Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

wfgl · 2011-09-01T08:42:13+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Θα ήθελα να ρωτήσω, τι περιέχει το βιβλίο Κλασικές Και Νέες Ανισότητες του Μπάμπη Στεργίου ??? (γιατί έχω ήδη τις Αλγεβρικές Ανισότητες και αναρωτιέμαι αν θα το αγοράσω...)

Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει ??

ξαροπ · 2011-09-01T14:38:29+0300

Συνοπτικά:

1ο Κεφάλαιο - Ανακεφαλαίωση θεμάτων του προηγούμενου βιβλίου με νέα θέματα
2ο Κεφάλαιο - Μεθοδολογία αντιμετώπισης ανισοτήτων (πχ. παρεμβολή, επαγωγή κτλ.)
3ο Κεφάλαιο - Ανισότητες Jensen, Muirhead, Popoviciu, Newton, McLaurin και άλλες που δεν θυμάμαι, καθώς και γενικεύσεις γνωστών ανισοτήτων πχ. Holder, Andreescu
4o Κεφάλαιο και μετά - Ασκήσεις

Ένα ακόμη πράγμα να σκεφτείτε:

Πόσο κάνει $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}$ ? (η διαδικασία επαναλαμβάνεται άπειρες φορές)

wfgl · 2011-09-01T17:05:40+0300

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Συνοπτικά:

1ο Κεφάλαιο - Ανακεφαλαίωση θεμάτων του προηγούμενου βιβλίου με νέα θέματα
2ο Κεφάλαιο - Μεθοδολογία αντιμετώπισης ανισοτήτων (πχ. παρεμβολή, επαγωγή κτλ.)
3ο Κεφάλαιο - Ανισότητες Jensen, Muirhead, Popoviciu, Newton, McLaurin και άλλες που δεν θυμάμαι, καθώς και γενικεύσεις γνωστών ανισοτήτων πχ. Holder, Andreescu
4o Κεφάλαιο και μετά - Ασκήσεις

Ένα ακόμη πράγμα να σκεφτείτε:

Πόσο κάνει $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}$ ? (η διαδικασία επαναλαμβάνεται άπειρες φορές)

1 ???

$A=\sqrt[{2}^{n}]{a}$ Όσο το $n$ τείνει στο άπειρο τόσο η παράσταση θα πλησιάζει το 1 για $a\in (0,+\propto )$

Guest 018946 · 2011-09-02T11:03:02+0300

βαζω και κανα ευκολο συστηματακι για να μην βαριεσται . Λυστε για $a,b,c$ το συστημα :
$a+b+c=10$
$a-b+c=20$
$a+b-c=30$

wfgl · 2011-09-02T12:11:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
βαζω και κανα ευκολο συστηματακι για να μην βαριεσται . Λυστε για $a,b,c$ το συστημα :
$a+b+c=10 (1)$
$a-b+c=20 (2)$
$a+b-c=30 (3)$

$(2)+(3) <=> a =20$
$(1)+(2) <=>a+c=15 <=> c = -5$
$a+b+c=10 <=> b = 10 -a-c <=> b = -5$
Βάλε κάτι πιο δύσκολο ...

ξαροπ · 2011-09-02T12:22:30+0300

Η παράσταση δεν ισούται με 1, νομίζω μπορείς πολύ εύκολα να αποδείξεις ότι η παράσταση αυτή είναι πάντα μεγαλύτερη του ενός.

wfgl · 2011-09-02T12:26:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
$A=\sqrt[{2}^{n}]{a}$ Όσο το $n$ τείνει στο άπειρο τόσο η παράσταση θα πλησιάζει το 1 για $a\in (0,+\propto )$

Αυτό είπα και εγώ
Μάλιστα αν το $a$ είναι θετικός ακέραιος το $A>1$ ενώ αν είναι $a$ της μορφής $1/k$ όπου k ακέραιος με $k E (1,+ ...)$ τότε $A<1$
$\lim_{x\rightarrow \propto }A=1$

Guest 018946 · 2011-09-02T13:21:01+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
$(2)+(3) <=> a =20$
$(1)+(2) <=>a+c=15 <=> c = -5$
$a+b+c=10 <=> b = 10 -a-c <=> b = -5$
Βάλε κάτι πιο δύσκολο ...

δεν εχω . Βαλε εσυ καμια ανισοτητα απο τον στεργιου .

ξαροπ · 2011-09-02T13:25:14+0300

Καταλαβαίνω σε γενικές γραμμές τι θες να πεις, αλλά κάπου κάτι χάνω. (ίσως δεν έγραψα καλά την παράσταση, υποτίθεται ότι μέσα στο αρχικό ρίζα δύο βάζεις άλλο ένα ρίζα δύο, μέσα σε αυτό το ρίζα δύο βάζεις άλλο ένα ρίζα δύο, κ.ο.κ.)

Κατ' αρχάς η παράσταση δεν νομίζω να έχει την παραπάνω μορφή, αφού σχετικά απλά μπορείς να γράψεις

$A = \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}... \Leftrightarrow A = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$

Για να μιλήσουμε αυστηρά, η παραπάνω σειρά στον εκθέτη δεν συγκλίνει ούτε στο άπειρο, αλλά ούτε στο μηδέν (όπως μάλλον εννοείς), αλλά στο ένα (όπως πολύ έξυπνα απέδειξε και ο Gauss σε νεαρή ηλικία).

Guest 018946 · 2011-09-02T23:19:04+0300

βαζω μια ευκολη : αν : $a+b=1$ και $ab=-21$ να υπολογισετε το $a^{3}+b^{3}$

Guest 018946 · 2011-09-04T00:23:53+0300

δινω ακομη μια ανισοτητα :

πηγη μου το mathematica.

Και μια ακομη : Εαν

και

νδο

wfgl · 2011-09-04T11:57:53+0300

Για τη δεύτερη αρκεί να ανικαταστήσεις όπου 1 στους αριθμητές τα $a+b+c+d$
Ύστερα η ανισότητα γίνεται :
$(\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{a+b})+(\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{b+c})\geq 4$
που ισχύει αφού : $\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{a+b}\geq2$ και $\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{b+c}\geq2$

Guest 018946 · 2011-09-04T12:00:58+0300

εγω την εβγαλα σε μια σειρα με andreescu αν θες την βαζω την λυση και σε Latex

wfgl · 2011-09-04T12:06:09+0300

Οκ κατάλαβα τι εννοείς ...
Η τρίτη λύνεται απλά ... Εκμεταλλευόμαστε τις αναλογίες

Guest 018946 · 2011-09-04T12:08:34+0300

Θα την γραψεις ή θα την γραψω?

wfgl · 2011-09-04T12:10:12+0300

Πρέπει να βγω τώρα.Θα την γραψω όταν ξαναμπώ

Guest 018946 · 2011-09-04T12:22:30+0300

akis95 · 2011-09-04T17:09:25+0300

Τασο βαζω εδω την ασκηση

α²+β²+γ²ριζα ολο + α²+β²+δ²ριζα ολο +α²+γ²+δ²ριζα ολο + β²+γ²+δ²ριζα ολο >= ριζα3(α+β+γ+δ) βαριομουν στο λατεξ

Guest 018946 · 2011-09-04T17:15:41+0300

ενοεις μηπως αυτο ; $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+d^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}+d^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}+d^{2}} \geq \sqrt{3} (a+b+c+d)$

επισης ειναι για τυχαιους πραγματικους ή για θετικους ?

rebel · 2011-09-05T13:56:05+0300

Θα υποθέσω ότι $a, \, b, \, c, \, d \geq 0$ . Έυκολα αποδεικνύεται η ανισότητα

$3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$

απ' όπου έχουμε $\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq a+b+c \quad (1)$

(Π.χ.
$3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2 \Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2bc+2ac \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$
που ισχύει)

Εφαρμόζοντας την $(1)$ κυκλικά και προσθέτωντας κατά μέλη έχουμε

$\sqrt{3}\left( \sqrt{a^2+b^2+c^2} + \sqrt{b^2+c^2+d^2} + \sqrt{a^2+b^2+d^2} + \sqrt{a^2+c^2+d^2} \right) \geq 3(a+b+c+d)$

απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος