Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Guest 831328]

πολυ εξυπνη ασκηση.απλα θεωρω οτι το ολοκληρωμα της περιττης οτι ειναι μηδεν θα σε εβαζε να το δειξεις σε ενα ερωτημα λιγων μοριων για να σε βοηθησει και θα βαζανε μια πιο ευκολη συναρτηση με δεδομενο οτι το αοριστο ολοκληρωμα δεν το διδασκεστε

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 15 Μαΐου 2022

α και μια πονηραδα που κρυβεται στην ασκηση.εφοσον το πεδιο ορισμου ειναι ολο το R δεν δικαιουσαι να διαιρεσεις με το χ^2.πρεπει να πεις οτι το x διαφορο του μηδενος και θα προκυψει ενωση οποτε πρεπει να κανεις το θεωρημα στο (-00,0) και στο (0,+00) δεν δικαιουσαι να το κανεις στην ενωση!!μετα θα παρεις το οριο ενος απο τους 2 κλαδους στο μηδεν και αυτο θα το βαλεις f(0).

Στην άσκηση αυτή με το ολοκλήρωμα δεν γίνεται το Χ να είναι ≤ 0 επειδή δεν ορίζεται ο λογάριθμος για Χ αρνητικά ή 0 οπότε πρέπει χ > 0 οπωσδήποτε

 

[Guest 831328]

Με αφορμή την άσκηση που έστειλε ο @Cade ορίστε ένα λίγο τσιμπημενο θέμα Δ που έφτιαξα.

 

[Cade]

Μια πολύ ωραία άσκηση στην εύρεση συναρτησης συνδυαστική..

Επίτηδες γράφω να βρεθεί ο τύπος και δεν λέω αποδείξτε για να 'ναι λιγάκι πιο δυσκολο

 

[eukleidhs1821]

Μια πολύ ωραία άσκηση στην εύρεση συναρτησης συνδυαστική..

Επίτηδες γράφω να βρεθεί ο τύπος και δεν λέω αποδείξτε για να 'ναι λιγάκι πιο δυσκολο

ειναι σιγουρα σωστο?μηπως λειπει καποια σταθερα μπροστα απο το χ^2 ή το χ^3 ξερω γω?

 

[Cade]

ειναι σιγουρα σωστο?μηπως λειπει καποια σταθερα μπροστα απο το χ^2 ή το χ^3 ξερω γω?

Ναι σωστό είναι

 

[eukleidhs1821]

λοιπον την ελυσα.διαιρεις με χ γτ ειναι θετικο(αυτο μου δημιουργουσε το προβλημα) και πολλαπλασιαζω με 2.δημιουργουνται 2 παραγωγοι (x^2f^(x))'=(ln^2x)' η σταθερα βγαινει μηδεν επομενω f^2(x)=(lnx/x)^2
το δευτερο μελος μηδενιζει μονο στο 1.περιξ του 1 λοιπον η η f διατηρει προσημο.
εχουμε απολυτοf=απολυτοlnx/x
εχουμε οτι f(1/e)<0 επομενως χ<1 f(x)<0 επομενως f(x)=-απολυτοlnx/x
για χ<1 απολυτοlnx=-lnx επομενως για χ<1 f(x)=lnx/x
για χ>1 τωρα βλεπουμε οτι οτι το οριο lim1/f(x)=+00 επομενως υπαρχει k>1 τετοιο ωστε 1/f(k)>0 δηλαδη f(κ)>0 επομενως για χ>1 f(x)>0
f(x)=απολυτοlnx/x=lnx/x
επομενως για χ>0 f(x)=lnx/x
πολυ εξυπνη ασκηση.καθηγητης στην εδωσε?

 

[Cade]

λοιπον την ελυσα.διαιρεις με χ γτ ειναι θετικο(αυτο μου δημιουργουσε το προβλημα) και πολλαπλασιαζω με 2.δημιουργουνται 2 παραγωγοι (x^2f^(x))'=(ln^2x)' η σταθερα βγαινει μηδεν επομενω f^2(x)=(lnx/x)^2
το δευτερο μελος μηδενιζει μονο στο 1.περιξ του 1 λοιπον η η f διατηρει προσημο.
εχουμε απολυτοf=απολυτοlnx/x
εχουμε οτι f(1/e)<0 επομενως χ<1 f(x)<0 επομενως f(x)=-απολυτοlnx/x
για χ<1 απολυτοlnx=-lnx επομενως για χ<1 f(x)=lnx/x
για χ>1 τωρα βλεπουμε οτι οτι το οριο lim1/f(x)=+00 επομενως υπαρχει k>1 τετοιο ωστε 1/f(k)>0 δηλαδη f(κ)>0 επομενως για χ>1 f(x)>0
f(x)=απολυτοlnx/x=lnx/x
επομενως για χ>0 f(x)=lnx/x
πολυ εξυπνη ασκηση.καθηγητης στην εδωσε?

Ωραίος. Ναι μας την είχαν βάλει στο φροντιστήριο και επειδή μου είχε παρει αρκετή ώρα να την λύσω είπα να την ανεβάσω.
Στην ουσία λύνεις 2 ασκήσεις

 

[eukleidhs1821]

Ωραίος. Ναι μας την είχαν βάλει στο φροντιστήριο και επειδή μου είχε παρει αρκετή ώρα να την λύσω είπα να την ανεβάσω.
Στην ουσία λύνεις 2 ασκήσεις

εμενα προσωπικα το μονο σημειο που με δυσκολεψε ηταν να διαιρεσω με χ (το πιο προφανες σημειο μπορεις να πεις) γιατι πιστευα οτι πρεπει να βγαλω χ^3φ^2(χ) στο ενα μελος.αλλα οτι και να κανες δεν σε πηγαινε οποτε διαιρωντας με χ εβγαινε αερα μετα.ενταξει προφανως το λεπτο σημειο ειναι να μην πεσεις στην παγιδα οτι διατηρει προσημο στην ενωση και να πας ξεχωριστα στα υποδιαστηματα που στο δευτερο υποδιαστημα πρεπει να σαι ψιλιασμενος να χρησιμοποιησεις το οριο.τετοια λογικης ασκηση σε πιο ευκολη μορφη ειχε πεσε πριν 3-4 χρονια στις πανελληνιες και ειναι πολυ επιφοβο να ξαναπεσει.

 

[Guest 831328]

Με αφορμή την άσκηση που έστειλε ο @Cade ορίστε ένα λίγο τσιμπημενο θέμα Δ που έφτιαξα.

στο τελευταιο ερώτημα εχει γινει λαθος κανονικά βγαίνει ολοκληρωμα <= 1 - τοξεφ1 ομως επειδη δεν κανουμε αντιστροφες τριγωνομετρικές ειναι καπως ακυρο

 

[Guest 831328]

Μια άσκηση που δεν πρέπει να λείπει από εδώ ειδικά το πρώτο ερώτημα είναι όλα τα λεφτά...

 

[eukleidhs1821]

σουπερ σος αυτη η ασκηση να ξερετε.παραλλαγη γνωστης ασκησης.θετεις οπου y=x0 και βγαζεις απο κριτηριο παρεμβολης οτι η h(x)=χf(x)/ημχ εχει παραγωγο μηδεν δηλαδη σταθερη f(x)=cημχ/χ.ξες ομως οτι η f ειναι συνεχης και εχει f(0)=1 επομενως το οριο limf(x) χ τεινει στο μηδεν=c επι 1(γνωστο οριο)=1 αρα c=1.
τετοιες ασκησεις δειτε και οχι τις αμπελοφιλοσοφιες που ανεβαζατε χτες

 

[Cade]

Τι να σου πω εγώ δύσκολο το βλέπω να βάλουν κάτι πρωτότυπο πάντως

 

[Unboxholics]

Μια άσκηση που δεν πρέπει να λείπει από εδώ ειδικά το πρώτο ερώτημα είναι όλα τα λεφτά...

Πολυ ωραια ασκηση. Κατι τετοιο θα μπορουσε να μπει σε γ ή σε δ γιατι το α) ερωτημα ειναι το πιο "περιεργο"

 

[eukleidhs1821]

καλο και το δ1 ερωτημα σε αυτη την ασκηση.
αν κανεις παραγοντικη ολοκληρωση καταληγεις ln2ημ(1/2)-ολοκληρωμαlnxσυνχdx
x>=1/2 lnx>=-ln2 -lnx<=ln2 πολλαπλασιαζεις με συνχ(στο πρωτο τεταρτημοριο θετικο) -lnxσυνχ<=ln2συνχ<=ln2 επομενως το -ολοκληρωμα<ln2/2 προσθετεις και στα 2 μελη το ln2ημ(1/2) και καταληγεις ολη η ποσοτητα μικροτερη απο ln2(1/2+ημ(1/2))
ομως ημ(1/2)<1/2 ημ(1/2)+1/2<1 και το ln2>0 επομενως ln2(1/2+ημ(1/2)))<ln2
αρα το απεδειξες.
το δ2 ερωτημα ειναι πιο ευκολο απο το δ1 και μαλλον περιττο στην ασκηση.

 

[eukleidhs1821]

και μια μικρη λεπτομερεια που δεν προσεξα αλλα σε πανελληνιες κοστιζει.η ανισωση γραφει οτι ισχυει για 0<χ<π/2 οχι για ισον του π/2 ομως δεν εχεις προβλημα να πεις οτι η χφ(χ)/ημχ ειναι σταθερη στο (0,π/2] γτ το θεωρημα θελει η παραγωγος να ειναι μηδεν στο εσωτερικο του διαστηματος και συνεχεια σε ολο το διαστημα!σημαντικη λεπτομερεια και ισως για αυτο την εβαλε ο μαγκας που βαλε την ασκηση.

 

[Cade]

και μια μικρη λεπτομερεια που δεν προσεξα αλλα σε πανελληνιες κοστιζει.η ανισωση γραφει οτι ισχυει για 0<χ<π/2 οχι για ισον του π/2 ομως δεν εχεις προβλημα να πεις οτι η χφ(χ)/ημχ ειναι σταθερη στο (0,π/2] γτ το θεωρημα θελει η παραγωγος να ειναι μηδεν στο εσωτερικο του διαστηματος και συνεχεια στο διαστημα!σημαντικη λεπτομερεια και ισως για αυτο την εβαλε ο μαγκας που βαλε την ασκηση.

Κοίτα, γενικώς σου δίνει τη συναρτηση οπότε και να το ξεχάσεις λογικά θα το δεις απ' τον τύπο και θα το καταλάβεις

 

[eukleidhs1821]

Κοίτα, γενικώς σου δίνει τη συναρτηση οπότε και να το ξεχάσεις λογικά θα το δεις απ' τον τύπο και θα το καταλάβεις

ναι αν το ξεχασεις μπορεις να πεις ξερω γω οτι f(p/2)=limf(x) λογω συνεχειας αλλα θεωρω οτι η πληρης αιτιολογηση ειναι αυτο που ειπα για αυτο την βαλανε την ασκηση για να παρεις χαμπαρι αυτο.καλα αυτο θα ηταν 1 μοριο παραπανω δε θα χανε καποιος.

 

[Guest 831328]

Πάρτε και ένα πρόβλημα για θέμα Γ Είναι ιδιαίτερα έξυπνο.

 

[Cade]

Αν ορίζεται σε [α,β] και σου δίνει σχέση με παραγωγο που ισχύει για κάθε xε(α,xο) ένωση (xο,β) πχ f'(x)= 0 μπορούμε να πούμε πως ισχύει f(x)= c στο [α,β] χωρίς δικλαδη έτσι ;

 

[eukleidhs1821]

Αν ορίζεται σε [α,β] και σου δίνει σχέση με παραγωγο που ισχύει για κάθε xε(α,xο) ένωση (xο,β) πχ f'(x)= 0 μπορούμε να πούμε πως ισχύει f(x)= c στο [α,β] χωρίς δικλαδη έτσι ;

οχι!!!!!προσεξε το!!!δεν μπορεις να ισχυριστεις στην ενωση οτι ειναι σταθερη η συναρτηση!!!οτι θεωρημα ξερεις ισχυει σε διαστημα!αν δεν κανω λαθος αυτο ειχε πεσει μια χρονια πρωτο θεμα και μαλιστα παιζει να το χει και το βιβλιο χωρις να ειμαι σιγουρος.απλα εσυ μπερδευτηκες με τη μονοτονια.αν εχεις παραγωγο θετικη ή αρνητικη στο (α,χο) ενωση (χο,β) και εχεις και φυσικα οτι ειναι συνεχης στο χ0 τοτε και μονο τοτε βγαζεις συμπερασμα οτι ειναι αυξουσα ή φθινουσα στην ενωση!