Πρακτικά δεν τα χρησιμοποιούμε πουθενά
Kρίμα πάντως που δεν τα αναφέρουν πια στις Εξετάσεις. Κάθε σχολή που σέβεται τον εαυτό της, έχει στο πρώτο εξάμηνο μάθημα "
Γραμμικής Άλγεβρας".
Χωρίς να θέλω να το κουράσω, σκεφτείτε τα εξής:
1.
Σύνολο: Επίπεδο Οχψ με στοιχεία (χ,ψ).
Πράξεις: α) Πρόσθεση δυο διανυσμάτων: (χ,ψ)+(ζ,ω)=(χ+ψ,ζ+ω).
β) γινόμενο με αριθμό ("βαθμωτό γινόμενο"): λ*(χ,ψ)=(λχ,λψ).
To αποτέλεσμα δηλαδή των πράξεων είναι ένα καινούριο στοιχείο του συνόλου (διάνυσμα).
2.
Σύνολο: Πραγματικές συναρτήσεις f:R -> R.
Πράξεις: α) Πρόσθεση συναρτήσεων: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
b) Βαθμωτό γινόμενο: (λf)(x)=λ*f(x).
Το αποτέλεσμα των πράξεων είναι ένα καινούριο στοιχείο του συνόλου (μια συνάρτηση).
3.
Σύνολο: Λύσεις της διαφορικής εξίσωσης h''+h=0.
Πράξεις: Όπως και στην περίπτωση 2.
α) Πρόσθεση: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
b) Βαθμωτό γινόμενο: (λf)(x)=λ*f(x).
Για να δούμε εάν το αποτέλεσμα των πράξεων είναι στοιχείο του συνόλου (δηλαδή λύση της h''+h=0).
Για την πρόσθεση, θα έχουμε: (f+g)''+(f+g)=f"+g"+f+g=(f"+f)+(g"+g)=0+0=0,
άρα προσθέτωντας στοιχεία του συνόλου, λαμβάνουμε πάλι ένα στοιχείο του συνόλου.
Η απόδειξη ότι το βαθμωτό γινόμενο μας δίνει πάλι στοιχείο του συνόλου, αφήνεται σε αυτόν που δεν βαριέται.
Παρατηρούμε δηλαδή πως το επίπεδο, οι πραγματικές συναρτήσεις, και οι λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων έχουν ομοιότητες στην δομή τους. Αυτό δίνει και το έναυσμα για να αποκαλούμε κάθε σύνολο όπως τα προηγούμενα "Διανυσματικό Χώρο".
Τεσπα.
Οι διανυσματικοί χώροι διακρίνονται μόνο ανάλογα με την διάστασή τους, δηλαδή το πλήθος "διανυσμάτων" που απαιτούνται ώστε να περιγραφούν όλα τα διανύσματα του Χώρου χρησιμοποιώντας τις πράξεις που αναφέραμε. Δηλαδή;
Στο επίπεδο ξέρουμε πως (χ,ψ)=χ(1,0)+ψ(0,1), άρα τα διανύσματα {(1,0),(0,1)} αρκούν
για να περιγραφεί το επίπεδο, και η διάσταση του επιπέδου θα είναι 2.
Ομοίως η διάσταση του χώρου των διανυσμάτων (χ,ψ,ζ) θα είναι 3.
Όμως η διάσταση του χώρου των πραγματικών συναρτήσεων δεν μας κάνει την χάρη να είναι πεπερασμένη.
τεσπα
