Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 2011-08-21T21:02:43+0300

Να και μια που μου αρεσε αρκετα και προβληματιστηκα και ακομα προβληματιζομαι με αυτη . Για ${a},{b} \geq 0$ Νδο

Βασικα η ιδεα μου ειναι να την σπασω σε δυο ανισοτητες στην $\frac{{a}}{{b}}}+\frac{{b}}{{a}}} \geq 2$ που ξερουμε οτι ισχυει και στην $\sqrt{\frac{({a}+{b})^{2}{{({a}^{2}+{b}^{2})^{-1}}}}} \geq \sqrt{2}$
Εδω η ιδεα μου ειναι να αποδειξω οτι τα πρωτα μελη στις ανισοτητες ειναι ισα αρα και να τα προσθεσω ωστε να καταληξω στην αρχικη.Τωρα αρκει να δειξω αν το τετραγωνισμενο πρωτο μελος της δευτερης ειναι μεγαλυτερο ή ισο με το πρωτο μελος της πρωτης . Μετα απο πραξεις καταληγω εδω $({a}^{3}-{b}^{3})({b}-{a}) \geq 0$ . Ειμαι σωστος ή οχι . Στεκει αυτο που κανω μπορει να προχωρησει παραπερα?

.

wfgl · 2011-08-21T21:32:33+0300

Είναι λάθος γιατί :
$-({a}^{3}-{b}^{3})(a-b)>=0 <=> -{(a-b)}^{2}({a}^{2}+ab+{b}^{2})>=0 <=> {(a-b)}^{2}({a}^{2}+ab+{b}^{2})<=0$ που δεν ισχύει για κανένα $a,b E R$

antwwwnis · 2011-08-21T22:33:29+0300

Νομίζω είναι άκυρη όλη η άσκηση.
Πού την βρήκες;

wfgl · 2011-08-21T22:42:39+0300

Και εγώ το ίδιο
Αν ήταν :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}>=2-\sqrt[2]{2}$ θα λυνόταν εύκολα

Guest 018946 · 2011-08-21T23:05:48+0300

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Νομίζω είναι άκυρη όλη η άσκηση.
Πού την βρήκες;

την ασκηση την βρηκα στο mathematica

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Και εγώ το ίδιο
Αν ήταν :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}>=2-\sqrt[2]{2}$ θα λυνόταν εύκολα

νομιζω πως εδω θα εσπαγα την ανισοτητα σε δυο μερη στην $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq$ που ειναι γνωστο.
Και μετα θα εδειχνα πως $-\sqrt[2]{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}} \geq -\sqrt[2]{2}$ τετραγωνιζοντας την και τα δυο μελη παιρνω : ${({a}+{b})}^{2} \leq 2({a}^{2}+{b}^{2})$ και μετα απο πραξεις καταληγω σε αυτο που ισχυει : ${({a}-{b})}^{2} \geq 0$ Επειτα προσθετω τις δυο σχεσεις κατα μελη και καταληγω στην αρχικη ανισοτητα.

τι ειπες ?δεν σε προλαβα

Παραγοντοποιηστε αυτην την παρασταση : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

αντε να βλεπω κινηση !!!

catherine1994 · 2011-08-23T20:41:55+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αντε να βλεπω κινηση !!!

Μόνο και μόνο επειδή το ζητησες και για να μη λες οτι δεν καταδεχομαστε να λυσουμε ασκηση σου

:

α³+β³+γ³-3αβγ= (α+β)³-3αβ(α+β) +γ³-3αβγ=-3αβ(α+β+γ) + (α+β)³+ γ³=-3αβ(α+β+γ) + (α+β+γ)[(α+β)²-(α+β)*γ+ γ²]=(α+β+γ)(-3αβ+α²+2αβ+β²-αγ-βγ+γ²)=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)
νομιζω δεν παραγοντοποιειται αλλο

Guest 018946 · 2011-08-23T21:02:34+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Μόνο και μόνο επειδή το ζητησες και για να μη λες οτι δεν καταδεχομαστε να λυσουμε ασκηση σου :

α³+β³+γ³-3αβγ= (α+β)³-3αβ(α+β) +γ³-3αβγ=-3αβ(α+β+γ) + (α+β)³+ γ³=-3αβ(α+β+γ) + (α+β+γ)[(α+β)²-(α+β)*γ+ γ²]=(α+β+γ)(-3αβ+α²+2αβ+β²-αγ-βγ+γ²)=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)
νομιζω δεν παραγοντοποιειται αλλο

Επισης απο τον Euler ξερουμε οτι : ${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3{a}{b}{c}=\frac{1}{2}({a}+{b}+{c})[({a}-{b})^{2}+({b}-{c})^{2}+({a}-{c})^{2})]$

Βαλε και συ καμια ασκηση.
ΥΣ: σωστοτατη η λυση σου

catherine1994 · 2011-08-23T21:07:05+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Επισης απο τον Euler ξερουμε οτι : ${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3{a}{b}{c}=\frac{1}{2}({a}+{b}+{c})[({a}-{b})^{2}+({b}-{c})^{2}+({a}-{c})^{2})]$ Βαλε και συ καμια ασκηση.
ΥΣ: σωστοτατη η λυση σου

αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε; :worry:

Guest 018946 · 2011-08-23T21:10:52+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

ειναι ταυτοτητα . Τωρα την εμαθα με μερικες ωρες ενασχολησης με το artofproblemsolving

. Don't get mad baby

Eileen · 2011-08-23T21:13:12+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

Είναι γνωστπή ταυτότητα, αποδεικνύεται και εύκολα - το έχουμε κάνει στην α' λυκείου!

wfgl · 2011-08-23T21:18:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

Σωστή παρατήρηση! Aπλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεύτερο μέλος της πρότασης με το 2:
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-bc-ca)<=>{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)(2{a}^{2}+2{b}^{2}+2{c}^{2}-2ab-2bc-2ca)<=>{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(c-a)}^{2}]$

Guest 018946 · 2011-08-23T21:19:15+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;

βασικα μαλακια ειπα . Βγαινει πολυ ευκολα αν πολ/σεις την δευτερη παρενθεση της δικιας σου λυσης με 2 και διαιρεσεις με 2 σου βγαινουν ταυτοτητες μεσα στην παρενθεση και απεξω μενει το $\frac{1}{2}$
εδιτ: με προλαβες ρε φιλε

wfgl · 2011-08-23T21:37:46+0300

Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

catherine1994 · 2011-08-23T22:00:27+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Μιας που πήρα φόρα πάρτε μια λύση:
α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2α²γ²-2β²γ²=α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2α²γ²-2β²γ²+4α²γ²-4α²γ²= α^4 +β^4 +γ^4 -2α²β²-2β²γ²+2α²γ²-4α²γ²= (-α²+β²-γ²)²-4α²γ²= (-α²+β²-γ²+2αγ)(-α²+β²-γ²-2αγ)=[-(α²-2αγ+γ²)+β²][-(α²+2αγ+γ²)+β²]=[β²-(α-γ)²][β²-(α+γ)²]=(β+α-γ)(β-α+γ)(β-α-γ)(β+α+γ)=-(α+β-γ)(-α+β+γ)(α+γ-β)(α+β+γ)

Guest 018946 · 2011-08-23T22:08:07+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Ωραια ασκηση με κεντρισε το ενδειαφερον. Λοιπον εχουμε και λεμε ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ παρατηρω οτι ανα δυο οι παραστασεις ειναι συζυγεις . οποτε περνω διαφορα τετραγωνων : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}= [{(a+b)}^{2}-c^{2}][{(a-b)}^{2}-c^{2}] \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={({a}^{2}+{b}^{2})}^{2} -{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4} \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={a}^{4}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}$

catherine1994 · 2011-08-23T22:12:16+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ωραια ασκηση με κεντρισε το ενδειαφερον. Λοιπον εχουμε και λεμε ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ παρατηρω οτι ανα δυο οι παραστασεις ειναι συζυγεις . οποτε περνω διαφορα τετραγωνων : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2} [{(a+b)}^{2}-c^{2}][{(a-b)}^{2}-c^{2}] \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={({a}^{2}+{b}^{2})}^{2} -{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{(a-b)}^{2}+{c}^{4} \Leftrightarrow {a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}={a}^{4}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}$

Α μάλιστα εσύ ξεκίνησες απο το β μελος :hmm:

antwwwnis · 2011-08-23T22:18:08+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
Α μάλιστα εσύ ξεκίνησες απο το β μελος

Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!

catherine1994 · 2011-08-23T22:19:25+0300

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!

ε οι πράξεις ειναι βαρετες

Guest 018946 · 2011-08-23T22:28:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από catherine1994:
ε οι πράξεις ειναι βαρετες

αμα εκανες τις παραστασεις συζυγεις και εβλεπες την διαφορα τετραγωνων ηταν πιο ευκολο απο το να σκεφτεις την συμπληρωση τετραγωνου . Προσωπικα ουτε που με περασε απο το μυαλο να το συμπληρωσω το τετραγωνο

catherine1994 · 2011-08-23T22:30:33+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
αμα εκανες τις παραστασεις συζυγεις και εβλεπες την διαφορα τετραγωνων ηταν πιο ευκολο απο το να σκεφτεις την συμπληρωση τετραγωνου . Προσωπικα ουτε που με περασε απο το μυαλο να το συμπληρωσω το τετραγωνο

ειπα με τις πραξεις θα ειναι ευκολο, ας κανω παραγοντοποιηση :/:

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος