Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Από πού προκύπτει ότι

;

https://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/inequal/node1.html νομίζω πως εδώ βρίσκεται η απάντηση στην ερώτησή σου φίλε,

vassilis498 · 26-08-11

ρε παιδιά σοβαρά τώρα πού τις βρίσκετε αυτές τις ταυτότητες

qwerty111 · 26-08-11

Ευχαριστώ!

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ρε παιδιά σοβαρά τώρα πού τις βρίσκετε αυτές τις ταυτότητες

Πραγματικά δεν είχα ιδέα για αυτή την ΑΜ-GM. αχαχαχα.Ευτυχώς τώρα την έμαθα.

qwerty111 · 26-08-11

Δε νομίζω να την ξέρουν και πολλοί! Πάντως ωραία είναι

wfgl · 26 Αυγούστου 2011

Ισχύει δηλαδή λόγω της γενίκευσης της (AM-GΜ) ότι :
$frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{3}>=abc Leftrightarrow {a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}geq3abc$
Θέτωντας όπου $a,b,c$ τα $sqrt[3]{x},sqrt[3]{y},sqrt[3]{z}$ έχουμε : $x+y+zgeq 3sqrt[3]{xyz}$
Να προσθέσω ότι τα αρχικά AM-GM σημαίνουν Arithmetic - Geometric Mean δηλαδή αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Αυτή που είχα βάλει λέγεται De Moivre

Guest 018946 · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Εδώ είναι οι λύσεις των ασκήσεων που μας έδωσε ο φίλος μας Τάσος.Για όποιον ενδιαφέρεται μπορεί να δει τις λύσεις μου από κάτω.Τις έβαλα επίτηδες σε spoiler για να προσπαθήσουν και τα άλλα παιδιά και να μην δουν κατευθείαν τις λύσεις.Αν έχω κανένα λάθος διορθώστε με,η ώρα είναι περασμένη και ίσως κάτι να μου έχει ξεφύγει.

1)Άσκηση Πρώτη
$(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8 \Leftrightarrow(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8\Leftrightarrow (ab+\frac{c}{b}+\frac{{b}^{2}}{ca}+\frac{1}{{a}^{2}})(c+\frac{a}{bc})\geq 8\Leftrightarrow abc+\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{a}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{a}}+\frac{b}{{c}^{2}}}+\frac{c}{{a}^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 8\Leftrightarrow (abc+\frac{1}{abc})+(\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}})+(\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}})+(\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}})\geq 8$ (α)
Θα αποδείξω ότι :
$abc+\frac{1}{abc}\geq 2$ (1)
$\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}}\geq 2$ (2)
$\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}}\geq 2$ (3)
$\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}}\geq 2$ (4)
Έχουμε λοιπόν :
$(1)\Leftrightarrow {abc}^{2}+1\geq 2abc\Leftrightarrow {abc}^{2}-2abc+1\geq 0 \Leftrightarrow {(abc-1)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(2)\Leftrightarrow{a}^{4}+{c}^{2}\geq 2c{a}^{2}\Leftrightarrow {a}^{4}-2c{a}^{2}+{c}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({a}^{2}-c)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(3)\Leftrightarrow{c}^{4}+{b}^{2}\geq 2b{c}^{2}\Leftrightarrow {c}^{4}-2b{c}^{2}+{b}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({c}^{2}-b)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(4)\Leftrightarrow{b}^{4}+{a}^{2}\geq 2a{b}^{2}\Leftrightarrow {b}^{4}-2a{b}^{2}+{a}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({b}^{2}-a)}^{2}\geq 0$ αληθές
Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2),(3) και (4) προκύπτει η ζητούμενη σχέση (α)

2)Άσκηση Δεύτερη
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc \Leftrightarrow(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+a{b}^{2}+a{c}^{2}+b{a}^{2}+{b}^{3}+b{c}^{2}+c{a}^{2}+c{b}^{2}+{c}^{3})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+(a{c}^{2}-2abc+a{b}^{2})+(b{a}^{2}-2abc+b{c}^{2})+(c{a}^{2}-2abc+c{b}^{2})\geq 0\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+[a({c}^{2}-2bc+{b}^{2})]+[b({a}^{2}-2ac+{c}^{2})]+[c({a}^{2}-2ab+{b}^{2})\geq 0 \Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0$ (1)
Γνωρίζουμε ότι ισχύει το εξής (ταυτότητα Euler):
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]$ (2)
Με τη βοήθεια της σχέσης (2) η σχέση (1) γίνεται :
$(1)\Leftrightarrow\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {(c-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+a]+{(a-c)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+b]+{(a-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+c]\geq 0$ (3)
Για $a,b,c>0$ και $a\neq b\neq c$ η σχέση (3) είναι γνησίως θετική.Αν όμως $a=b=c$ τότε ισχύει η ισότητα.Συνεπώς για κάθε $a,b,c>0$ η σχέση (3) είναι αληθής.

μπραβο Πυθωνα ωραιες και οι δυο λυσεις σου . Επισης συγχαρητηρια και στον wfgl για τις δικες τους λυσεις Keep it up!!!

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Αυτή που είχα βάλει λέγεται De Moivre

Θα ξεκινήσω από το β'μέλος και θα φτάσω στο πρώτο.Έχουμε λοιπόν ότι :
$-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=[(a+b+c)(a+b-c)][(a-b+c)(a-b-c)]=[{(a+b)}^{2}-{c}^{2}][{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={[(a-b)(a+b)]}^{2}-{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4}=({{a}^{2}-{b}^{2})}^{2}-{c}^{2}[{(a+b)}^{2}+{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{c}^{2}[2{a}^{2}+2{b}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}={a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}$

Guest 018946 · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Θα ξεκινήσω από το β'μέλος και θα φτάσω στο πρώτο.Έχουμε λοιπόν ότι :
$-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=[(a+b+c)(a+b-c)][(a-b+c)(a-b-c)]=[{(a+b)}^{2}-{c}^{2}][{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={[(a-b)(a+b)]}^{2}-{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4}=({{a}^{2}-{b}^{2})}^{2}-{c}^{2}[{(a+b)}^{2}+{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{c}^{2}[2{a}^{2}+2{b}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}={a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}$

εγω ειχα βαλει ακριβως την ιδια λυση με σενα....

Bl4Ck_PyTh0N! · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
εγω ειχα βαλει ακριβως την ιδια λυση με σενα....

A,εγώ την έλυσα επειδή την είδα τώρα.Όπως και να'χει,ήταν καλή άσκηση!

wfgl · 26 Αυγούστου 2011

Θα δώσω μια άλλη λύση της δεύτερης άσκησης με τη χρήση της ανισότητας B.C.S :
Η σχέση γίνεται : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 9$ (1)
Ισχύει όμως ότι : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca$
$({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (ab+bc+ca)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq {(ab\frac{1}{ab}+bc\frac{1}{bc}+ca\frac{1}{ca})}^{2}={(1+1+1)}^{2}=9$

Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
$({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2})({{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+...+{{b}_{n}}^{2})>={({a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+...+{a}_{n}{b}_{n})}^{2}$ (B.C.S)
ή με αθροίσματα : $\sum_{i=1}^{n}{{a}_{i}}^{2}\sum_{i=1}^{n}{{b}_{i}}^{2}\geq {(\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}{b}_{i})}^{2}$

Guest 018946 · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Θα δώσω μια άλλη λύση της δεύτερης άσκησης με τη χρήση της ανισότητας B.C.S :
Η σχέση γίνεται : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 9$ (1)
Ισχύει όμως ότι : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca$
$({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (ab+bc+ca)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq {(ab\frac{1}{ab}+bc\frac{1}{bc}+ca\frac{1}{ca})}^{2}={(1+1+1)}^{2}=9$

Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
$({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2})({{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+...+{{b}_{n}}^{2})>={({a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+...+{a}_{n}{b}_{n})}^{2}$ (B.C.S)

πολυ ωραια η λυση σου δεν την ειχα σκεφτει. Μπορεις να βαλεις και συ καμια ωραια ασκηση?

wfgl · 26-08-11

Αν $a,b,c,d$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}+{d}^{4}>=4abcd$

Guest 018946 · 26-08-11

Απο ΑΜ-ΓΜ εχω $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}4 \geq \sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}}$ Πολζω με 4 και περνω την σχεση που ζητηται $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4} \geq 4abcd$ Διορθωστε με αν ειμαι λαθος.

wfgl · 26-08-11

Σωστός . Μπορείς να το λύσεις διαφορετικά ???

Guest 018946 · 26 Αυγούστου 2011

δεν ξερω κατι με ανισοτητα της αναδιαταξης παιζει την οποια δεν γνωριζω

την βρηκα : διαιρω ολη την σχεση με $abcd$ και περνω $\frac{a^{3}}{bd}\frac{1}{c}+\frac{c^{3}}{bd}\frac{1}{a}+\frac{b^{3}}{acd}+\frac{d^{3}}{abc} \geq 4$ και εχω δυο σχεσεις την
$\frac{a^{3}}{bcd}}+\frac{c^{3}}{abd} \geq 2 (1)$ που γινεται : $\frac{a^{4}+c^{4}}{abcd} \geq 2 (1)$ και μια δευτερη σχεση την $\frac{b^{3}}{acd}}+\frac{d^{3}}{abc} \geq 2 (2)$ η οποια γινεται : $\frac{b^{4}+d^{4}}{abcd} \geq 2$ τις προσθετω κατα μελη και πολζω με $abcd$ και βγαινει το ζητουμενο

το (1) και το (2) ειναι απλα αριθμηση των σχεσεων

wfgl · 26-08-11

Χμμ ... Η σκέψη σου ανακυκλώνεται ...

edit : μπερδεύτηκα ... Λύνεται και αλλιώς αλλά μοιάζει πολύ με τη δικιά σου λύση(είναι στην ουσία ο ίδιος τρόπος), απλά χρησιμοποιούμε την AM-GM 3 φορές

Guest 018946 · 26-08-11

τι εννοεις οτι ανακυκλωνεται? :hmm:

wfgl · 26-08-11

Της αρχική σχέση τη διαιρείς με το abcd, την διασπάς σε δύο σχέσεις που τις ξαναπροσθέτεις και τελικά τις πολλαπλασιάζεις με το abcd ...

Guest 018946 · 26-08-11

ειναι λαθος ή σωστο?

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Guest 018946

Επισκέπτης