wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Η τρίτη λύνεται απλά ... Εκμεταλλευόμαστε τις αναλογίες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Ύστερα η ανισότητα γίνεται :
που ισχύει αφού :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αυτό είπα και εγώΌσο το
τείνει στο άπειρο τόσο η παράσταση θα πλησιάζει το 1 για
![]()
Μάλιστα αν το
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
βαζω και κανα ευκολο συστηματακι για να μην βαριεσται . Λυστε γιατο συστημα :
![]()
Βάλε κάτι πιο δύσκολο ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1 ???Συνοπτικά:
1ο Κεφάλαιο - Ανακεφαλαίωση θεμάτων του προηγούμενου βιβλίου με νέα θέματα
2ο Κεφάλαιο - Μεθοδολογία αντιμετώπισης ανισοτήτων (πχ. παρεμβολή, επαγωγή κτλ.)
3ο Κεφάλαιο - Ανισότητες Jensen, Muirhead, Popoviciu, Newton, McLaurin και άλλες που δεν θυμάμαι, καθώς και γενικεύσεις γνωστών ανισοτήτων πχ. Holder, Andreescu
4o Κεφάλαιο και μετά - Ασκήσεις
Ένα ακόμη πράγμα να σκεφτείτε:
Πόσο κάνει? (η διαδικασία επαναλαμβάνεται άπειρες φορές)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει ??Θα ήθελα να ρωτήσω, τι περιέχει το βιβλίο Κλασικές Και Νέες Ανισότητες του Μπάμπη Στεργίου ??? (γιατί έχω ήδη τις Αλγεβρικές Ανισότητες και αναρωτιέμαι αν θα το αγοράσω...)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αρκείμπορει και αλλιως με αντρεσκου και μετα στο τελος βγαινει το ζητουμενο με μεταβατικη.Βασικα αντικαθιστας το 2 μεκαι εφαρμοζεις ανετα αντρεσκου.
Σπας τα κλάσματα και εφαρμόζεις Andreescu.μολις ειδα ακομη μια που με αρεσε : ΓιαΝδο :
![]()
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θα ήθελα να ρωτήσω, τι περιέχει το βιβλίο Κλασικές Και Νέες Ανισότητες του Μπάμπη Στεργίου ??? (γιατί έχω ήδη τις Αλγεβρικές Ανισότητες και αναρωτιέμαι αν θα το αγοράσω...)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Θα χρησιμοποιήσω την πολυαγαπημένη μου ανισότητα, την ανισότητα της αναδιάταξης :
Έστω, λόγω της ομοιογένειας ότι
Έστω
Εφαρμόζοντας την ανισότητα της αναδιάταξης έπεται :
Θα μπορούσες να μας εξησήσεις την ανισότητα Muirhead ???
Βάλτε καμιά ασκησούλα να λύσουμε
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
![Clapup :clapup: :clapup:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/clapup.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μπορείς να ανεβάσεις τη λύση ???Επειδή είμαι στο χωριό και δεν έχω τα μέσα για να την λύσω, όταν την είχα λύσει την πρώτη αρχίζεις ότι 11<12 και πας συνθετικά και βγάζεις αυτό που εΙπες. Οταν πάω Αθήνα θα σας ανεβάσω την λύση.
Για την πρώτη άσκηση έχουμε
Με αντικατάσταση στο πρώτο ερώτημα προκύπτειΆρα x E R
To δεύτερο ερώτημα με αντικατάσταση αποκτά την μορφήπου δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x
Όσον αφορά την δεύτερη ισχύει ότιγια
θετικούς ακεραίους.
Απόδειξη : (Θα χρησιμοποιήσω την μαθηματική επαγωγή ή μέθοδο της τέλειας επαγωγής)
Για να αποδείξουμε έναν μαθηματικό ισχυρισμό, ο οποίος είναι συνήθως ισότητα ή ανισότητα ακολουθούμε τα εξής βήματα:
α) Αποδεικνύουμε ότι η πρότασηαληθεύει για τον μικρότερο φυσικό αριθμό που ορίζεται
β)Υποθέτουμε ότι η πρόταση αληθεύει για το φυσικό κ=ν
γ)τέλος αποδεικνύουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1
για![]()
που ισχύει αφού χ Ε Z+
Έστω ότι η πρόταση ισχύει για
Γιαη πρόταση μετασxηματίζεται ως εξής :
Θέτω, αφού
και γίνεται :
που ισχύει λόγω της υπόθεσης
Άρα λόγω αυτής της ανισότητας έχουμε :
Τελικά λύνεται έτσι :Αντυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
Νδο :![]()
και
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πως μου διέφυγε ???Απο ΑΜ-ΓΜ εχωΠολζω με 4 και περνω την σχεση που ζητηται
Διορθωστε με αν ειμαι λαθος.
![Θυμωμένο :mad: :mad:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/mad.gif)
![Embarrassment :redface: :redface:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/redface.gif)
![Συγνώμη :sorry: :sorry:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/sorry.gif)
![Angry :angry: :angry:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/angry.gif)
![knife :knife: :knife:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/knife.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
edit : μπερδεύτηκα ... Λύνεται και αλλιώς αλλά μοιάζει πολύ με τη δικιά σου λύση(είναι στην ουσία ο ίδιος τρόπος), απλά χρησιμοποιούμε την AM-GM 3 φορές
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Νδο :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Η σχέση γίνεται :
Ισχύει όμως ότι :
Υποσημείωση ... Ισχύει για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς :
ή με αθροίσματα :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fmathcircle.berkeley.edu%2FBMC4%2FHandouts%2Finequal%2Fimg13.png&hash=ba5be142498b43d7fb7e0893fef54c13)
Θέτωντας όπου
Να προσθέσω ότι τα αρχικά AM-GM σημαίνουν Arithmetic - Geometric Mean δηλαδή αριθμητικός και γεωμετρικός μέσος
Αυτή που είχα βάλει λέγεται De MoivreΝδο :![]()
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Άρα
και
και
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο
Η δεύτερη λύνεται και ως εξής :
Ισχύει ότι
και
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
H μέθοδος της παραγοντοποίησης είναι καλύτερη και πιο έξυπνη γιατί δουλεύεις συνθετικά ...Συνήθως οι πράξεις είναι πιο γρήγορες από την παραγοντοποίηση!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σωστή παρατήρηση! Aπλά πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το δεύτερο μέλος της πρότασης με το 2:αυτο με τον Euler από πού το ξέρουμε;![]()
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν ήταν :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δίνω κι εγώ μια με τη σειρά μου : Αν για τους αριθμούςκαι
ισχύει :
(1) Να λύσετε τις ανισώσεις :
α)
β)![]()
Να συγκριθούν οι αριθμοί :![]()
Εχω και αλλες ωραιες αλλα δεν εχω καλο ιντερνετ μια κοβεται μια ερχεται μου εχει σπασει τα νευρα τελος παντων λυστε αυτη και βλεπουμε
--
και μια αλλη
Αν οι αριθμοίείναι θετικοί και :![]()
,![]()
να αποδειχθεί ότι.![]()
Για την πρώτη άσκηση έχουμε
Με αντικατάσταση στο πρώτο ερώτημα προκύπτει
To δεύτερο ερώτημα με αντικατάσταση αποκτά την μορφή
Όσον αφορά την δεύτερη ισχύει ότι
Απόδειξη : (Θα χρησιμοποιήσω την μαθηματική επαγωγή ή μέθοδο της τέλειας επαγωγής)
Για να αποδείξουμε έναν μαθηματικό ισχυρισμό
α) Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση
β)Υποθέτουμε ότι η πρόταση αληθεύει για το φυσικό κ=ν
γ)τέλος αποδεικνύουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1
για
Έστω ότι η πρόταση ισχύει για
Για
Θέτω
Άρα λόγω αυτής της ανισότητας έχουμε :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω
Επίσης είναι :
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για καμμενους :
x^2=-1 (στους μιγαδικους : i^2=-1,οπου i η φανταστικη μοναδα)
x^2=i^2
x=+i ή x=-i
x^4=-1 (παλι τα ιδια στους μιγαδικους : i^2=-1,οπου i η φανταστικη μοναδα)
χ^4=i^2
x^4-i^2=0
(x^2-i)(x^2+i)=0
x^2-i=0 ή x^2+i=0
(μετα δεν ξερω την συνεχεια)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
a ^2 + b^2 >= 2ab (1)
και c > -1 (2)
Αν τις προσθέσουμε θα διατηρηθεί ή όχι το μεγαλύτερο ή ίσο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
μεγάλη ανοησία sorryΙσχύει ότι
Έστω![]()
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αντικαθιστώ όπου x το 6-y και το σύστημα γίνεται:
(5)/(6) <=> a=3
και ύστερα με απλή αντικατάσταση στα παραπάνω προκύπτει (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
Γιατί έχω την εντύπωση ότι υπάρχει πιο απλή λύση ... ???
Κάποιος να βάλει άσκηση.Έχουμε βαρεθεί ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.mathematica.gr%2Fforum%2Flatexrender%2Fpictures%2F1f58924f3ca90390a4a35ce1c1eef6d7.png&hash=1d45cba39876321a797e65f4657e88b2)
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.mathematica.gr%2Fforum%2Flatexrender%2Fpictures%2Fe565e2a4a03ac821e4c07ae159f51b9e.png&hash=b70be0fe17a1f9bef434d978cd99f65f)
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.mathematica.gr%2Fforum%2Flatexrender%2Fpictures%2F8cbf57e695e890118cac9d6c68bcf11c.png&hash=b45ef143148a8c4c5a3543d61d95f01a)
![](/proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.mathematica.gr%2Fforum%2Flatexrender%2Fpictures%2Fc2b4ba10a334cf06291a7349318b6ba1.png&hash=daa40e709928996a477dd55057ba6c20)
έλυσα το σύστημα και βρήκα (x,y,a,c)=(3,3,3,3)
θα ποστάρω τη λύση μου αργότερα γιατί είναι μεγάλη ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Βοήθεια Τι να κάνω ????
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Νδο (x+y)(xy+1)(z2 +1)=8xyz
(√x-√y)2 ≥ 0 ó x-2√x√y+y ≥ 0 ή x+y ≥ 2√x√y (1)
(√x√y -1)2 ≥ 0 ó xy-2√x√y+1 ≥ 0 ή xy+1 ≥ 2√x√y (2)
(z-1)2 ≥ 0 ó z2-2z+1 ≥ 0 ή z2+1 ≥ 2z (3)
Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1),(2),(3) κατά μέλη προκύπτει: (x+y)(xy+1)(z2 +1) ≥ 8√x2√y2z = 8xyz
Η ισότητα ισχύει όταν :
(√x-√y)2 = 0 ή x=y (4)
(√x√y -1)2 = 0 ή xy=1 (5)
(z-1)2 = 0 ή z=1 (6)
Η σχέση (5) με τη βοήθεια της (4) γίνεται: x2=1 ή x=1(δεκτή) ή x = -1(απορρίπτεται, αφού x,y,z > 0) και λόγω της (4) y=x ή
ή y=1
Άρα (x,y,z)=(1,1,1)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
μπορείτε να μου πείτε αν η λύση αυτής της άσκησης, του link είναι σωστή ???(https://skydrive.live.com/view.aspx...f811b&sc=documents&Bsrc=Docmail&Bpub=SDX.Docs)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
https://skydrive.live.com/view.aspx...f811b&sc=documents&Bsrc=Docmail&Bpub=SDX.Docs
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Από την ταυτότητα του Euler δηλαδή a^3+b^3+c^3-3abc = 1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
και επειδή a+b+c>0 προκύπτει ότι a^3+b^3+c^3-3abc >ισο 0 <=> a^3+b^3+c^3 > ίσο 0
Αν όπου a,b,c θέσουμε τα (τρίτη ρίζα)(a),(τρίτη ρίζα)(b),(τρίτη ρίζα)(c) προκύπτει : a+b+c> ίσο 3(τρίτη ρίζα)(abc)
ή (a+b+c)/3 > ίσο (τρίτη ρίζα)(abc) (1)
Αν τώρα στην ανισότητα a+b+c > ίσο 3(τρίτη ρίζα)(abc) θέσουμε όπου a,b,c τα 1/a,1/b,1/c παίρνουμε (τρίτη ρίζα)(abc) > ίσο 3/(1/a+1/b+1/c) (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε (a+b+c)/3 > ίσο (τρίτη ρίζα)(abc) > ίσο 3/(1/a+1/b+1/c)
Από την πάνω σχέση προκύπτει και η γενίκευση του θεωρήματος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Να παραθεσω εναν τροπο για την δευτερη ασκηση που διαφερει λιγο απο τους παραπανω,αν και εφαρμοζεται το ιδιο Θεωρημα.
Ειναι:
,
με εφαρμογη του ΑΜ-GM.(H γενικευμενη ανισοτητα αυτης που παρατεθηκε παραπανω)
Γενικά αν
Η ανισότητα λέγεται (AM-GM-HM) ή ανισότητα του αριθμητικού,γεωμετρικού και αρμονικού μέσου
Η ισότητα ισχύει για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
@antwwwnis
Σωστός
Παραθέτω έναν άλλο τρόπο λύσης
α)
β)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
wfgl
Νεοφερμένος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν
Πότε ισχύει η ισότητα;
Θα βάλω και άλλη μία :
Αν a>0 Νδο:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.