Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Bl4Ck_PyTh0N! · 2011-08-26T10:05:55+0300

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Από πού προκύπτει ότι

;

https://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/inequal/node1.html νομίζω πως εδώ βρίσκεται η απάντηση στην ερώτησή σου φίλε,

vassilis498 · 2011-08-26T10:12:17+0300

ρε παιδιά σοβαρά τώρα πού τις βρίσκετε αυτές τις ταυτότητες

qwerty111 · 2011-08-26T10:13:22+0300

Ευχαριστώ!

Bl4Ck_PyTh0N! · 2011-08-26T10:13:58+0300

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ρε παιδιά σοβαρά τώρα πού τις βρίσκετε αυτές τις ταυτότητες

Πραγματικά δεν είχα ιδέα για αυτή την ΑΜ-GM. αχαχαχα.Ευτυχώς τώρα την έμαθα.

qwerty111 · 2011-08-26T10:15:36+0300

Δε νομίζω να την ξέρουν και πολλοί! Πάντως ωραία είναι

wfgl · 2011-08-26T10:21:23+0300

Ισχύει δηλαδή λόγω της γενίκευσης της (AM-GΜ) ότι :
$frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{3}>=abc Leftrightarrow {a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}geq3abc$
Θέτωντας όπου $a,b,c$ τα $sqrt[3]{x},sqrt[3]{y},sqrt[3]{z}$ έχουμε : $x+y+zgeq 3sqrt[3]{xyz}$
Να προσθέσω ότι τα αρχικά AM-GM σημαίνουν Arithmetic - Geometric Mean δηλαδή αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος

vnTsimiAaCe9957r7UWQqQPJ28BoNhkA77u+TwA+Pf5fMbrVJO3AFAmhJCeh+lGuZhIggSoNM9o5pVANCqASryent6e+LgrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADA9f4ALd4OwsbG0KQAAAAASUVORK5CYII=

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}=-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

Αυτή που είχα βάλει λέγεται De Moivre

Guest 018946 · 2011-08-26T10:51:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Εδώ είναι οι λύσεις των ασκήσεων που μας έδωσε ο φίλος μας Τάσος.Για όποιον ενδιαφέρεται μπορεί να δει τις λύσεις μου από κάτω.Τις έβαλα επίτηδες σε spoiler για να προσπαθήσουν και τα άλλα παιδιά και να μην δουν κατευθείαν τις λύσεις.Αν έχω κανένα λάθος διορθώστε με,η ώρα είναι περασμένη και ίσως κάτι να μου έχει ξεφύγει.

1)Άσκηση Πρώτη
$(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8 \Leftrightarrow(a+\frac{b}{ca})(b+\frac{c}{ab})(c+\frac{a}{bc}) \geq 8\Leftrightarrow (ab+\frac{c}{b}+\frac{{b}^{2}}{ca}+\frac{1}{{a}^{2}})(c+\frac{a}{bc})\geq 8\Leftrightarrow abc+\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{a}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{a}}+\frac{b}{{c}^{2}}}+\frac{c}{{a}^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 8\Leftrightarrow (abc+\frac{1}{abc})+(\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}})+(\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}})+(\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}})\geq 8$ (α)
Θα αποδείξω ότι :
$abc+\frac{1}{abc}\geq 2$ (1)
$\frac{{a}^{2}}{c}+\frac{c}{{a}^{2}}\geq 2$ (2)
$\frac{{c}^{2}}{b}+\frac{b}{{c}^{2}}\geq 2$ (3)
$\frac{{b}^{2}}{a}+\frac{a}{{b}^{2}}\geq 2$ (4)
Έχουμε λοιπόν :
$(1)\Leftrightarrow {abc}^{2}+1\geq 2abc\Leftrightarrow {abc}^{2}-2abc+1\geq 0 \Leftrightarrow {(abc-1)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(2)\Leftrightarrow{a}^{4}+{c}^{2}\geq 2c{a}^{2}\Leftrightarrow {a}^{4}-2c{a}^{2}+{c}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({a}^{2}-c)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(3)\Leftrightarrow{c}^{4}+{b}^{2}\geq 2b{c}^{2}\Leftrightarrow {c}^{4}-2b{c}^{2}+{b}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({c}^{2}-b)}^{2}\geq 0$ αληθές
$(4)\Leftrightarrow{b}^{4}+{a}^{2}\geq 2a{b}^{2}\Leftrightarrow {b}^{4}-2a{b}^{2}+{a}^{2}\geq 0 \Leftrightarrow {({b}^{2}-a)}^{2}\geq 0$ αληθές
Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2),(3) και (4) προκύπτει η ζητούμενη σχέση (α)

2)Άσκηση Δεύτερη
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc \Leftrightarrow(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+a{b}^{2}+a{c}^{2}+b{a}^{2}+{b}^{3}+b{c}^{2}+c{a}^{2}+c{b}^{2}+{c}^{3})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+(a{c}^{2}-2abc+a{b}^{2})+(b{a}^{2}-2abc+b{c}^{2})+(c{a}^{2}-2abc+c{b}^{2})\geq 0\Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+[a({c}^{2}-2bc+{b}^{2})]+[b({a}^{2}-2ac+{c}^{2})]+[c({a}^{2}-2ab+{b}^{2})\geq 0 \Leftrightarrow ({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc)+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0$ (1)
Γνωρίζουμε ότι ισχύει το εξής (ταυτότητα Euler):
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]$ (2)
Με τη βοήθεια της σχέσης (2) η σχέση (1) γίνεται :
$(1)\Leftrightarrow\frac{1}{2}(a+b+c)[{(a-b)}^{2}+{(c-b)}^{2}+{(a-c)}^{2}]+a{(c-b)}^{2}+b{(a-c)}^{2}+c{(a-b)}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {(c-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+a]+{(a-c)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+b]+{(a-b)}^{2}[\frac{1}{2}(a+b+c)+c]\geq 0$ (3)
Για $a,b,c>0$ και $a\neq b\neq c$ η σχέση (3) είναι γνησίως θετική.Αν όμως $a=b=c$ τότε ισχύει η ισότητα.Συνεπώς για κάθε $a,b,c>0$ η σχέση (3) είναι αληθής.

μπραβο Πυθωνα ωραιες και οι δυο λυσεις σου . Επισης συγχαρητηρια και στον wfgl για τις δικες τους λυσεις Keep it up!!!

Bl4Ck_PyTh0N! · 2011-08-26T11:26:22+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Αυτή που είχα βάλει λέγεται De Moivre

Θα ξεκινήσω από το β'μέλος και θα φτάσω στο πρώτο.Έχουμε λοιπόν ότι :
$-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=[(a+b+c)(a+b-c)][(a-b+c)(a-b-c)]=[{(a+b)}^{2}-{c}^{2}][{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={[(a-b)(a+b)]}^{2}-{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4}=({{a}^{2}-{b}^{2})}^{2}-{c}^{2}[{(a+b)}^{2}+{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{c}^{2}[2{a}^{2}+2{b}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}={a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}$

Guest 018946 · 2011-08-26T11:30:23+0300

Αρχική Δημοσίευση από Bl4Ck_PyTh0N!:
Θα ξεκινήσω από το β'μέλος και θα φτάσω στο πρώτο.Έχουμε λοιπόν ότι :
$-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=[(a+b+c)(a+b-c)][(a-b+c)(a-b-c)]=[{(a+b)}^{2}-{c}^{2}][{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={[(a-b)(a+b)]}^{2}-{c}^{2}{(a+b)}^{2}-{c}^{2}{(a-b)}^{2}+{c}^{4}=({{a}^{2}-{b}^{2})}^{2}-{c}^{2}[{(a+b)}^{2}+{(a-b)}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{c}^{2}[2{a}^{2}+2{b}^{2}-{c}^{2}]={a}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-2{c}^{2}{a}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}+{c}^{4}={a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}-2{a}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{b}^{2}-2{c}^{2}{a}^{2}$

εγω ειχα βαλει ακριβως την ιδια λυση με σενα....

Bl4Ck_PyTh0N! · 2011-08-26T11:32:39+0300

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
εγω ειχα βαλει ακριβως την ιδια λυση με σενα....

A,εγώ την έλυσα επειδή την είδα τώρα.Όπως και να'χει,ήταν καλή άσκηση!

wfgl · 2011-08-26T11:40:38+0300

Θα δώσω μια άλλη λύση της δεύτερης άσκησης με τη χρήση της ανισότητας B.C.S :
Η σχέση γίνεται : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 9$ (1)
Ισχύει όμως ότι : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca$
$({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (ab+bc+ca)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq {(ab\frac{1}{ab}+bc\frac{1}{bc}+ca\frac{1}{ca})}^{2}={(1+1+1)}^{2}=9$

Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
$({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2})({{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+...+{{b}_{n}}^{2})>={({a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+...+{a}_{n}{b}_{n})}^{2}$ (B.C.S)
ή με αθροίσματα : $\sum_{i=1}^{n}{{a}_{i}}^{2}\sum_{i=1}^{n}{{b}_{i}}^{2}\geq {(\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}{b}_{i})}^{2}$

Guest 018946 · 2011-08-26T12:03:19+0300

Αρχική Δημοσίευση από wfgl:
Θα δώσω μια άλλη λύση της δεύτερης άσκησης με τη χρήση της ανισότητας B.C.S :
Η σχέση γίνεται : $(a+b+c)({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})\geq 9abc\Leftrightarrow ({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 9$ (1)
Ισχύει όμως ότι : ${a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca$
$({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq (ab+bc+ca)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq {(ab\frac{1}{ab}+bc\frac{1}{bc}+ca\frac{1}{ca})}^{2}={(1+1+1)}^{2}=9$

Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
$({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2})({{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+...+{{b}_{n}}^{2})>={({a}_{1}{b}_{1}+{a}_{2}{b}_{2}+...+{a}_{n}{b}_{n})}^{2}$ (B.C.S)

πολυ ωραια η λυση σου δεν την ειχα σκεφτει. Μπορεις να βαλεις και συ καμια ωραια ασκηση?

wfgl · 2011-08-26T12:08:48+0300

Αν $a,b,c,d$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο : ${a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4}+{d}^{4}>=4abcd$

Guest 018946 · 2011-08-26T12:15:03+0300

Απο ΑΜ-ΓΜ εχω $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}4 \geq \sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}d^{4}}$ Πολζω με 4 και περνω την σχεση που ζητηται $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4} \geq 4abcd$ Διορθωστε με αν ειμαι λαθος.

wfgl · 2011-08-26T12:18:46+0300

Σωστός . Μπορείς να το λύσεις διαφορετικά ???

Guest 018946 · 2011-08-26T13:00:56+0300

δεν ξερω κατι με ανισοτητα της αναδιαταξης παιζει την οποια δεν γνωριζω

την βρηκα : διαιρω ολη την σχεση με $abcd$ και περνω $\frac{a^{3}}{bd}\frac{1}{c}+\frac{c^{3}}{bd}\frac{1}{a}+\frac{b^{3}}{acd}+\frac{d^{3}}{abc} \geq 4$ και εχω δυο σχεσεις την
$\frac{a^{3}}{bcd}}+\frac{c^{3}}{abd} \geq 2 (1)$ που γινεται : $\frac{a^{4}+c^{4}}{abcd} \geq 2 (1)$ και μια δευτερη σχεση την $\frac{b^{3}}{acd}}+\frac{d^{3}}{abc} \geq 2 (2)$ η οποια γινεται : $\frac{b^{4}+d^{4}}{abcd} \geq 2$ τις προσθετω κατα μελη και πολζω με $abcd$ και βγαινει το ζητουμενο

το (1) και το (2) ειναι απλα αριθμηση των σχεσεων

wfgl · 2011-08-26T13:27:18+0300

Χμμ ... Η σκέψη σου ανακυκλώνεται ...

edit : μπερδεύτηκα ... Λύνεται και αλλιώς αλλά μοιάζει πολύ με τη δικιά σου λύση(είναι στην ουσία ο ίδιος τρόπος), απλά χρησιμοποιούμε την AM-GM 3 φορές

Guest 018946 · 2011-08-26T13:28:31+0300

τι εννοεις οτι ανακυκλωνεται? :hmm:

wfgl · 2011-08-26T13:31:05+0300

Της αρχική σχέση τη διαιρείς με το abcd, την διασπάς σε δύο σχέσεις που τις ξαναπροσθέτεις και τελικά τις πολλαπλασιάζεις με το abcd ...

Guest 018946 · 2011-08-26T13:40:10+0300

ειναι λαθος ή σωστο?

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης