wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Η τρίτη λύνεται απλά ... Εκμεταλλευόμαστε τις αναλογίες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Ύστερα η ανισότητα γίνεται :
που ισχύει αφού : και
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Αυτό είπα και εγώΌσο το τείνει στο άπειρο τόσο η παράσταση θα πλησιάζει το 1 για
Μάλιστα αν το είναι θετικός ακέραιος το ενώ αν είναι της μορφής όπου k ακέραιος με τότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
βαζω και κανα ευκολο συστηματακι για να μην βαριεσται . Λυστε για το συστημα :
Βάλε κάτι πιο δύσκολο ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
1 ???Συνοπτικά:
1ο Κεφάλαιο - Ανακεφαλαίωση θεμάτων του προηγούμενου βιβλίου με νέα θέματα
2ο Κεφάλαιο - Μεθοδολογία αντιμετώπισης ανισοτήτων (πχ. παρεμβολή, επαγωγή κτλ.)
3ο Κεφάλαιο - Ανισότητες Jensen, Muirhead, Popoviciu, Newton, McLaurin και άλλες που δεν θυμάμαι, καθώς και γενικεύσεις γνωστών ανισοτήτων πχ. Holder, Andreescu
4o Κεφάλαιο και μετά - Ασκήσεις
Ένα ακόμη πράγμα να σκεφτείτε:
Πόσο κάνει ? (η διαδικασία επαναλαμβάνεται άπειρες φορές)
Όσο το τείνει στο άπειρο τόσο η παράσταση θα πλησιάζει το 1 για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει ??Θα ήθελα να ρωτήσω, τι περιέχει το βιβλίο Κλασικές Και Νέες Ανισότητες του Μπάμπη Στεργίου ??? (γιατί έχω ήδη τις Αλγεβρικές Ανισότητες και αναρωτιέμαι αν θα το αγοράσω...)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Αρκεί Εσύ μας δίνειςμπορει και αλλιως με αντρεσκου και μετα στο τελος βγαινει το ζητουμενο με μεταβατικη.Βασικα αντικαθιστας το 2 με και εφαρμοζεις ανετα αντρεσκου.
Σπας τα κλάσματα και εφαρμόζεις Andreescu.μολις ειδα ακομη μια που με αρεσε : Για Νδο :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Θα ήθελα να ρωτήσω, τι περιέχει το βιβλίο Κλασικές Και Νέες Ανισότητες του Μπάμπη Στεργίου ??? (γιατί έχω ήδη τις Αλγεβρικές Ανισότητες και αναρωτιέμαι αν θα το αγοράσω...)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Θα χρησιμοποιήσω την πολυαγαπημένη μου ανισότητα, την ανισότητα της αναδιάταξης :
Έστω, λόγω της ομοιογένειας ότι
Έστω και
Εφαρμόζοντας την ανισότητα της αναδιάταξης έπεται :
Θα μπορούσες να μας εξησήσεις την ανισότητα Muirhead ???
Βάλτε καμιά ασκησούλα να λύσουμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Μπορείς να ανεβάσεις τη λύση ???Επειδή είμαι στο χωριό και δεν έχω τα μέσα για να την λύσω, όταν την είχα λύσει την πρώτη αρχίζεις ότι 11<12 και πας συνθετικά και βγάζεις αυτό που εΙπες. Οταν πάω Αθήνα θα σας ανεβάσω την λύση.
Για την πρώτη άσκηση έχουμε
Με αντικατάσταση στο πρώτο ερώτημα προκύπτει Άρα x E R
To δεύτερο ερώτημα με αντικατάσταση αποκτά την μορφή που δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x
Όσον αφορά την δεύτερη ισχύει ότι για θετικούς ακεραίους.
Απόδειξη : (Θα χρησιμοποιήσω την μαθηματική επαγωγή ή μέθοδο της τέλειας επαγωγής)
Για να αποδείξουμε έναν μαθηματικό ισχυρισμό , ο οποίος είναι συνήθως ισότητα ή ανισότητα ακολουθούμε τα εξής βήματα:
α) Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση αληθεύει για τον μικρότερο φυσικό αριθμό που ορίζεται
β)Υποθέτουμε ότι η πρόταση αληθεύει για το φυσικό κ=ν
γ)τέλος αποδεικνύουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1
για που ισχύει αφού χ Ε Z+
Έστω ότι η πρόταση ισχύει για
Για η πρόταση μετασxηματίζεται ως εξής :
Θέτω , αφού και γίνεται : που ισχύει λόγω της υπόθεσης
Άρα λόγω αυτής της ανισότητας έχουμε :
Τελικά λύνεται έτσι :Αν τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο :
και
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Πως μου διέφυγε ??? H AM-GM ισχύει γιαΑπο ΑΜ-ΓΜ εχω Πολζω με 4 και περνω την σχεση που ζητηται Διορθωστε με αν ειμαι λαθος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
edit : μπερδεύτηκα ... Λύνεται και αλλιώς αλλά μοιάζει πολύ με τη δικιά σου λύση(είναι στην ουσία ο ίδιος τρόπος), απλά χρησιμοποιούμε την AM-GM 3 φορές
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Νδο :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Η σχέση γίνεται : (1)
Ισχύει όμως ότι :
Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
(B.C.S)
ή με αθροίσματα :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Θέτωντας όπου τα έχουμε :
Να προσθέσω ότι τα αρχικά AM-GM σημαίνουν Arithmetic - Geometric Mean δηλαδή αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος
Αυτή που είχα βάλει λέγεται De MoivreΝδο :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Άρα
και
και
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο
Η δεύτερη λύνεται και ως εξής :
Ισχύει ότι (AM-GM)
και
(AM-GM)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
H μέθοδος της παραγοντοποίησης είναι καλύτερη και πιο έξυπνη γιατί δουλεύεις συνθετικά ...Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σωστή παρατήρηση! Aπλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεύτερο μέλος της πρότασης με το 2:αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
που δεν ισχύει για κανένα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Δίνω κι εγώ μια με τη σειρά μου : Αν για τους αριθμούς και ισχύει : (1) Να λύσετε τις ανισώσεις :
α)
β)
Να συγκριθούν οι αριθμοί :
Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε
--
και μια αλλη
Αν οι αριθμοίείναι θετικοί και :
,
να αποδειχθεί ότι.
Για την πρώτη άσκηση έχουμε
Με αντικατάσταση στο πρώτο ερώτημα προκύπτει Άρα x E R
To δεύτερο ερώτημα με αντικατάσταση αποκτά την μορφή που δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x
Όσον αφορά την δεύτερη ισχύει ότι για θετικούς ακεραίους.
Απόδειξη : (Θα χρησιμοποιήσω την μαθηματική επαγωγή ή μέθοδο της τέλειας επαγωγής)
Για να αποδείξουμε έναν μαθηματικό ισχυρισμό , ο οποίος είναι συνήθως ισότητα ή ανισότητα ακολουθούμε τα εξής βήματα:
α) Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση αληθεύει για τον μικρότερο φυσικό αριθμό που ορίζεται
β)Υποθέτουμε ότι η πρόταση αληθεύει για το φυσικό κ=ν
γ)τέλος αποδεικνύουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1
για που ισχύει αφού χ Ε Z+
Έστω ότι η πρόταση ισχύει για
Για η πρόταση μετασxηματίζεται ως εξής :
Θέτω , αφού και γίνεται : που ισχύει λόγω της υπόθεσης
Άρα λόγω αυτής της ανισότητας έχουμε :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Έστω
Επίσης είναι : Αφού οι τριάδες και έχουν αντίθετη διάταξη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Για καμμενους :
x^2=-1 (στους μιγαδικους : i^2=-1,οπου i η φανταστικη μοναδα)
x^2=i^2
x=+i ή x=-i
x^4=-1 (παλι τα ιδια στους μιγαδικους : i^2=-1,οπου i η φανταστικη μοναδα)
χ^4=i^2
x^4-i^2=0
(x^2-i)(x^2+i)=0
x^2-i=0 ή x^2+i=0
(μετα δεν ξερω την συνεχεια )
ή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
a ^2 + b^2 >= 2ab (1)
και c > -1 (2)
Αν τις προσθέσουμε θα διατηρηθεί ή όχι το μεγαλύτερο ή ίσο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
μεγάλη ανοησία sorryΙσχύει ότι
Έστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Έστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Αντικαθιστώ όπου x το 6-y και το σύστημα γίνεται:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)/(6) <=> a=3
και ύστερα με απλή αντικατάσταση στα παραπάνω προκύπτει (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
Γιατί έχω την εντύπωση ότι υπάρχει πιο απλή λύση ... ???
Κάποιος να βάλει άσκηση.Έχουμε βαρεθεί ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
έλυσα το σύστημα και βρήκα (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
θα ποστάρω τη λύση μου αργότερα γιατί είναι μεγάλη ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Βοήθεια Τι να κάνω ????
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Νδο (x+y)(xy+1)(z2 +1)=8xyz
(√x-√y)2 ≥ 0 ó x-2√x√y+y ≥ 0 ή x+y ≥ 2√x√y (1)
(√x√y -1)2 ≥ 0 ó xy-2√x√y+1 ≥ 0 ή xy+1 ≥ 2√x√y (2)
(z-1)2 ≥ 0 ó z2-2z+1 ≥ 0 ή z2+1 ≥ 2z (3)
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1),(2),(3) κατά μέλη προκύπτει: (x+y)(xy+1)(z2 +1) ≥ 8√x2√y2z = 8xyz
Η ισότητα ισχύει όταν :
(√x-√y)2 = 0 ή x=y (4)
(√x√y -1)2 = 0 ή xy=1 (5)
(z-1)2 = 0 ή z=1 (6)
Η σχέση (5) με τη βοήθεια της (4) γίνεται: x2=1 ή x=1(δεκτή) ή x = -1(απορρίπτεται, αφού x,y,z > 0) και λόγω της (4) y=x ή
ή y=1
Άρα (x,y,z)=(1,1,1)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
μπορείτε να μου πείτε αν η λύση αυτής της άσκησης, του link είναι σωστή ???(https://skydrive.live.com/view.aspx...f811b&sc=documents&Bsrc=Docmail&Bpub=SDX.Docs)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
https://skydrive.live.com/view.aspx...f811b&sc=documents&Bsrc=Docmail&Bpub=SDX.Docs
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Από την ταυτότητα του Euler δηλαδή a^3+b^3+c^3-3abc = 1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
και επειδή a+b+c>0 προκύπτει ότι a^3+b^3+c^3-3abc >ισο 0 <=> a^3+b^3+c^3 > ίσο 0
Αν όπου a,b,c θέσουμε τα (τρίτη ρίζα)(a),(τρίτη ρίζα)(b),(τρίτη ρίζα)(c) προκύπτει : a+b+c> ίσο 3(τρίτη ρίζα)(abc)
ή (a+b+c)/3 > ίσο (τρίτη ρίζα)(abc) (1)
Αν τώρα στην ανισότητα a+b+c > ίσο 3(τρίτη ρίζα)(abc) θέσουμε όπου a,b,c τα 1/a,1/b,1/c παίρνουμε (τρίτη ρίζα)(abc) > ίσο 3/(1/a+1/b+1/c) (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε (a+b+c)/3 > ίσο (τρίτη ρίζα)(abc) > ίσο 3/(1/a+1/b+1/c)
Από την πάνω σχέση προκύπτει και η γενίκευση του θεωρήματος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Να παραθεσω εναν τροπο για την δευτερη ασκηση που διαφερει λιγο απο τους παραπανω,αν και εφαρμοζεται το ιδιο Θεωρημα.
Ειναι:
,
με εφαρμογη του ΑΜ-GM.(H γενικευμενη ανισοτητα αυτης που παρατεθηκε παραπανω)
Γενικά αν , τότε
Η ανισότητα λέγεται (AM-GM-HM) ή ανισότητα του αριθμητικού,γεωμετρικού και αρμονικού μέσου
Η ισότητα ισχύει για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
@antwwwnis
Σωστός
Παραθέτω έναν άλλο τρόπο λύσης
,καθώς ισχύει ότι:
α)
β)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
Αν Nδο
Πότε ισχύει η ισότητα;
Θα βάλω και άλλη μία :
Αν a>0 Νδο:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.