγο γιατι τωρα δεν μπορω να ψαχνω : εχω ακομη μια που την εχω λυσει αλλα θελω επιβεβαιωση $P(A \bigcup B\bigcup C ) =P(A)+P(B \bigcap A')+P( C \bigcap B' \bigcap A' )$ και λεω εγω
$P(A \bigcup B\bigcup C )=P(A)+P(B)-P(A \bigcap B)-P(C-(A \bigcap B) \Leftrightarrow P(A \bigcup B\bigcup C )=P(A)+P(B)-P(A \bigcap B)+P(C)-P(C \bigcap (A\bigcup B )$ και αυτο ισχυει αλλα πως το αποδυκνυω ? με venn γινεται αλλα θα γινει δεκτο σε τεστ - διαγωνισμα κτλπ ?

https://users.sch.gr/orani/askiseis/askiseis/genped_c/pithanotites_askiseis.pdf

εδω την βρηκα.

rebel · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:36

Βασικά εγώ θα το έκανα ως εξής,θεωρώντας βέβαια δεδομένες τις εξής σχέσεις για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα $X,Y$ (οι οποίες μπορούν εύκολα να προκύψουν από διάγραμμα Venn):

(1) $X \cup (Y \cap X^\prime)=X \cup (Y-X)=X \cup Y$
(2) $X^\prime \cap Y^\prime=(X \cup Y)^\prime$

Έστω $\Gamma = B \cap A^\prime, \,\, \Delta = C \cap A^\prime \cap B^\prime$ . Είναι $A \cap \Gamma= A \cap B \cap A^\prime = \varnothing$ , αφού $A \cap A^\prime =\varnothing$ . Όμοια προκύπτει ότι $A \cap \Delta = \Gamma \cap \Delta = \varnothing$ . Άρα τα ενδεχόμενα $A, \Gamma,\Delta$ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα.

Για την ένωσή τους έχουμε:

$A \cup \Gamma \cup \Delta = \underbrace{A \cup (B \cap A^\prime)} \cup (C \cap A^\prime \cap B^\prime)\stackrel{(1)}{=}A\cup B \cup (C \cap \underbrace{A^\prime \cap B^\prime})\stackrel{(2)}{=}(A\cup B )\cup \left(C \cap (A\cup B)^\prime \right)\stackrel{(1)}{=} A \cup B \cup C$

Αυτό το αποτέλεσμα ίσως προκύπτει και οπτικά κατευθείαν από ένα διάγραμμα Venn ωστόσο προτίμησα να βασιστώ όσο λιγότερο μπορούσα στο διάγραμμα Venn θεωρώντας μόνο τις σχέσεις (1),(2)

Άρα από απλό προσθετικό νόμο έχουμε:

$P(A \cup B \cup C) = P(A \cup \Gamma \cup \Delta) = P(A)+P(\Gamma)+P(\Delta)$

Ελπίζω να βοήθησα...

Guest 018946 · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 23:48

Kώστα η περιπτωση μας ειναι για τυχαια ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου . Απο οτι καταλαβα ομως μπορω να εργαστω παρομοια για αυτην . Οπως και να εχει ευχαριστω.

rebel · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 23:56

Κι εγώ για τυχαία ενδεχόμενα την έλυσα. Αν διαβάσεις λίγο καλύτερα έγραψα την ένωση $A \cup B \cup C$ όπου τα Α,Β, C δεν είναι αναγκαστικά ξένα ανά δύο ως $A \cup \Gamma \cup \Delta$ όπου τα Α,Γ, Δ είναι ξένα ανά δύο.

πορτοκαλί: $B\cap A^\prime$
μπλε: $C \cap (A \cup B)^\prime$

Guest 018946 · 3 Νοεμβρίου 2011 στις 00:21

Καταλαβα Κωστα απλα δεν αντικατεστησες στην τελευταια και μου φανηκε οτι απεδειξες μονο για ασυμβιβασα με την αντικατασταση προκυπτει το ζητουμενο ευκολα.

Αγγελική!!! · 3 Νοεμβρίου 2011 στις 15:32

1.Εάν $0 <\alpha\: ,\: \beta <1$ Aποδείξτε ότι --> $\alpha +\beta < 1+\alpha \beta$ 2. Εάν $0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ Αποδείξτε ότι --> $\alpha +\beta +\gamma <2+\alpha \beta \gamma$ Αυτές τις ανισώσεις γίνεται να τις βγάλω και με αντιστροφή σε κλάσμα??(π.χ. $1/\alpha$ ) Αν όχι πώς αλλιώς μπορώ να τις λύσω??

HeLP!

rebel · 3 Νοεμβρίου 2011 στις 17:49

1) Παραγοντοποίηση και βγήκε

2) Από το ερώτημα 1 κυκλικά:

$a+b<1+ab \,\, (1)$
$b+c<1+bc \,\, (2)$
$a+c<1+ac \,\, (3)$

Προσθέτουμε κατά μέλη (1),(2),(3) και έχουμε $<3$ +ab+bc+ac \stackrel{\times 2}{\Rightarrow}4(a+b+c)<6+2(ab+bc+ac)\,\, (4)" />. Πολλαπλασιάζοντας τώρα την (1) με το c, την (2) με το α και την (3) με το b και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε:

$2(ab+bc+ac)<a+b+c+3abc\,\, (5)$

Aπό (4) και (5) έχουμε τελικά $4(a+b+c)<6+a+b+c+3abc \Rightarrow \boxed{a+b+c<2+abc}$ όπως θέλαμε!

Αγγελική!!! · 3 Νοεμβρίου 2011 στις 18:06

Στην 1 γίνεται έτσι??
--> $\alpha +\beta <1+\alpha \beta \Leftrightarrow \alpha -1<\alpha \beta -\beta \Leftrightarrow \alpha -1<\beta (\alpha -1)\Leftrightarrow 0<\beta$

rebel · 3 Νοεμβρίου 2011 στις 18:14

$a+b<1+ab \Leftrightarrow a-1+b-ab<0 \Leftrightarrow a-1+b(1-a)<0 \Leftrightarrow (a-1)(1-b)<0$ που ισχύει αφού $a-1<0,\,\, 1-b>0$

Στην λύση σου στο τελευταίο σου βήμα διαιρείς με αρνητικό αριθμό οπότε αλλάζει η φορά της ανισότητας. Επίσης δεν μένει 0 αλλά 1 : $a-1<b(a-1)\Leftrightarrow 1>b$

Αγγελική!!! · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 17:08

Ορίστε και μία άλλη λύση για το ερώτημα 2!
Αφού --> $\alpha +\beta <1+\alpha \beta$ , τότε --> (προσθέτω στην ανίσωση το $\gamma$ )
$\alpha +\beta +\gamma < 1+\alpha \beta +\gamma$ , όπου $0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ [1]
και $\alpha \beta +\gamma <1+\alpha \beta \gamma$ , όπου $0<\alpha \beta ,\gamma <1$ [2] (από την πρώτη άσκηση)
Από την [1] και [2], προσθέτωντας κατά μέλη, έχουμε $\alpha +\beta +\gamma <2+\alpha \beta \gamma$ ,το οποίο θέλουμε να αποδείξουμε!!!

anta1996 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 11:49

Αν ισχυουν οτι χ προς α ισο με ψ προς β ισο με ζ προς γ, α+β+γ=1 και α*α+β*β+γ*γ=1 ν.δ.ο χψ+ψζ+ζχ=0

rebel · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 12:17

anta1996 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 12:22

ευχαριστω πολυ!!!

Μπορει καποιος να μου δωσει δυσκολα θεματα πανω στις ταυτοτητες α λυκειου???

rebel · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 17:28

Για να μην τις γράφω εδώ δες στην συλλογή ασκήσεων στην άλγεβρα κάποιες που συγκέντρωσα. Δεν είναι πολύ δύσκολες αλλά αξίζουν μία προσπάθεια.

anta1996 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 20:49

Θεωρουμε ενα πειραμα τυχης και Α ειναι ενα ενδεχομενο του δχ Ω και Α' το αντιθετο του ενδεχομενου Α και οτι ισχυει: 49 προς P(Α) και 9 προς Ρ(Α') μικροτερο η ισο του 100...Να βρειτε τις πιθανοτητες Ρ(Α) και Ρ(Α')

g1wrg0s · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 21:01

Πολλαπλασιασε με P(A)*P(A') ολα τα μελη. Χρησιμοποιουμε το P(A') = 1-P(A) και μετα νομιζω πως ξερεις τι να κανεις .

Αγγελική!!! · 2011-11-10T00:26:07+0200

$f(x)=|{x}^{2}-x+1| +|3-4x|-2x+5$ ,τότε->
Επειδή ${x}^{2}-x+1 \Leftrightarrow {x}^{2}-2x+x+1\Leftrightarrow {(x-1)}^{2}+x>0$
Άρα --> $f(x)=|{x}^{2}-x+1| +|3-4x|-2x+5 \Leftrightarrow f(x)={x}^{2}-x+1+|3-4x|-2x+5\Leftrightarrow f(x)={x}^{2}-3x+6+|3-4x|$
Έτσι εάν -->
* $3-4x<0\Leftrightarrow x>3/4$ , τότε $f(x)={x}^{2}-3x+6-3+4x\Leftrightarrow f(x)={x}^{2}+x+3$
* $3-4x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 3/4$ , τότε $f(x)={x}^{2}-3x+6+3-4x\Leftrightarrow f(x)={x}^{2}-7x+9$
Eίναι σωστό έτσι όπως το έκανα???

και αυτή καμιά ιδέα για το πώς αλλιώς να τη λύσω??? $f(x)=|-{x}^{2}-x-1|+|2-3x|+x$

rebel · 2011-11-10T12:25:22+0200

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Επειδή ${x}^{2}-x+1 \Leftrightarrow {x}^{2}-2x+x+1\Leftrightarrow {(x-1)}^{2}+x>0$

Αυτό από μόνο του δεν μας εξασφαλίζει ότι ${x}^{2}-x+1>0$ αφού $(x-1)}^{2} \geq 0 \,\,\kappa a \iota \,\, x \in \mathbb{R}$ . Μπορείς όμως να εφαρμόσεις την ίδια τεχνική με της άσκησης 4 ii) B' ομάδας της παραγράφου 2.2 του σχολικού. Δηλαδή $x^2-x+1>0 \Leftrightarrow 2x^2-2x+2>0 \Leftrightarrow (x-1)^2 +x^2+1>0$ που ισχύει αφού $(x-1)^2\geq 0,\,\, x^2 \geq 0,\,\, 1>0$ .
Τα υπόλοιπα που λες σωστά φαίνονται. Η επόμενη άσκηση είναι στο ίδιο μοτίβο αφού $\left|-(x^2+x+1)\right|=|x^2+x+1|$ και $x^2+x+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

abcdef · 2011-11-12T15:39:43+0200

Γιατί δεν το λέτε απλα;
Το συνεπάγεται είναι όταν το statement Β προκύπτει από το Α, αν πάλι και το Α προκύπτει από το Β τότε αυτά τα δύο ισοδυναμούν.

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος