Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

alchemia · 13-06-09

Λαθος την τεμνει.
Αλλα οχι εσωτερικα.

Γ αυτο οσα λεω δεν ειναι σωστα

Παρολα αυτα λειπει η αποδειξη

georg13pao · 13-06-09

Ξαναδιάβασε λίγο το ποστ μου

Έρχεται σε λίγο η απόδειξη.

alchemia · 13-06-09

Αρχική Δημοσίευση από georg13pao:
Λάθος μου, μπορεί να αποδειχθεί ότι ποτέ η μεσοκάθετος δεν τέμνει τη διχοτόμο εντός τριγώνου.

Διαβασα το εντος, ενος

το περνω πισω

georg13pao · 13-06-09

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με διχοτόμο ΑΔ και διάμεσο ΑΜ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ΑΒ<ΑΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΖ. Επειδή ΑΜ=ΜΖ και ΒΜ=ΓΜ, το ΑΒΖΓ είναι παραλληλόγραμμο.

Τώρα γωνΒΑΜ=γωνΜΖΓ (1) επειδή ΑΒ//ΓΖ.

Όμως επειδή ΑΒ=ΓΖ<ΑΓ, οι αντίστοιχες γωνίες θα είναι αντιστοίχως άνισες, δηλαδή γωνΜΑΓ<γωνΜΖΓ (2).

Από (1),(2) παίρνουμε γωνΜΑΓ<γωνΒΑΜ, όμως γωνΜΑΓ+γωνΒΑΜ=γωνΑ. Αυτές οι 2 σχέσεις δίνουν ότι γωνΜΑΓ<(γωνΑ)/2 (3)
Όμως, έχουμε πως γωνΓΑΔ=(γωνΑ)/2 (4) λόγω διχοτόμου.

Οι (3),(4) δίνουν γωνΜΑΓ<γωνΓΑΔ. (5)

Από την τελευταία προκύπτει
-γωνΜΑΓ>-γωνΓΑΔ
Α-γωνΜΑΓ>Α-γωνΓΑΔ
γωνΒΑΜ>γωνΒΑΔ

Φέρνουμε και ύψος ΑΕ, οπότε βλέπουμε ότι για τις 2 πλάγιες στα δεξιά του ΑΔ ισχύει ΑΔ<ΑΜ, δηλαδή η ΑΜ βρίσκεται δεξιά της ΑΔ. Φέρνουμε την κάθετη στο Μ, που τέμνει την ΑΓ στο Κ. Τώρα επειδή η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη της απέναντι εσωτερικής έχουμε γωνΑΔΜ>γωνΑΕΔ=90 δηλ, η γωνΑΔΜ είναι αμβλεία.

Όμως, επειδή γωνΑΔΜ+γωνΔΜΚ>180 μοίρες, δεν μπορεί να σχηματιστεί τρίγωνο ΔΜΟ, ώστε το Ο να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΒΓ και βρίσκεται το Α. Άρα η ΑΔ και η ΜΚ τέμνονται εκτός του ΑΒΓ.

AlexanderV · 13-06-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Αν ο ν τείνει στο άπειρο, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τότε το = είναι καθαρό.

ok ευχαριστώ

alchemia · 13-06-09

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με διχοτόμο ΑΔ και διάμεσο ΑΜ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ΑΒ<ΑΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Επειδή ΑΜ=ΜΔ και ΒΜ=ΓΜ, το ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο.

Πρεπει να εχεις κανει καπου λαθος το οποιο ειναι φανερο αφου τα B,Δ,Γ ειναι σημεια την ΒΓ

Η δικια μου αποδειξη ειναι η εξης:

georg13pao · 13-06-09

Ωχ, ονόμασα 2 σημεία με το ίδιο γράμμα. Το διόρθωσα τώρα.

Η απόδειξή σου είναι λάθος νομίζω. Στο σημείο που αποδεικνύεις ότι το DBG είναι ισοσκελές, ουσιαστικά χρησιμοποιείς το γεγονός ότι η μεσοκάθετος περνάει από το D, το οποίο δεν έχει αποδειχθεί.

alchemia · 13-06-09

Κοιτα δεν εκανα το σχημα σου.
Οπως το διαβαζω δεν βλεπω καπου να κανεις λαθος...απλα εχεις επιλεξει πολυ πολυπλοκο τροπο αποδειξης ενω βγαινει πολυ απλα.
Παντως μπραβο σου, πολυ λιγα παιδια εχουν τετοιες γνωσεις στην Β' γυμνασιου(αμφιβαλλω αν υπαρχουν καν στο βιβλιο αλλα δεν θυμαμαι κιολλας

.)
Ειναι καποιος απο τους γονεις σου μαθηματικος;

georg13pao · 13-06-09

Ναι αλλά η δική σου απόδειξη δεν είναι σωστή

alchemia · 13-06-09

Ολοσωστη ειναι
απλα μπορει να μην τα εχετε κανει ακομα
Η μεσοκαθετος περναει απο το D

georg13pao · 13-06-09

Βασικα η ιδέα σου είναι σωστή και βγαίνει όπως το λες, απλά δεν το διατύπωσες πολύ καλά.

Γιατι η μεσοκάθετος περνάει από το D?

alchemia · 13-06-09

Κοιταξε, καποια στιγμη ειτε στην 3η γυμνασιου ειτε στην 1η λυκειου θα κανετε οτι η μεσοκαθετος μιας χορδης διχοτομει το αντιστοιχο τοξο.
Αυτο βγαινει πολυ απλα :
Αν φτιαξεις εναν κυκλο, παρεις μια χορδη και την μεσοκαθετο του, ενωνοντας το σημειο που η μεσοκαθετος τεμνει τον κυκλο με τις ακρες της χορδης δημιουργουνται 2 ορθ.τριγωνα τα οποια εχουν τις καθετες πλευρες τους ισες( η μια κοινη βσκ) οποτε οι γωνιες μεταξυ χορδης και των πλευρων που ενωνουν τις ακρες της χορδης και το σημειο τομης του κυκλου με την μεσοκαθετο ειναι ισες.
Και ισες γωνιες βαινουν σε ισα τοξα.
Αν κανεις το σχημα θα σου βγει πολυ απλα. Και απο το σχημα που εχω κανει εγω αν συγκρινεις τα ΜΔΓ και ΜΔΒ εχουν : μια γωνια ορθη, ΜΒ=ΜΓ και ΜΔ κοινη
Αρα Β1=Γ1

georg13pao · 13-06-09

Ναι αλλά η διατύπωσή σου παραμένει λάθος

Θα μπορούσες να είχες πει το εξής:
AD: Διχοτόμος άρα D μέσο του τόξου BG
Φέρνουμε τη μεσοκάθετο της BG, η οποία σύμφωνα με γνωστό θεώρημα περνάει από το D.
Άρα η διχοτόμος και η μεσοκάθετος τέμνονται στο D.

Παραδέχομαι ότι ήταν πολύ έξυπνη η σκέψη σου.

alchemia · 13-06-09

Κοιτα απο τη στιγμη που σου δινς σχημα, ειναι κατανοητο.
Απλα περασα καποια βηματα τα οποια θεωρησα αυτονοητα
Εν παση περιπτωση λυθηκε

georg13pao · 13-06-09

Βασικά έκανες περιττά πράγματα, αφού μπορούσε να αποδειχθεί ευκολότερα, αυτό προσπαθούσα να πω και γι'αυτό δεν τη θεωρούσα σωστή

AlexanderV · 13-06-09

Καλά ρε παιδιά ηρεμήστε :no1:

13diagoras · 21-06-09

ειπα και εγω να ανοιξω το πρωτο μου θεμα...οποιος και αν εχει ορεξη ας γραψει μερικες καλες...
ας αρχισω λοιπον,

$<br /> \frac{1}{{x}^{2}-10x-29}+\frac{1}{{x}^{2}-10x-45}=\frac{2}{{x}^{2}-10x-69}<br />$

american invitational mathematical examination 1990

ειναι σχετικα δυσκολη κατα τη γνωμη μου ..ζητηστε και υποδειξεις:no1:

statakos · 21-06-09

Μην μου πείς ότι βγαίνει ακριβώς η λύση/λύσεις(αν έχει δύο)...

Civilara · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Eukleidis:
ιπα και εγω να ανοιξω το πρωτο μου θεμα...οποιος και αν εχει ορεξη ας γραψει μερικες καλες...
ας αρχισω λοιπον,

american invitational mathematical examination 1990

ειναι σχετικα δυσκολη κατα τη γνωμη μου ..ζητηστε και υποδειξεις:no1:

Ας λύσουμε την άσκηση που έθεσε ο 13diagoras που είναι και συντοπίτης. Θέτω $y={x}^{2}-10x$ όπου $x\epsilon R$ . Για να ορίζονται οι ρητές παραστάσεις στην εξίσωση πρέπει να ισχύει $y\neq 29,y\neq 45,y\neq 69$ . Η εξίσωση μετατρέπεται ισοδύναμα στην

$\frac{1}{y-29}+\frac{1}{y-45}=\frac{2}{y-69}\Rightarrow (y-45)(y-69)+(y-29)(y-69)=2(y-29)(y-45)\Rightarrow ...\Rightarrow 2{y}^{2}-212y+5106=2{y}^{2}-148y+2610\Rightarrow 64y=2496\Rightarrow y=39$

Η τιμή του y ικανοποιεί τους περιορισμούς, οπότε γίνεται δεκτή.

${x}^{2}-10x=y=39\Rightarrow {x}^{2}-10x-39=0$

$\Delta =256>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=16$

${x}_{1}=\frac{10+16}{2}\Rightarrow {x}_{1}=13$
${x}_{2}=\frac{10-16}{2}\Rightarrow {x}_{2}=-3$

13diagoras · 11 Ιουλίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ας λύσουμε την άσκηση που έθεσε ο 13diagoras που είναι και συντοπίτης. Θέτω $y={x}^{2}-10x$ όπου $xepsilon R$ . Για να ορίζονται οι ρητές παραστάσεις στην εξίσωση πρέπει να ισχύει $yneq 29,yneq 45,yneq 69$ . Η εξίσωση μετατρέπεται ισοδύναμα στην

$frac{1}{y-29}+frac{1}{y-45}=frac{2}{y-69}Rightarrow (y-45)(y-69)+(y-29)(y-69)=2(y-29)(y-45)Rightarrow ...Rightarrow 2{y}^{2}-212y+5106=2{y}^{2}-148y+2610Rightarrow 64y=2496Rightarrow y=39$

Η τιμή του y ικανοποιεί τους περιορισμούς, οπότε γίνεται δεκτή.

${x}^{2}-10x=y=39Rightarrow {x}^{2}-10x-39=0$

$Delta =256>0Rightarrow sqrt{Delta }=16$

${x}_{1}=frac{10+16}{2}Rightarrow {x}_{1}=13$
${x}_{2}=frac{10-16}{2}Rightarrow {x}_{2}=-3$

ολοσωστος...:no1:

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος