Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lowbaper92 · 05-02-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Λαθος ! f κοιλη -> f' γν. φθινουσα και μονο αν f 2 φορες παραγωγισιμη f''(x)<0 !

Ακόμα και αν η f κοιλη και 2 φορες παραγωγίσιμη, δεν σημαίνει οτι f''(x)<0. Μπορεί να κάνει και μηδέν. Αν θυμαμαι καλα εχει παραδειγμα το σχολικό.

lowbaper92 · 05-02-10

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Συγγνώμη...
Όταν έγραψες: "lim g(x), x teinei συν άπειρο"εννοούσες να βρεθεί το $\lim_{x\to +\infty}g(x)$ ;
Δεν ήθελες να βρεθεί το χ0 για το οποίο $\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty$ ; (που ήταν και αδύνατο να γίνει...)
Προς όλους:
Παιδιά, πρέπει να μάθετε $\LaTeX$ . Είναι χρήσιμο και για εδώ-θα συννενοούμαστε χωρίς παρεξηγήσεις- και θα σας χρειαστεί αργότερα και στο πανεπιστήμιο!
-----------
Δε χρειάζται καμία παραπάνω απόδειξη. Ήταν πλήρης αυτή που έδωσες. Βέβαια στις πανελλήνιες γράψε και 1-2 λόγια παραπάνω...

Αυτα τα 1-2 λογια θελω να μου πείτε.

exc · 05-02-10

Ακόμα και αν η f κοιλη και 2 φορες παραγωγίσιμη, δεν σημαίνει οτι f''(x)<0. Μπορεί να κάνει και μηδέν. Αν θυμαμαι καλα εχει παραδειγμα το σχολικό.

Έχουν περάσει δύο χρόνια από τότε που έκανα το σχολικό, βέβαια, αλλά δε θυμάμαι να έλεγε κάτι τέτοιο.
Άλλωστε δε είναι και λογικό. Αν f ''(x)=0 =>f '(x)=σταθερή => f(x)=ευθεία

Αυτα τα 1-2 λογια θελω να μου πείτε.

Κοίτα εμένα προσωπικά μου αρκεί αυτό που έγραψες, αλλά στις πανελλήνιες καλό θα ήταν να πεις τι σημαίνει ότι η f είναι κοίλη ώστε να εξηγήσεις το ότι η εφαπτομένη της είναι συνεχώς από πάνω...
Και ένα πρόχειρο σχήμα δε θα ήταν κακό.

lowbaper92 · 05-02-10

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Έχουν περάσει δύο χρόνια από τότε που έκανα το σχολικό, βέβαια, αλλά δε θυμάμαι να έλεγε κάτι τέτοιο.
Άλλωστε δε είναι και λογικό. Αν f ''(x)=0 =>f '(x)=σταθερή => f(x)=ευθεία

Δεν θυμαμαι ποια εχει το σχολικό γιατι ειμαι σε νετ τωρα.
Mπορεί να μηδενίζει σε ενα σημείο. Για παραδειγμα ειναι η $f(x)={x}^{4}$ ειναι κυρτή αλλα f''(0)=0

exc · 05-02-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Δεν θυμαμαι ποια εχει το σχολικό γιατι ειμαι σε νετ τωρα.
Mπορεί να μηδενίζει σε ενα σημείο. Για παραδειγμα ειναι η $f(x)={x}^{4}$ ειναι κυρτή αλλα f''(0)=0

Ναι, οκ για ένα σημείο! Νόμιζα και εννούσες σε διάστημα.

save · 05-02-10

\int_{α}^{b}f(χ)=0 τοτε το χωριο της f με τον χχ' περικληει θετικες και αρνητικες τιμες αρα υπαρχει χ0 τετοιο ωστε f(x0)=0
f συνεχης
αρα υπαρχει χ1,χ2 τετοια ωστε f(x1)*f(x2)< 0 απο BOLLZ

lowbaper92 · 06-02-10

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ναι, οκ για ένα σημείο! Νόμιζα και εννούσες σε διάστημα.

Δεν το διατύπωσα εγω σωστα. Επρεπε καλύτερα να γραψω ότι αν f κοίλη και 2 φορές παραγωγίσιμη, τότε $f''(x)\leq 0$

coheNakatos · 06-02-10

Αυτο που πρεπει να προσθεσετε ειναι η φραση "το "=" να ισχυει για συγκεκριμενες τιμες "

Harry0000 · 06-02-10

Έχω κολήσει λιγάκι εδωπέρα....... Μπορείτε να με βοηθήσετε;;;;

α. Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν δυο εφατομένες της παραβολής f(x)=x^2 που να είναι παράλληλες.
β. Να αοδείξετε οτι οι εφατομένες της Cf με f(x) = x^4 , x<0
(ριζα) x , 0<=x<6
στα κοινά σημεία με την ευθεία x-5y+6=0 είναι κάθετες.
γ. Να προσδιοριστεί ο λ ε R ώστε η ευθεία y=λx-3 να εφάτεται της Cf της συνάρτησης με τύο f(x)=x^2 +2x-2 και να βρείτε τα σημεία επαφής.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

χρηστοσ17 · 06-02-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Δεν θυμαμαι ποια εχει το σχολικό γιατι ειμαι σε νετ τωρα.
Mπορεί να μηδενίζει σε ενα σημείο. Για παραδειγμα ειναι η $f(x)={x}^{4}$ ειναι κυρτή αλλα f''(0)=0

δεν εχω παρακολουθησει απο την αρχη αλλα ισχυει γενικα οτι
f''>0 ,f(x1)+f(x2)>=2f((x1+x2)/2)
και αν η φ ειναι αρτια τοτε φ' περιτη η φ''αρτια ...
ομοια κ τ αλλα

exc · 06-02-10

Αρχική Δημοσίευση από Harry0000:
Έχω κολήσει λιγάκι εδωπέρα....... Μπορείτε να με βοηθήσετε;;;;

α. Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν δυο εφατομένες της παραβολής f(x)=x^2 που να είναι παράλληλες.
β. Να αοδείξετε οτι οι εφατομένες της Cf με f(x) = x^4 , x<0
(ριζα) x , 0<=x<6
στα κοινά σημεία με την ευθεία x-5y+6=0 είναι κάθετες.
γ. Να προσδιοριστεί ο λ ε R ώστε η ευθεία y=λx-3 να εφάτεται της Cf της συνάρτησης με τύο f(x)=x^2 +2x-2 και να βρείτε τα σημεία επαφής.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

Λοιπόν.
α)Παίρνεις την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης και δείχνεις ότι ισούται με δύο. Αυτό σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα. Συνεπώς προφανώς δεν γίνεται να υπάρχουν δύο παράληλες εφαπτόμενές της.

β)Όταν λες "στα κοινά σημεία με την ευθεία" εννοείς των εφαπτομένων ή της f;
Θα σου απαντήσω για το πρώτο (κοινά με εφαπτόμενες).
Βρες την παράγωγο συνάρτηση. Προσοχή! Έλεγξε παραγωγισιμότητα στο σημείο 0. Προσοχή_νο2! Παραγωγίσιμη => συνεχής, χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.
Για να τέμνονται οι εφαπτόμενες τις f σε ένα σημείο δεδομένου ότι οι δύο κλάδοι της f είναι γνησίως μονότονοι, σημαίνει ότι τέμνονται εφαπτόμενες από τους διαφορετικούς κλάδους της.
Αυτό που έχεις να κάνεις είναι να βρεις τις εφαπτόμενες για χ<0 για 0<χ<6 και να λύσεις το σύστημα. Το οποίο θα έχει τη μορφή:
y-f1(x0)=f1'(x0)(x-x0)
y-f2(x0)=f2'(x0)(x-x0)
x-5y+6=0
όπου οι δείκτες 1 και 2 δείχνουν τον διαφορετικό κλάδο της συνάρτησης.
Συνεπώς βρίσκεις τα σημεία στα οποία τέμνονται και οι τρεις ευθείες. Ε, τα χ0 που θα βρεις βάλε τα στις f1' και f2' και δες αν το γινόμενό τους είναι ίσο με -1. Αν είναι τότε είναι όντως κάθετες στα σημεία επαφής με τη ζητούμενη ευθεία.
Αν δεν κατάλαβες κάτι, πράγμα πολύ πιθανό με τον τρόπο που στα εξήγησα, ρώτησε.
Μόνο μη μου ζητήσεις να κάνω πράξεις σε αυτό το σύστημα!

γ)f '(x)=λ=2x+2
λχ-3=f(x)=x^2 +2x-2
Αντικατάστησε το λ στην δεύτερη και βρες τα χ.
Αντικατάστησε τα χ που θα βρεις στην πρώτη και βρες το λ.

lowbaper92 · 06-02-10

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
δεν εχω παρακολουθησει απο την αρχη αλλα ισχυει γενικα οτι
f''>0 ,f(x1)+f(x2)>=2f((x1+x2)/2)
και αν η φ ειναι αρτια τοτε φ' περιτη η φ''αρτια ...
ομοια κ τ αλλα

Οι ανισότητες Jensen δεν ειναι αυτές? Πού κολλάνε με το ποστ μου?

lowbaper92 · 7 Φεβρουαρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από Harry0000:
Έχω κολήσει λιγάκι εδωπέρα....... Μπορείτε να με βοηθήσετε;;;;

α. Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν δυο εφατομένες της παραβολής f(x)=x^2 που να είναι παράλληλες.

Ένας 2ος τρόπος να το δικαιολογήσεις ειναι να υποθέσεις ότι υπαρχουν x1,x2 τετοια ώστε οι εφαπτομένες της Cf σε αυτα τα σημεία να ειναι παραλληλες, δηλαδή $f'\left({x}_{1} \right)=f'\left({x}_{2} \right)$ .
Απο Rolle υπαρχει ξε(χ1,χ2) τετοιο ώστε f''(ξ)=0. Άτοπο γιατι f''(x)=2.

agiostimotheos · 07-02-10

Θα μπορούσε κάποιος να επιλύσει τις εξής παρακάτω ασκήσεις αναλυτικά? ( την γενική ιδέα την έχω)

Εστω η συνάρτηση φ:[1,5]-->R παρ/μη και τέτοια ώστε 2φ(2)<φ(1)<5φ(5)<4Φ(4)
ν.δ.ο

ι) η συνάρτηση g(x)=χφ(χ), χε[1,5] παρουσι'αζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο
ιι) η εξίσωση φ(χ)+ χ φ' ( χ) = 0 έχει 2 τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (1.5)

Να δειχθεί ότι αν μια συνάρτηση φ στρέφει τα κοίλα άνω στο (α,β) τότε η -φ στρέφει τα κοίλα προσ τα κάτω στο (α,β)

exc · 07-02-10

Αρχική Δημοσίευση από agiostimotheos:
Θα μπορούσε κάποιος να επιλύσει τις εξής παρακάτω ασκήσεις αναλυτικά? ( την γενική ιδέα την έχω)

Εστω η συνάρτηση φ:[1,5]-->R παρ/μη και τέτοια ώστε 2φ(2)<φ(1)<5φ(5)<4Φ(4)
ν.δ.ο

ι) η συνάρτηση g(x)=χφ(χ), χε[1,5] παρουσι'αζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο
ιι) η εξίσωση φ(χ)+ χ φ' ( χ) = 0 έχει 2 τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (1.5)

Να δειχθεί ότι αν μια συνάρτηση φ στρέφει τα κοίλα άνω στο (α,β) τότε η -φ στρέφει τα κοίλα προσ τα κάτω στο (α,β)

Λοιπόν.
Κατρχάς το δεύτερο ερώτημα βγαίνει άμεσα από το πρώτο: εννοείται ότι όταν έχουμε ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο τότε η g'(x)=φ(χ)+χφ'(χ) θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Το πρώτο ερώτημα:
2φ(χ)<φ(1)<5φ(5)<4φ(4)<=>g(2)<g(1)<g(5)<g(4).
Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Επομένως ισχύει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών (προσπαθείστε να μην το δείτε αυτό τυπικά όπως το έχει το βιβλίο), συνεπώς κάποιες στιγμές οι συνάρτηση θα έχει ελάχιστο ή μέγιστο στο [1,5] και ένα από αυτά τα ελάχιστα θα είναι το μικρότερο από όλα και θα είναι το ολικό ελάχιστο και ένα από τα μέγιστα το μεγαλύτερο από όλα, άρα θα είναι ολικό μέγιστο.
Σα να θυμάμαι να έχει θεώρημα μέσα στο βιβλίο που σας εξηγεί ότι οποιαδήποτε συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση έχει ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
Τα g(2)<g(1)<g(5)<g(4) μας δείχνουν ότι η συνάρτηση δεν είναι σταθερή και ότι τα ολικά μέγιστα και ελάχιστα δεν βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος [1,5].

Για την τελευταία: Αν για g-> g''>0 τότε για -g -> -g''<0

coheNakatos · 07-02-10

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Λοιπόν.
Κατρχάς το δεύτερο ερώτημα βγαίνει άμεσα από το πρώτο: εννοείται ότι όταν έχουμε ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο τότε η g'(x)=φ(χ)+χφ'(χ) θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Το πρώτο ερώτημα:
2φ(χ)<φ(1)<5φ(5)<4φ(4)<=>g(2)<g(1)<g(5)<g(4).
Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Επομένως ισχύει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών (προσπαθείστε να μην το δείτε αυτό τυπικά όπως το έχει το βιβλίο), συνεπώς κάποιες στιγμές οι συνάρτηση θα έχει ελάχιστο ή μέγιστο στο [1,5] και ένα από αυτά τα ελάχιστα θα είναι το μικρότερο από όλα και θα είναι το ολικό ελάχιστο και ένα από τα μέγιστα το μεγαλύτερο από όλα, άρα θα είναι ολικό μέγιστο.
Σα να θυμάμαι να έχει θεώρημα μέσα στο βιβλίο που σας εξηγεί ότι οποιαδήποτε συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση έχει ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
Τα g(2)<g(1)<g(5)<g(4) μας δείχνουν ότι η συνάρτηση δεν είναι σταθερή και ότι τα ολικά μέγιστα και ελάχιστα δεν βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος [1,5].

Για την τελευταία: Αν για g-> g''>0 τότε για -g -> -g''<0

Αν ενα απο τα ολικα ακροτατα ειναι το g(1) ή το g(5) ? ενω οι ριζες ζητώνται στο ΑΝΟΙΧΤΟ , για μενα η ασκηση θελει ΘΜΤ και το 1ο ερωτημα ενα απλο θεωρημα μεγιστης -ελαχιστης τιμης ..

exc · 07-02-10

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
Αν ενα απο τα ολικα ακροτατα ειναι το g(1) ή το g(5) ? ενω οι ριζες ζητώνται στο ΑΝΟΙΧΤΟ , για μενα η ασκηση θελει ΘΜΤ και το 1ο ερωτημα ενα απλο θεωρημα μεγιστης -ελαχιστης τιμης ..

Μα ήδη εξήγησα ότι δεν μπορεί να είναι ολικά ακρότατα τα g(1) και g(5), αφού g(2)<g(1)<g(5)<g(4)

Και όσον αφορά στο πρώτο ερώτημα, λέμε το ίδιο πράγμα!

ΥΓ: Για το ΘΜΤ που λες... Δεν το έψαξα, μπορεί να βγαίνει και έτσι. Τα μαθηματικά συνήθως έχουν παραπάνω από έναν τρόπο λύσης. Πόσταρε μία λύση με ΘΜΤ. Καλό είναι να υπάρχει και δεύτερη λύση!

panagiwtisalap · 07-02-10

παιδια θα ηθελα μια βοηθεια σε αυτες τις ασκησεις

https://f.imagehost.org/view/0159/img068

Harry0000 · 07-02-10

Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:
Ένας 2ος τρόπος να το δικαιολογήσεις ειναι να υποθέσεις ότι υπαρχουν x1,x2 τετοια ώστε οι εφαπτομένες της Cf σε αυτα τα σημεία να ειναι παραλληλες, δηλαδή $f'\left({x}_{1} \right)=f'\left({x}_{2} \right)$ .
Απο Rolle υπαρχει ξε(χ1,χ2) τετοιο ώστε f''(ξ)=0. Άτοπο γιατι f''(x)=2.

Θα προτιμούσα έναν τρόπο από την παράγραφο των παραγώγων.......

lowbaper92 · 07-02-10

Αρχική Δημοσίευση από Harry0000:
Θα προτιμούσα έναν τρόπο από την παράγραφο των παραγώγων.......

Γιατί αυτο που έγραψα δεν ειναι παράγωγοι?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος