Άσκηση πιθανοτήτων και απορίες Στατιστικής

[aekarare]

Θα κάνω μια ακόμα απόπειρα.
Λοιπόν όταν αλλάξεις την μεταβλητή σου σε z με τον κατάλληλο μετασχηματισμό της αρχικής μεταβλητής,
δηλαδή z = (x-25)/5,προκύπτει η κανονικοποιημένη κανονική κατανομή.Δηλαδή έχει μέση τιμή το 0 και τυπική απόκλιση το 1.

Αυτή η κατανομή έχει το σχήμα μιας καμπάνας, η οποία είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των y.
Δηλαδή εαν την "διπλώσεις" το αριστερό μέρος της(αυτό για z<0) θα συμπέσει πάνω στο δεξί μέρος της(αυτό για z>0). Έτσι εφόσον τα δύο μέρη είναι ισοδύναμα, το εμβαδόν απο κάτω τους είναι ίσο.

Το συνολικό εμβαδόν κάτω απο την καμπάνα πρέπει να δίνει 1,ώστε να αποτελεί κατανομή.
Έτσι εφόσον Ε1+Ε2 = 1 και Ε1=Ε2=Εο συνεπάγεται οτι 2Εο = 1 => Εο = 1/2 =0.5 . Άρα Ε1=Ε2=0.5
Είναι προφανές επομένως οτι το P(z<=0) αναφέρεται στο εμβαδόν κάτω απο το αριστερό τμήμα της καμπύλης της κατανομής και άρα θα είναι ίσο με 0.5 . Έχουμε λοιπόν οτι P(z<=0) = 0.5 .

Ήταν αρκετά αναλυτικό αυτό,σε βοήθησε ;

θα προσπαθησω να ψαξω και σε κανενα βιβλιο,σε συνδιασμο με αυτα που μου ειπες εσυ μπας και βγαλω ακρη..ο καθηγητης δεν μας εχει καν μιλησει για αυτα και εβαλε ασκησεις με τετοια..σε ευχαριστω πολυ για τον χρονο σου οπως και να χει.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 11 Σεπτεμβρίου 2020

θα ψαξω να το βρω σχηματικα ισως βοηθησει παραπανω

 

[Samael]

θα προσπαθησω να ψαξω και σε κανενα βιβλιο,σε συνδιασμο με αυτα που μου ειπες εσυ μπας και βγαλω ακρη..ο καθηγητης δεν μας εχει καν μιλησει για αυτα και εβαλε ασκησεις με τετοια..σε ευχαριστω πολυ για τον χρονο σου οπως και να χει.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 11 Σεπτεμβρίου 2020

θα ψαξω να το βρω σχηματικα ισως βοηθησει παραπανω

Το P(z<=0) = ολοκλήρωμα της καμπύλης απο -οο εως 0 της καμπύλης της κατανομής. Άρα σχετίζεται με το εμβαδόν(εφόσον η πιθανότητα μπορεί να είναι μόνο θετική ποσότητα). Απο το παρακάτω σχήμα είναι προφανές οτι το P(z<=0) = 0.5 και P(z>=0) = 0.5 .

Αλλά ναι ψάχτο λίγο παραπάνω εαν δεν αρκούν αυτά για να το χωνέψεις καλύτερα.

 

[aekarare]

Το P(z<=0) = ολοκλήρωμα της καμπύλης απο -οο εως 0 της καμπύλης της κατανομής. Άρα σχετίζεται με το εμβαδόν(εφόσον η πιθανότητα μπορεί να είναι μόνο θετική ποσότητα). Απο το παρακάτω σχήμα είναι προφανές οτι το P(z<=0) = 0.5 και P(z>=0) = 0.5 .

Αλλά ναι ψάχτο λίγο παραπάνω εαν δεν αρκούν αυτά για να το χωνέψεις καλύτερα.

View attachment 71092

αρα πχ το P(1<x<2)=0,136

 

[Samael]

αρα πχ το P(1<x<2)=0,136

Σε τι αναφέρεται αυτό ; Έχουν περάσει και 1-2 μήνες .

 

[aekarare]

Σε τι αναφέρεται αυτό ; Έχουν περάσει και 1-2 μήνες .

Eιναι παλι κανονικη κατανομη με μ=150 και σ=15 και ζηταει την πιθανοτητα ενας εργαζομενος να εχει μισθο μεταξυ 165-180..αν το κανεις καταληγεις να ψαχνεις την πιθανοτητα P(1<x<2)

 

[Samael]

Eιναι παλι κανονικη κατανομη με μ=150 και σ=15 και ζηταει την πιθανοτητα ενας εργαζομενος να εχει μισθο μεταξυ 165-180..αν το κανεις καταληγεις να ψαχνεις την πιθανοτητα P(1<x<2)

Ναι ναι,μπράβο σωστός.

 

[aekarare]

Ναι ναι,μπράβο σωστός.

ωραια αλλα συμφωνα με το σχημα πανω,αυτο ισουται με 0,136..αλλα αυτο δεν υπαρχει στις πιθανες απαντησεις της ασκησης

 

[Samael]

ωραια αλλα συμφωνα με το σχημα πανω,αυτο ισουται με 0,136..αλλα αυτο δεν υπαρχει στις πιθανες απαντησεις της ασκησης

Μπορεί να υπάρχει λάθος τότε στις προτεινόμενες απαντήσεις .

 

[aggelosst9]

Αν P(AnB)=1 νδο P(A)=P(B)=1. Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω την ιδιότητα της μετρησιμότητας και να πάρω δύο περιπτώσεις, η μια το α υποσύνολο του β και το αντίθετο. Όμως μπορεί τα υποσύνολα να είναι ξένα, και έχω μπερδευτεί λίγο.

Κάποια γνώμη;

 

[Guest 749981]

Σκέφτηκα το εξής: P(A∩B) = 1 => A∩B = Ω => Α = Ω και Β = Ω => P(A)=P(B)=1. Για την δεύτερη συνεπαγωγή, αν και μου φαίνεται κάπως προφανές, θα έβαζα την εξής αιτιολόγηση: Έστω ότι Α ≠ Ω => υπάρχει x0∈Ω τέτοιο ώστε x0∉A => x0∉A∩B => x0∉Ω άτοπο. Το ίδιο για το Β.

 

[aggelosst9]

Δίνει δεδομένο πως Α,Β ανήκουν στο δυναμοσύνολο οπότε δεν ξέρω αν αλλάζει κάτι στο συλλογισμό σου, αν δεν το έδινε αυτό σωστό μου φαίνεται προσωπικά.

 

[nPb]

θα προσπαθησω να ψαξω και σε κανενα βιβλιο,σε συνδιασμο με αυτα που μου ειπες εσυ μπας και βγαλω ακρη..ο καθηγητης δεν μας εχει καν μιλησει για αυτα και εβαλε ασκησεις με τετοια..σε ευχαριστω πολυ για τον χρονο σου οπως και να χει.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 11 Σεπτεμβρίου 2020

θα ψαξω να το βρω σχηματικα ισως βοηθησει παραπανω

Aν ξέρεις αγγλικά, ψάξε στην αγγλική για πιθανότητες. Θα βρεις πλούσιο υλικό και πολλά παραδείγματα. Τα Ελληνικά είναι ανύπαρκτη γλώσσα για τον κόσμο της σύγχρονης Μαθηματικής Επιστήμης.

 

[Samael]

Αν P(AnB)=1 νδο P(A)=P(B)=1. Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω την ιδιότητα της μετρησιμότητας και να πάρω δύο περιπτώσεις, η μια το α υποσύνολο του β και το αντίθετο. Όμως μπορεί τα υποσύνολα να είναι ξένα, και έχω μπερδευτεί λίγο.

Κάποια γνώμη;

Θα μπορούσες να σκεφτείς το πρόβλημα με δεσμευμένες πιθανότητες. Το οτι P(AnB) = 1 σημαίνει οτι μπορείς να θεωρήσεις ως δεδομένο οτι έχει συμβεί η τομή. Δηλαδή η εκφώνηση είναι σα να σε ρωτάει " Δεδομένου οτι συνέβη η τομή==αν συνέβη η τομή , ποια η πιθανότητα να συμβεί το Α και ποια η πιθανότητα να συμβεί το Β ;"

Έτσι έχουμε οτι :
P(A|AnB) = P(An(AnB))/P(AnB) , απο ορισμό δεσμευμένης πιθανότητας.
P(A|AnB) = P(AnB)/P(AnB) = 1 , απο ιδιότητες συνόλων .

Ομοίως :

P(B|AnB) = P(Bn(AnB))/P(AnB) , απο ορισμό δεσμευμένης πιθανότητας.
P(B|AnB) = P(AnB)/P(AnB) = 1 , απο ιδιότητες συνόλων .

Άρα P(A|AnB) = P(B|AnB) = 1
Δηλαδή το ζητούμενο.

 

[Guest 749981]

Λύνοντας την προηγούμενη άσκηση για την οποία έθεσε απορία ο aggelosst9 μου προκλήθηκε η εξής απορία: Ισχύει πως P(A∩B) = 1 <=> A∩B = Ω;

Αρχικά, σκέφτομαι πως δε βγάζει νόημα το να υπάρχουν αποτελέσματα χ1 στο Ω για τα οποία P(x1) = 0. Για παράδειγμα στη ρίψη ενός ζαριού δε λέμε Ω = {0,1,2,e,3,π,4,5,6} αλλά λέμε Ω = {1,2,3,4,5,6}. Όμως σκέφτομαι παράλληλα και το πείραμα με Ω = [0,2] και P([διάστημα]) = μήκος διαστήματος / 2, για το οποίο P((0,2]) = 1. Οπότε όπως έχει δοθεί το Ω, υπάρχει Α = (0,2] με Α ≠ Ω και P(A)=P(Ω).

Όσοι ξέρετε καλές πιθανότητες δώστε τα φώτα σας για τον παραπάνω συλλογισμό.

 

[aggelosst9]

Έτσι έχουμε οτι :
P(A|AnB) = P(An(AnB))/P(AnB) , απο ορισμό δεσμευμένης πιθανότητας.
P(A|AnB) = P(AnB)/P(AnB) = 1 , απο ιδιότητες συνόλων .

Δηλαδή τα bold ισούνται αν κατάλαβα καλά; Γιατί όμως, ξέρουμε πως το Α∩Β είναι υποσύνολο των Α,Β αλλά πως προκύπτει αυτό; Σόρρυ για τη χαζή ερώτηση αλλά πάσχω από έλλειψη Στατιστικής 1

 

[Guest 749981]

Δηλαδή τα bold ισούνται αν κατάλαβα καλά; Γιατί όμως, ξέρουμε πως το Α∩Β είναι υποσύνολο των Α,Β αλλά πως προκύπτει αυτό; Σόρρυ για τη χαζή ερώτηση αλλά πάσχω από έλλειψη Στατιστικής 1

Είναι Α∩Β = {χ∈Ω: χ∈A και χ∈Β} εξ ορισμού.

 

[Samael]

Δηλαδή τα bold ισούνται αν κατάλαβα καλά; Γιατί όμως, ξέρουμε πως το Α∩Β είναι υποσύνολο των Α,Β αλλά πως προκύπτει αυτό; Σόρρυ για τη χαζή ερώτηση αλλά πάσχω από έλλειψη Στατιστικής 1

Πιο πολύ θεωρία πιθανοτήτων είναι,αλλά δεν θα τα χαλάσουμε στο όνομα,πες το όπως θες .
Εαν παρατηρήσεις οι αλλαγές γίνονται μέσα στο όρια στης πιθανότητας. Η παράσταση :

An(AnB)

σημαίνει να συμβεί το Α και (να συμβεί το Α και να συμβεί το Β). Οι παραστάσεις μπορούν να αλλάξουν και να γίνει :

(AnA)nB που σημαίνει (να συμβεί το Α και να συμβεί το Α) και να συμβεί και το Β . Προφανώς αυτό σημαίνει απλά να συμβεί το Α και να συμβεί και το Β, δηλαδή ΑnB , διότι το να συμβεί το Α και να συμβεί το Α είναι ισοδύναμο απλά με το να συμβεί το Α.

 

[Samael]

Είναι Α∩Β = {χ∈Ω: χ∈A και χ∈Β} εξ ορισμού.

Ενδεχομένως μια άλλη καλή και λιγότερο overkill προσέγγιση να ήταν η εξής μάλιστα, βάσει αυτού του ορισμού :

Εφόσον P(AnB) = 1 ,για κάθε x E Ω, ισχύει x E AnB. Δηλαδή x E A και x E B.
Έτσι λοιπόν Α = Β βάσει του ορισμού της ισότητας συνόλων . Για αυτό λοιπόν :

P(AnB) = 1 =>
P(AnA) = P(A) = 1
P(BnB) = P(B) = 1

Αυτό θα μπορούσε να το σκεφτεί κάποιος ως εξής. Εφόσον P(AnB) = 1 ,τα Α και Β δεν μπορούν να είναι ξένα.
Επίσης εαν κάποιο απο αυτά ήταν υποσύνολο του άλλου(χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε οποιοδήποτε απο τα δύο υποσύνολο του άλλου),τότε δεν θα ίσχυε P(AnB) = 1 ,καθώς θα μπορούσαμε να βρούμε ένα στοιχείο x του Ω που να μην άνηκε στο σύνολο που θα ήταν υποσύνολο του άλλου.

Άρα αναγκαία θα πρέπει Α = Β,και τα υπόλοιπα έπονται.

 

[bovid19]

Αν P(AnB)=1 νδο P(A)=P(B)=1. Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω την ιδιότητα της μετρησιμότητας και να πάρω δύο περιπτώσεις, η μια το α υποσύνολο του β και το αντίθετο. Όμως μπορεί τα υποσύνολα να είναι ξένα, και έχω μπερδευτεί λίγο.

Κάποια γνώμη;

Μια συνέπεια απ'τα αξιώματα του Kolmogorov είναι η μονοτονία του μέτρου πιθανότητας, δηλαδή αν τότε . Έχουμε οπότε . Όμως άρα . Και τελικά . Ομοίως και για το

Λύνοντας την προηγούμενη άσκηση για την οποία έθεσε απορία ο aggelosst9 μου προκλήθηκε η εξής απορία: Ισχύει πως P(A∩B) = 1 <=> A∩B = Ω;

Αρχικά, σκέφτομαι πως δε βγάζει νόημα το να υπάρχουν αποτελέσματα χ1 στο Ω για τα οποία P(x1) = 0. Για παράδειγμα στη ρίψη ενός ζαριού δε λέμε Ω = {0,1,2,e,3,π,4,5,6} αλλά λέμε Ω = {1,2,3,4,5,6}. Όμως σκέφτομαι παράλληλα και το πείραμα με Ω = [0,2] και P([διάστημα]) = μήκος διαστήματος / 2, για το οποίο P((0,2]) = 1. Οπότε όπως έχει δοθεί το Ω, υπάρχει Α = (0,2] με Α ≠ Ω και P(A)=P(Ω).

Όσοι ξέρετε καλές πιθανότητες δώστε τα φώτα σας για τον παραπάνω συλλογισμό.

Στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ισχύει ότι πιθανότητα 1 σημαίνει ότι το ενδεχόμενο είναι ο δειγματικός χώρος. Ουσιαστικά αρκεί να δείξεις ότι αν και τότε . Με άλλα μέτρα πιθανότητας δεν ισχύει υποχρεωτικά αυτό όπως εύστοχα έδειξες.

 

[aggelosst9]

Έστω ότι Ω={α,β}. 2^Ω={∅,{α},{β},Ω}. Να βρεθεί η Q:2^Ω----->R που ικανοποιεί τις ιδιότητες της θετικότητας και της τυποποίησης, αλλά όχι της προσθετικότητας.

Σκέφτηκα να περιγράψω μια οικογένεια κατανομών με παράμετρο q και να περιορίσω το q σε διάστημα τέτοιο που δεν βγαίνει η προσθετικότητα, αλλα δεν νομιζω πως προκύπτει κάτι. Καμιά ιδέα;