Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[eukleidhs1821]

Δεν υπάρχει περίπτωση να πέσει. Το μισό mathematica έχει δώσει πάνω από 5 αποδείξεις ότι ισχύει ο ισχυρισμός φαντάσου τι έχει να γίνει από μαθητές

o ισχυρισμος ισχυει σιγουρα αν μιλας σε διαστημα!

 

[Alexandros28]

o ισχυρισμος ισχυει σιγουρα αν μιλας σε διαστημα!

Ναι σωστά.

 

[asdfqwerty]

Ενα μικρο θεματακι μιας και εχει καιρο να τεθει κατι:
δινεται η συναρτηση f η οποια ειναι γνησιως φθινουσα στο [1,3] .α) νδο οτι α=-3
β)να λυθει η εξισωση

 

[eukleidhs1821]

πονηρη ασκηση. f'(x)=3x^2+4ax+a^2 Δ=4α^2>0 αφου α<0.αρα το τριωνυμο εχει 2 διακεκριμενες ριζες τις χ1=-α και χ2=-α/3 f'(x)>0 εκτος του [-α/3,-α] και f'(x)<0 στο (-α/3,-α)
1η περιπτωση) χ1=-α>3 δηλαδη α<-3 τότε χ2=-α/3>1 υπάρχει τουλάχιστον ένα υποδιαστημα [κ,λ] στο [1,3] τετοιο ώστε f'(χ)>0 για καθε χ στο [κ,λ] αρα δεν ειναι γνησιως φθινουσα στο [1,3]
2η περιπτωση) 3>χ1=-α δηλαδη α>-3 τότε χ2=-α/3<1 υπάρχει τουλάχιστον ένα υποδιαστημα [κ,λ] στο [1,3] τετοιο ώστε f'(χ)>0 για καθε χ στο [κ,λ] άρα δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,3]
3η περίπτωση) χ1=-α=3 δηλαδή α=-3 και χ2=1/3 f'(x)<0 στο (1/3,3) κατα συνεπεια στο [1/3,3] είναι γνησίως φθίνουσα άρα και στο [1,3]

 

[asdfqwerty]

πονηρη ασκηση. f'(x)=3x^2+4ax+a^2 Δ=4α^2>0 αφου α<0.αρα το τριωνυμο εχει 2 διακεκριμενες ριζες τις χ1=-α και χ2=-α/3 f'(x)>0 εκτος του [-α/3,-α] και f'(x)<0 στο (-α/3,-α)
1η περιπτωση) χ1=-α>3 δηλαδη α<-3 τότε χ2=-α/3>1 υπάρχει τουλάχιστον ένα υποδιαστημα [κ,λ] στο [1,3] τετοιο ώστε f'(χ)>0 για καθε χ στο [κ,λ] αρα δεν ειναι γνησιως φθινουσα στο [1,3]
2η περιπτωση) 3>χ1=-α δηλαδη α>-3 τότε χ2=-α/3<1 υπάρχει τουλάχιστον ένα υποδιαστημα [κ,λ] στο [1,3] τετοιο ώστε f'(χ)>0 για καθε χ στο [κ,λ] άρα δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,3]
3η περίπτωση) χ1=-α=3 δηλαδή α=-3 και χ2=1/3 f'(x)<0 στο (1/3,3) κατα συνεπεια στο [1/3,3] είναι γνησίως φθίνουσα άρα και στο [1,3]

μπορει να βγει γρηγοροτερα κιολας: εδειξες οτι η συναρτηση ειναι γνησιως φθινουυσα στο [-α/3,-α]
γνωριζεις απο υποθεση οτι ειναι φθινουσα στο [1,3] αρα το [1,3] ειναι υποσυνολο του [-α/3,-α]
αρα: -α/3<=1 ^ -α>=3 <=> α>=-3 ^ α<=-3 => α=-3

 

[eukleidhs1821]

μπορει να βγει γρηγοροτερα κιολας: εδειξες οτι η συναρτηση ειναι γνησιως φθινουυσα στο [-α/3,-α]
γνωριζεις απο υποθεση οτι ειναι φθινουσα στο [1,3] αρα το [1,3] ειναι υποσυνολο του [-α/3,-α]
αρα: -α/3<=1 ^ -α>=3 <=> α>=-3 ^ α<=-3 => α=-3

nai εχεις δικιο.απλα δεν σκεφτηκα οτι εφοσον βγαζω γενικα το προσημο της παραγωγου εχω αμεσο συμπερασμα για μονοτονια.ναι εχεις δικιο απλα και το δικο μου ηταν μια πιο safe λυση

 

[Alexandros28]

Να δειχτεί πως αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει: f’(x)≠0 ,xεΔ
τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

 

[eukleidhs1821]

Να δειχτεί πως αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει: f’(x)≠0 ,xεΔ
τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

αυτο νομιζω περσι την ειχε ανεβασει περσι τη λυση ο μαρκος ο βασιλης.πολυ ωραιο θεμα.με μεγιστη και ελαχιστη τιμη και φερματ βγαινει ψαχτε στο φορουμ θα τη βρειτε

 

[bovid19]

Αν το Δ είναι διάστημα απλά πρέπει να δείξεις ότι μία συνεχής 1-1 συνάρτηση είναι και γνησίως μονότονη.
Περισσότερα εδώ: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=12520

 

[Alexandros28]

αυτο νομιζω περσι την ειχε ανεβασει περσι τη λυση ο μαρκος ο βασιλης.πολυ ωραιο θεμα.με μεγιστη και ελαχιστη τιμη και φερματ βγαινει ψαχτε στο φορουμ θα τη βρειτε

Σωστά. Ουσιαστικά η διαδικασία που αναφέρεις είναι η απόδειξη του θεωρήματος Darboux, για όσους θέλουν να την δουν πιο αναλυτικά.

 

[eukleidhs1821]

Άσκηση στα μαθηματικά κατεύθυνσης

Νομιζω καλως απορρίπτεις τα άκρα. Το Χ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος που πήρες. απλα κατι δεν μου κολλαει επειδη μιλαω κοντα στο οριο της παραγωγου που πηρα.μαλλον σωστα τα λεω 1587653021 υπαρχει καποιος τροπος να γραφεις μαθηματικα συμβολα εδω?

www.ischool.gr

η φοβερη αποδειξη του μαρκου βασιλη σε αυτο που ρωτησε ο αλεξανδρος.περαν του δυσκολου να σκεφτεις το θεωρημα μεγιστης και ελαχιστης τιμης πρεπει να αποδειξεις οτι δεν γινεται στα ακρα ελαχιστο ωστε να κανεις φερματ.δεν πιστευω οτι μπορει να τεθει ποτε κατι τετοιο αλλα καλο ειναι να δειτε τον τροπο σκεψης

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Μαρτίου 2021

Αν το Δ είναι διάστημα απλά πρέπει να δείξεις ότι μία συνεχής 1-1 συνάρτηση είναι και γνησίως μονότονη.
Περισσότερα εδώ: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=12520

αν εχεις οτι η παραγωγος ειναι διαφορη του μηδενος σε ενα διαστημα ειναι 1-1 οποτε μπορεις να το αναγεις και σε αυτο που λες

 

[bovid19]

Άσκηση στα μαθηματικά κατεύθυνσης

Νομιζω καλως απορρίπτεις τα άκρα. Το Χ είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος που πήρες. απλα κατι δεν μου κολλαει επειδη μιλαω κοντα στο οριο της παραγωγου που πηρα.μαλλον σωστα τα λεω 1587653021 υπαρχει καποιος τροπος να γραφεις μαθηματικα συμβολα εδω?

www.ischool.gr

η φοβερη αποδειξη του μαρκου βασιλη σε αυτο που ρωτησε ο αλεξανδρος.περαν του δυσκολου να σκεφτεις το θεωρημα μεγιστης και ελαχιστης τιμης πρεπει να αποδειξεις οτι δεν γινεται στα ακρα ελαχιστο ωστε να κανεις φερματ.δεν πιστευω οτι μπορει να τεθει ποτε κατι τετοιο αλλα καλο ειναι να δειτε τον τροπο σκεψης

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 24 Μαρτίου 2021

αν εχεις οτι η παραγωγος ειναι διαφορη του μηδενος σε ενα διαστημα ειναι 1-1 οποτε μπορεις να το αναγεις και σε αυτο που λες

Ωραία η απόδειξη. Αλλά θεωρώ ότι οι μαθητές αξίζει να κρατήσουν ότι Συνέχεια + 1-1 => Γνήσια μονοτονία. Η f'(x)≠0 είναι πιο απαιτητική συνθήκη (καθώς υποθέτει ότι η f είναι και παραγωγίσιμη).

 

[eukleidhs1821]

Ωραία η απόδειξη. Αλλά θεωρώ ότι οι μαθητές αξίζει να κρατήσουν ότι Συνέχεια + 1-1 => Γνήσια μονοτονία. Η f'(x)≠0 είναι πιο απαιτητική συνθήκη (καθώς υποθέτει ότι η f είναι και παραγωγίσιμη).

εχω την αισθηση οτι αυτο το παιρνουν ετοιμο συνεχεια + 1-1 γνησιως μονοτονη χωρις αποδειξη???νομιζω ετσι ελεγε ο μαρκος περσι

 

[bovid19]

εχω την αισθηση οτι αυτο το παιρνουν ετοιμο συνεχεια + 1-1 γνησιως μονοτονη χωρις αποδειξη???νομιζω ετσι ελεγε ο μαρκος περσι

Όντως; Αν είναι έτσι με ένα Rolle έχει τελειώσει η άσκηση.

 

[eukleidhs1821]

Όντως; Αν είναι έτσι με ένα Rolle έχει τελειώσει η άσκηση.

λες για την αποδειξη με την παραγωγο?κατι τετοιο ειχε παρει το ματι μου

 

[Alexandros28]

Δεν είναι αποδεκτό πλέον το 1-1 + συνεχής => γνησίως μονότονη χωρίς απόδειξη

Ας δώσω άλλη μια:

 

[eukleidhs1821]

ειναι για καθε α,β ανηκει r?

 

[Alexandros28]

Ναι ναι

 

[eukleidhs1821]

πολυ ωραια ασκηση.εστω οτι α<β απο την σχεση που εχουμε g(a)-g(b)>=-απολυτο(α-β)=α-β αρα g(a)-a>=g(b)-b αρα f(a)+a>=f(b)+b f(a)-f(b)>=b-a>0 αρα f(a)>f(b) αρα γνησιως φθινουσα

 

[bovid19]

Βάζεις όπου α το x και όπου β κάποιο τυχαίο πραγματικό x0.
Θα ισχύει |g(x)-g(x0)|<=|x-x0| <=> -|x-x0|<= g(x)-g(x0)<=|x-x0|. Με κ.π. δείχνεις ότι η g είναι συνεχής οπότε και η f θα είναι συνεχής. Έστω ότι η f δεν είναι 1-1 δηλαδή ότι υπάρχουν πραγματικά x1,x2 τ.ω. f(x1)=f(x2) με x1,x2 διάφορα. Τότε g(x1)-2*x1=g(x2)-2*x2 <=> [g(x2)-g(x1)]/(x2-x1) = 2 που είναι άτοπο διότι
-1 <= [g(x2)-g(x1)]/(x2-x1) <= 1. Άρα η f είναι 1-1 και συνεχής και με το λινκ παραπάνω δείχνουμε πως είναι και γνησίως μονότονη. Επίσης f(1)-f(0)=g(1)-g(0)-2<0 επειδή |g(1)-g(0)|<= 1 επομένως g(1)- g(0) <= 1 < 2 και τελικά f(1)<f(0) άρα είναι γνησίως φθίνουσα

Edit: Τελικά υπήρχε πιο κομψός τρόπος, κάπως έτσι τα έλυνα εκείνη τη χρονιά και με καντήλιαζε ο καθήγητης.