Άσκηση πιθανοτήτων και απορίες Στατιστικής

[bovid19]

Θεωρείς τη συνολοσυνάρτηση Q:2^Ω --> R με Q({a})=0.6, Q({b})=0.5, Q({a,b})=Q(Ω)=1, Q(∅)=0. Αυτή ικανοποιεί τις ιδιότητες της θετικότητας (Όλα μη αρνητικά) και της τυποποίησης (Q(Ω)=1). Το αφήνω σε εσένα να εξηγήσεις γιατί δεν ικανοποιεί την ιδιότητα της προσθετικότητας

 

[aggelosst9]

Ω={ΗΗ,ΤΗ,ΤΤ,ΗΤ}. Να βρεθεί το 2^Ω και αν P(HH)=P(TH)=P(TT)=P(HT)=1/4 να βρεθεί η P

Εδώ αρκεί να αποδώσω σε κάθε στοιχείο του δυναμοσυνολου (16 στοιχεία) πιθανότητα σύμφωνα με τις ιδιότητες;

 

[bovid19]

Σωστά. Μπορείς να το κάνεις ή εξαντλητικά (στοιχείο προς στοιχείο) ή να βρεις έναν λίγο γενικότερο κανόνα αν θες πιο γρήγορα.

 

[aggelosst9]

Ωραία ευχαριστώ πολύ!!

 

[mikroaggelaki]

μπορείτε να αναλύσετε το υποερώτημα με την προσθετικότητα, καθώς και την ερώτηση "αν P(HH)=P(TH)=P(TT)=P(HT)=1/4 να βρεθεί η P"; Δίνω ακόμα δύο ερωτήσεις:

Άσκηση 1. Έστω B∈Σ_2, με P(B)>0. Έστω η P_B: Σ_2→R που ορίζεται από: αν A∈Σ_2, P_B (A)≔P(A∩B)/P(B) (δεσμευμένη πιθανότητα του A ως προς B. Να δειχθεί ότι η P_B είναι καλώς ορισμένη κατανομή πιθανότητα επί του Ω.

Άσκηση 2. Στο υπόβαθρο της Άσκησης 1, έστω A∈Σ_2 με P(A∩B)=P(A)P(B) (τα A, B ονομάζονται ανεξάρτητα μεταξύ τους). Να δειχθεί ότι αν B=Ω, τότε P_B (A)=P(A) για κάθε A∈Σ_2.

 

[bovid19]

Στην δεύτερη άσκηση μήπως είναι περιττή η ανεξαρτησία;

 

[mikroaggelaki]

Υποθέτω πως ναι, αλλά έτσι δόθηκε η ασκηση

 

[bovid19]

1)

Spoiler

Έχουμε
Επίσης για κάθε
Θεωρούμε επίσης μια ακολουθία τέτοια ώστε και για κάθε .
Έχουμε
Όπου ο δειγματικός χώρος και η σ-άλγεβρα του .
Άρα το είναι ένα καλώς ορισμένο μέτρο πιθανότητας, το οποίο είναι και λογικό γιατί το απλά κάνει "ζουμ" απ'το στο

2) Είναι πολύ απλό και δεν χρειάζεται καν η ανεξαρτησία.

 

[mikroaggelaki]

σε ευχαριστώ. Σε αυτό: Ω={ΗΗ,ΤΗ,ΤΤ,ΗΤ}. Να βρεθεί το 2^Ω και αν P(HH)=P(TH)=P(TT)=P(HT)=1/4 να βρεθεί η P

δεν το κατάφερα, έχεις κάτι να προτείνεις? Επίσης, αν Ω={α,β,γ}, να βρεθεί το 2^Ω και να βρεθεί το σύνολο των κατανομών πιθανότητας που ορίζονται στο Ω.

 

[aggelosst9]

Έστω Ω={α}, Χ(α)=ceR. Να βρεθεί το X^-1(A) και αν P({α})=1 να βρεθεί η κατανομή της Χ.

Η κατανομή λογικά είναι η εκφυλισμένη στο α, αλλά πως μπορώ να το αποδείξω; Μπορώ να υποθεσω πως αφού P({α})=1, το α είναι στήριγμα και μετά να αποδείξω τις 3 ιδιότητες;

 

[aggelosst9]

Επειδή θάφτηκε, έχει κανείς καμιά ιδέα;