Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

[Μάρκος Βασίλης]

Τα μαθηματικά που θα δει κάποιος στην πράξη δεν έχουν λιγότερη αξία απο αυτά που θα δει σε ένα πιο καθαρό μάθημα μαθηματικών . Μάλιστα ίσα ίσα που στην σημερινή εποχή λόγω του τεράστιου όγκου της ύλης,δεν γίνεται να μάθει κανείς τα πάντα,και το να αναλώνεται σε όλες τις μαθηματικές λεπτομέρειες απλά για να βγάλει απο 19 και πάνω σπανίως προσθέτει παραπάνω ουσία . Γι'αυτό και εμμένω στο οτι δεν θα υπάρξουν τραγικές συνέπειες εαν δεν πάρει 19, όχι τίποτα άλλο .

Καταλαβαίνω τι λέτε και δεν διαφωνώ καθόλου για την σημασία της διανυσματικής άλγεβρας, είναι αδιαμφισβήτητα εφόδιο σε κάθε μαθητή και μετέπειτα φοιτητή και επιστήμονα των θετικών σπουδών. Αλλά, όπως είπα ο χρόνος είναι περιορισμένος και ούτως η άλλως ελάχιστα παιδιά αντιλαμβάνονται τα όσα τονίσατε,πολύ όμορφα και κομψά μάλιστα . Ούτε πρόκειται απο ένα μάθημα που έτυχε να πάρουν στα 16-17 να αντιληφθούν όσα εσείς, μετά απο τόσα μαθήματα που έχετε πάρει σε διαφορετικούς τομείς και έχετε πλήρη εικόνα απο τις "ρίζες" αυτού του πολύ ωραίου και χρήσιμου κλάδου που επεκτείνονται και σε άλλους .

Ιδιαίτερα δε στην βιολογία κάτι παραπάνω απο τις βασικές πράξεις δεν έχω δει να χρησιμοποιούν . Στην χημεία ομοίως,λογάριθμους απο καθαρά υπολογιστική σκοπιά και λύση πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων .Μαθήματα απο την άλλη όπως η στατιστική σε μια dumbed down έκδοση χωρίς λογισμό,φαίνονται εξαιρετικά χρήσιμα σε αυτά τα τμήματα . Δεν νομίζω οτι διαφωνούμε επι της ουσίας πάρα αυτά .Το νόημα μας είναι κοινό : εφόσον έχει θέμα και δυσκολεύεται δεν πρέπει να αγχώνεται και να πιέζεται να βγάλει άριστα σε ένα μάθημα που ούτως ή άλλως δεν θα χρειαστεί ποτέ της ή θα δεί καλύτερα στο πανεπιστήμιο στην χειρότερη . Επειδή όμως θα το χρειαστεί σίγουρα για να αντιληφθεί καλύτερα την φυσική του χρόνου,εννοείται οτι δεν πρέπει να το αφήσει και στο έλεος του Θεου ,εφόσον δεν της είναι παντελώς άσχετο με το εγγύτερο μέλλον .

Εξαίρεση στην εξής περίπτωση,εαν στοχεύει και σε χημικά,τότε κατα την γνώμη μου πρέπει οπωσδήποτε να δώσει βάση και να μην κάνει κενά χωρίς πάλι να σφαχτεί να βγάλει ντε και καλά άριστα γιατί είναι πολύ βασικές γνώσεις για να καταλάβει όταν με το καλό είναι φοιτήτρια, θέματα όπως η κρυσταλλογραφία . Βέβαια θα τα ακούσει ξανά αργότερα,αλλά γιατί να μην έχει μια ιδέα ήδη απο πριν .

Ναι, τελικά νομίζω ότι σε αυτά συμφωνούμε, απλώς συγκλίναμε στην ίδια θέση από διαφορετικές σκοπιές! (Θα έκανα απλώς like, αλλά δε με αφήνει ακόμα :Ρ )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[spring day]

Καλησπέρα! Θα ήθελα μια βοήθεια σε μια άσκηση. Η εκφώνηση είναι η εξής: Δίνεται η f(x)= 5x³+8x-13
Α) να βρεθει η μονοτονια (το οποίο ήδη έκανα και βγήκε αύξουσα)
Β) Να λυθεί η f(x)=0 και να βρεθει το προσημο της f
Γ) Να λυθεί η 5x³+3x ≤ -13 -5x

Ευχαριστώ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

Αν γράψεις: -13 = - 5 - 8 , παραγοντοποιείς και λύνεις εύκολα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SlimShady]

Καλησπέρα! Θα ήθελα μια βοήθεια σε μια άσκηση. Η εκφώνηση είναι η εξής: Δίνεται η f(x)= 5x³+8x-13
Α) να βρεθει η μονοτονια (το οποίο ήδη έκανα και βγήκε αύξουσα)
Β) Να λυθεί η f(x)=0 και να βρεθει το προσημο της f
Γ) Να λυθεί η 5x³+3x ≤ -13 -5x

Ευχαριστώ

τυχεροί είστε εμείς έχουμε φτάσει διαίρεση πολυωνύμων και είναι ζόρικα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Samael]

Καλησπέρα! Θα ήθελα μια βοήθεια σε μια άσκηση. Η εκφώνηση είναι η εξής: Δίνεται η f(x)= 5x³+8x-13
Α) να βρεθει η μονοτονια (το οποίο ήδη έκανα και βγήκε αύξουσα)
Β) Να λυθεί η f(x)=0 και να βρεθει το προσημο της f
Γ) Να λυθεί η 5x³+3x ≤ -13 -5x

Ευχαριστώ

Σωστη στο πρωτο ειναι πραγματι αυξουσα..

Στο δευτερο αρκει να παρατηρησεις οτι το χ = 1 ειναι ριζα. Αρα μπορεις να παραγοντοποιησεις το πολυωνυμο ως εξης :

(χ-1)(αχ^2 +βχ +γ) = 5χ^3 +8χ-13 =>

αχ^3 +βχ^2 + γχ -αχ^2 -βχ-γ = 5χ^3+8χ-13=>

αχ^3 +(β-α)χ^2 +(γ-β)χ-γ =
5χ^3+8χ-13

Αρα πρεπει:
α = 5
β-5= 0 => β= 5
γ=13

Τελικα :
(χ-1)(5χ^2+5χ+13)=0

Εαν κανεις την διακρινουσα για τον δευτερο παραγοντα(εφοσον ειναι πολυωνυμο δευτερης ταξης) θα δεις οτι βγαινει αρνητικη και αρα δεν υπαρχει ριζα του για κανενα πραγματοκο αριθμο χ. Αρα μοναδικη λυση της f(x)=0 το χ = 1 .

Αξιζει να σημειωθει οτι επειδη ηξερες ηδη απο το ερωτημα α οτι η συναρτηση ειναι μονοτονη, θα μπορουσες να πεις οτι θα εχει το πολυ 1 ριζα και αφου βρεις την ριζα για χ=1 μεσω παρατηρησης να πεις οτι εχει ακριβως 1 ριζα. Αλλα δεν ξερω εαν εχετε κανει 1-1 συναρτησεις. Εαν εχετε κανει,αυτη θα ηταν η πιο απλη λυση.

Τωρα στο γ μπορεις να παιξεις λιγο με την σχεση για να εμφανισεις το πολυωνυμο μας αφου ολοι οι βασικοι οροι εμπεριεχονται.

5χ^3 +3χ < -13-5χ
5χ^3 +8χ < -13
5χ^3 +8χ-13 < -26
f(x) < -26

Εαν θεσεις στο αρχικο πολυωνυμο οπου χ το -1 θα παρεις :

5(-1)^3+8(-1)-13 = -5-8-13 = -26
Αρα f(-1) = -26 .

Ετσι η σχεση στο ερωτημα γ γινεται :

f(x) < f(-1)

Επειδη ομως η f ειναι γνησιως αυξουσα θα ισχυει οτι πρεπει χ< -1 .

Αυτα. Ελπιζω να ειναι ξεκαθαρα,οτι απορια εχεις ρωτας.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[spring day]

Σωστη στο πρωτο ειναι πραγματι αυξουσα..

Στο δευτερο αρκει να παρατηρησεις οτι το χ = 1 ειναι ριζα. Αρα μπορεις να παραγοντοποιησεις το πολυωνυμο ως εξης :

(χ-1)(αχ^2 +βχ +γ) = 5χ^3 +8χ-13 =>

αχ^3 +βχ^2 + γχ -αχ^2 -βχ-γ = 5χ^3+8χ-13=>

αχ^3 +(β-α)χ^2 +(γ-β)χ-γ =
5χ^3+8χ-13

Αρα πρεπει:
α = 5
β-5= 0 => β= 5
γ=13

Τελικα :
(χ-1)(5χ^2+5χ+13)=0

Εαν κανεις την διακρινουσα για τον δευτερο παραγοντα(εφοσον ειναι πολυωνυμο δευτερης ταξης) θα δεις οτι βγαινει αρνητικη και αρα δεν υπαρχει ριζα του για κανενα πραγματοκο αριθμο χ. Αρα μοναδικη λυση της f(x)=0 το χ = 1 .

Αξιζει να σημειωθει οτι επειδη ηξερες ηδη απο το ερωτημα α οτι η συναρτηση ειναι μονοτονη, θα μπορουσες να πεις οτι θα εχει το πολυ 1 ριζα και αφου βρεις την ριζα για χ=1 μεσω παρατηρησης να πεις οτι εχει ακριβως 1 ριζα. Αλλα δεν ξερω εαν εχετε κανει 1-1 συναρτησεις. Εαν εχετε κανει,αυτη θα ηταν η πιο απλη λυση.

Τωρα στο γ μπορεις να παιξεις λιγο με την σχεση για να εμφανισεις το πολυωνυμο μας αφου ολοι οι βασικοι οροι εμπεριεχονται.

5χ^3 +3χ < -13-5χ
5χ^3 +8χ < -13
5χ^3 +8χ-13 < -26
f(x) < -26

Εαν θεσεις στο αρχικο πολυωνυμο οπου χ το -1 θα παρεις :

5(-1)^3+8(-1)-13 = -5-8-13 = -26
Αρα f(-1) = -26 .

Ετσι η σχεση στο ερωτημα γ γινεται :

f(x) < f(-1)

Επειδη ομως η f ειναι γνησιως αυξουσα θα ισχυει οτι πρεπει χ< -1 .

Αυτα. Ελπιζω να ειναι ξεκαθαρα,οτι απορια εχεις ρωτας.

Ευχαριστώ πάρα πολύ!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 5 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[cment]

Επισης βοηθαει το να εχεις στο νου σου τον τριγωνομετρικο κυκλο, οπου:
δεξια, στις 0 μοιρες ειναι 0π/2 => 0 ακτινια
πανω, στις 90, 1π/2 => π/2
αριστερα, στις 180, 2π/2 => π
κατω, στις 270, 3π/2
και παλι δεξια, στις 360, 4π/2 => 2π

Και μετα τα μονα που θα χρειαστεις ακομα ειναι τα:
π/3--->60 μοιρες
π/4--->45 μοιρες
π/6--->30 μοιρες
των οποιων τις αντιστοιχιες μπορεις να τις θυμασαι αναλογα με τον παρονομαστη του π. Οσο μεγαλυτερος ο παρονομαστης, τοσο λιγοτερες οι μοιρες...

Αν θες παντως να βρισκεις οποια γωνια θελεις ανα πασα στιγμη ο πιο απλος τροπος ειναι χαρτι-μολυβακι και ο τυπος οπως εδειξε η JaneWin

Τσέκαρε στο παρακάτω site την φωτογραφία που έχει το τριγωνομετρικό κύκλο σε ακτίνια.

Τι είναι ο τριγωνομετρικός κύκλος - μοναδιαίος κύκλος; - matematiQ

Ο τριγωνομετρικός κύκλος ή αλλιώς ο μοναδιαίος κύκλος είναι ένας κύκλος στο Καρτεσιανό επιπέδου που έχει ακτίνα 1...

www.matematiq.gr