Αν η ανίσωση αχ+β ≥ 0, με α,β χεR, έχει λύσεις τα χεR με x ≤ 4, να λύσετε την ανίσωση αχ² + β < 0.
Μήπως μπορεί κανείς να μου το εξηγήσει κανείς όσο γίνεται απλά, γιατί είδα τη λύση στο βοήθημα και δεν την πολυκατάλαβα.
Και αυτό αν θα μπορούσε κάποιος
Δίνεται το τριώνυμο αχ² + βχ + γ με ρίζες ρ1 και ρ2 για τις οποίες είναι ρ1 < 0 < ρ2. Αν ισχύει αχ² + βχ + γ > 0 ⇔ χ ανήκει (ρι,ρ2) να βρείτε τα πρόσημα των α,γ.
Για το πρωτο μπορεις να σκεφτεις ως εξης.
αχ+β>=0 για καθε χ<=4 αρα για χ = 4 θα ειναι 4α+β=0 => β=-4α (σχεση 1) (Προκειται για την οριακη συνθηκη,και εφοσον η συναρτηση μπορει να ειναι ειτε θετικη ειτε μηδενικη,στην οριακη συνθηκη πρεπει να ειναι 0 ωστε επειτα να γινει αρνητικη και να μην ικανοποιειται ο περιορισμος μας).
Επειτα προκυπτει για το αχ²+β = 0 οτι εχει διακρινουσα θετικη(Αλιμονο δηλαδη εαν δεν ηταν διοτι μας ζητα να λυσουμε για ποια χ ειναι αρνητικη ,οποτε Δ=0,Δ<0 δεν περιμεναμε καθως τοτε θα ψαχναμε για το προσημο του α και θα τελειωναμε και οχι ενα συνολο των πραγματικων) καθως :
Δ = β²-4αγ = 0²-4αβ = -4α*(-4α) = 16α² >0(σχεση 2) για καθε χ Ε R λογω της (1).
Επειτα παιρνεις τον γνωστο τυπο και θα βρεις
χ1,2 = -β+-sqrt(Δ)/2α = 8α+-2α .(αντικαθιστας οπου το Δ το αποτελεσμα της σχεσης 2 που θα βγει ως 4|α|,το απολυτο μπορεις να το ξεφορτωθεις εαν θες καθως ο τυπος ηδη προνοεί με το +- που εχει εκ φυσεως,αρα μας καλυπτει.)
Τωρα εστω οτι ηταν α>0,τοτε για χ = 0 απο την αχ+β=y εχουμε β=y.
Ομως επειδη το 0<4 θα πρεπει να ισχυει αχ+β>0.
Αλλα β = -4α = y.
Συνεπως y<0. Ατοπο βεβαια αρα ειναι α<0.
Τελικα η ανισωση εχει λυση :
χ<8α-2α η χ>8α+2α
Ισως να μπορεις να βρεις και αλλιως το προσημο του α πιο ευκολα,απλα ετσι μου ηρθε τωρα οποτε δεν το πολυψαχνω παραπανω,πειραματισου ομως δεν βλαπτει(Ενας αλλος εξισου σωστος τροπος θα ελεγα ειναι να σκεφτεις οτι αφου η συναρτηση καθως τα χ τρεχουν προς το -οο παραμενει πανω απο το 0 τοτε πρεπει να ειναι γνησιως φθινουσα.Επειδη ειναι γραμμη και γνησιως φθινουσα ο συντελεστης διευθυνσης ειναι α<0.)
Οσο για την δευτερη,εχεις αχ²+βχ+γ >0 για καθε ρ1<χ<ρ2.
Αρα εφοσον η δευτεροβαθμια εχει δυο πραγματικες ριζες θα εχει Δ>0 και επειδη ειναι θετικη αναμεσα στις ριζες,α<0.
Επισης οι ριζες ειναι ετεροσημες αρα p=γ/α=ρ1*ρ2<0.
Ομως εχουμε ηδη βρει οτι το α<0 αρα ειναι γ>0.
Ελπιζω να βοηθησα.
