Ασκήσεις στην Τριγωνομετρία

mostel · 17-09-07

Μία άσκηση τριγωνομετρίας, έτσι, για να μπούμε και στο πνεύμα του 1ου κεφαλαίου

Να υπολογιστεί η παράσταση:

$\sin5^{\circ}\cdot \sin15^{\circ}\cdot \sin25^{\circ}\cdot \sin 35^{\circ}\cdot \sin45^{\circ}\cdot \sin55^{\circ}\cdot \sin65^{\circ}\cdot \sin75^{\circ}\cdot \sin85^{\circ}$

sinx = ημχ

mostel · 21-09-07

Απάντηση: $\frac{\sqrt{2}}{2^9}$

Κάποιος τώρα;

Focus · 21-09-07

Δεν θα σας δώσω την απάντηση.Αλλά γιανα λύσει κάποιος την άσκηση αυτή θα πρέπει να έχει διδαχθεί την αντίστοιχη ύλη στην Α΄Λυκείου που στα περισσότερα λύκεια δεν έχει γίνει
Η μαγεία μιας άσκησης δεν είναι το αποτέλεσμα αλλά ο τρόπος λύσης που μπορεί να είναι περισσότεροι απο ένας

mostel · 21-09-07

Αρχική Δημοσίευση από Focus:
Δεν θα σας δώσω την απάντηση.Αλλά γιανα λύσει κάποιος την άσκηση αυτή θα πρέπει να έχει διδαχθεί την αντίστοιχη ύλη στην Α΄Λυκείου που στα περισσότερα λύκεια δεν έχει γίνει
Η μαγεία μιας άσκησης δεν είναι το αποτέλεσμα αλλά ο τρόπος λύσης που μπορεί να είναι περισσότεροι απο ένας

Αν δεν έχει διχαχτεί την ύλη της πρώτης λυκείου όμως δε θα μπορεί να διδαχτεί και την ύλη της δευτέρας. Οπότε, θέλοντας και μη, διδάσκεται και η ύλη της Α' λυκείου (τουλάχιστον στην τριγωνομετρία) στους μαθητές της Β' λυκείου, στην αρχή της σχολικής χρονιάς.

Στέλιος

Focus · 22-09-07

Εννοείται αυτό.Η Αλγεβρα της Β΄ξεκινά απο το τέλος της Α΄Λυκείου και μάλιστα απο το 4κεφ. για όσους δεν το διδάχτηκαν

mostel · 22-09-07

Αρχική Δημοσίευση από Focus:
Εννοείται αυτό.Η Αλγεβρα της Β΄ξεκινά απο το τέλος της Α΄Λυκείου και μάλιστα απο το 4κεφ. για όσους δεν το διδάχτηκαν

Το ανέφερα γιατί στο παραπάνω ποστ αναφέρθη ότι "δεν έχει διδαχτεί η τριγωνομετρία της Α' στα περισσότερα λύκεια"

Γι' αυτό και έβαλα την άσκηση στη Β' Λυκείου, θεωρώντας ως δεδομένο ότι, αργά ή γρήγορα θα την έχουν διδαχτεί την αντίστοιχη ύλη.

Η λύση που 'χω υπόψη μου, ωστόσο, χρησιμοποιεί μόνο γνώσεις της Β' λυκείου. Πέρα από μερικούς κλασικούς μετασχηματισμούς, που 'χουν γίνει και στο γυμνάσιο.

Στέλιος

bobiras11 · 07-11-07

Παιδιά, θέλω λύση στη παρακάτω άσκηση με τριγωνομετρικούς τύπους 2α

Αν είναι συν(α/4)=1/4, τότε να υπολογίσετε το συνα.

Θέλω και έναν β' τρόπο για να φτάσουμε στο α. Το αντίθετο μου βγήκε!

exc · 07-11-07

mostel · 08-11-07

συνα λέει...

Υψώστε διαδοχικά τετράγωνα, αφαιρέστε τετράγωνα ημιτόνων (γνωστά από βασική τριγωνομετρική ταυτότητα).

exc · 08-11-07

συνα λέει...

Ok γράψε λάθος...

Πάντως υπάρχει και πιο εύκολος δρόμος από αυτόν που προτείνεις mostel (βασικά δεν κατάλαβα τι εννοείς):

$cos(a/4)=1/4\\cos^2(a/4)=1/16\\2cos^2(a/4)=1/8\\2cos^2(a/4)-1=-7/8\\cos(a/2)=-7/8$

Συνεχίζουμε παρόμοια ώστε να καταλήξουμε στο συνα που είναι ίσο με 17/32.

bobiras11 · 11 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ok γράψε λάθος...

Πάντως υπάρχει και πιο εύκολος δρόμος από αυτόν που προτείνεις mostel (βασικά δεν κατάλαβα τι εννοείς):

$cos(a/4)=1/4cos^2(a/4)=1/162cos^2(a/4)=1/82cos^2(a/4)-1=-7/8cos(a/2)=-7/8$

Συνεχίζουμε παρόμοια ώστε να καταλήξουμε στο συνα που είναι ίσο με 17/32.

Αυτό εννοεί:no1:
Και αυτό είναι το αποτέλεσμα.

Οι παρακάτω ασκήσεις είναι αποδεικτικές με χρήση κυρίως των τύπων 2α.
Χρειάζομαι απαντήσεις, κυρίως μέθοδο ανάπτυξης.

1)ημ2α/1+ημ2α = 2/(1+εφα)(1+σφα) Τι θα κάνουμε με εφα και σφα, αφού αναπτύξουμε τα ημ2α;

2)εφ(45+α/2)+σφ(45+α/2)=2/συνα

Focus · 08-11-07

Ξεκίνα απο το 2 μέλος.Αντικατέστησε εφα και συνα,μετά ομώνυμα, μετάτα κλάσματα απλά και θα καταλήξεις σε κλάσμα με αριθμητή ημ2α και στον παρονομαστή (συνα+ημα.)εις το 2
Τότε:ανάπτυγμα ταυτότης και θα βγει 1+ημ2α

mostel · 08-11-07

Aφήστε τις ίδιες και τις ίδιες ασκήσεις... αυτή που πρότεινα π.χ. πρώτα και είναι αρκετά πρωτότυπη και έξυπνη, δεν ασχολήθηκε κανείς!! :'(

Δείτε ακόμη μία, για να στανιάρουμε:

Έστω ότι ισχύει η παρακάτω παράσταση:

$(1+\tan1^\circ)(1+\tan2^\circ)\cdots(1+\tan45^\cir )=2^n$

Βρείτε τον $n$ .

tan = εφαπτομένη

ΥΣ: Exc, το ίδιο πράμα έγραψα. Μετασχηματισμό στον τύπο απλώς κάνεις εσύ.

exc · 09-11-07

Εγώ mostel δεν μπορώ να τη λύσω. Πρώτη φορά βλέπω τέτοια άσκηση.

Σκέφτηκα να κάποια πράγματα, αλλά έχουν πολλές πράξεις.

Δώσε τη λύση...

mostel · 09-11-07

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Εγώ mostel δεν μπορώ να τη λύσω. Πρώτη φορά βλέπω τέτοια άσκηση.

Σκέφτηκα να κάποια πράγματα, αλλά έχουν πολλές πράξεις.

Δώσε τη λύση...

Για ποια λες; Για τη πρώτη που πρότεινα ή για τη δεύτερη;

miv · 09-11-07

Καλα, ουτε εγω εχω ξαναδει τετοιο πραγμα. Ισως ακομη δεν το εχουμε διδαχτει.

exc · 09-11-07

Ε όχι την πρώτη...

Την δεύτερη.

miv · 09-11-07

Η πρωτη ενταξει. Αν και 1+εφθ ή 1+σφθ δεν πεφτει συνηθως. Οι δυο αυτοι τυποι ειναι εφαρμογες, οχι βασικες τριγωνομετρικες ταυτοτητες. Αρα λοιπον απαγορευεται να ζητηθουν. Μονο αν καποιος τις θυμηθει μπορει να τις χρησιμοποιησει.

exc · 09-11-07

miv που αναφέρεσαι; Εγώ λέω για την πρώτη και τη δεύτερη που έδωσε ο mostel...

mostel · 09-11-07

Πάντως, αυτές κατά τη γνώμη μου είναι ασκήσεις. Που σε βάζουν να σκεφτείς. Δεν έχει σημασία αν δε τη λύσεις. Σημασία έχει που προσπάθησες, που "ψάχτηκες". Όχι π.χ. έχουμε εξισώσεις του στυλ: "ημ2α - ημα + 1 =0" και τις λύνουν και καθηγητές και μαθητές και χαίρομαστε όλοι μαζί. Γιατί τότε πρόκειται περί παπαγαλισμού.

Τώρα, στα της άσκησης... Θα αποδείξω ένα πολύ χρήσιμο λημματάκι που ουσιαστικά λύνει την άσκηση:

Για $x+y=45^\circ$ , ισχύει:

$tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

Όμως $tan45^\circ = 1$ , άρα:

$1-\tan x\tan y=\tan x + \tan y$

$\tan x\tan y=1- \tan x - \tan y$

Δηλαδή για $(1+ \tan1^\circ)(1+\tan44^\circ)$ , Θα έχουμε:

$1+\tan44^\circ + \tan1^\circ + \tan1^\circ\tan44^\circ$ . Όμως από την (1):

$1+1-\tan1^\circ-\tan44^\circ + \tan1^\circ + \tan44^\circ = 2$

Εντελώς όμοια και για τις άλλες, οπότε προκύπτει $n=23$ .

Ασκήσεις στην Τριγωνομετρία

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος