Καλησπερα αυτο ειναι το 1ο ποστ μου,οποτε εαν εχω κανει οποιοδηποτε λαθος στην κατηγορια που το εχω βαλει η κατι παρομοιο ζηταω συγγνωμη εκ των προτερων.Λοιπον ειδα οτι υπαρχει ενα editor που λεγεται LaTeX και μπορει καποιος να γραψει τα διαφορα απαιτουμενα συμβολα αλλα δεν καταλαβα πως γινεται να γραψει καποιος Ελληνικα ουτε καν πως λειτουργουν τα κενα,το προσπαθησα αλλα μου σπασε τα νευρα οποτε θα παραθεσω τις οποιες πληροφοριες με εναν πιο "απλοϊκό" τροπο,που ελπιζω να μην δημιουργησει θεματα σητν κατανοηση.
Λοιπον η ασκηση ελεγε το εξης :
"Δινεται συναρτηση f:R-->R παραγωγισιμη,τετοια ωστε να ισχυει : (f(x))^3 + f(x) = 2x για καθε x E R.
Να αποδειξετε οτι η f εχει συνολο τιμων το R".
Ψηλο-θυμομουν μια λυση που ειχα πετυχει παλια σε παρομοια ασκηση και πηγα να την αναπαραγω με αποτυχια οπως ηταν αναμενομενο αφου ποτε δεν ειχα καταλαβει το πως λειτουργουσε,η εαν θελετε δεν θα ηταν κατι που θα ερχοταν κατευθειαν στο μυαλο να εφαρμοστει.Πρεπει να πω οτι η λυση (που πρακτικα δεν θυμαμαι πληρως
) σε τετοιου ειδους ασκησεις που ειχα βρει ηταν κυριως με χρηση αλγεβρας,στη δικη μου γινεται συνδυασμος αλγεβρας και λογισμου κατι που την κανει πιο....χρονοβορα & δυσκολη ισως
...
Αφου λοιπον το πηρα αποφαση οτι οσο και να προσπαθω να αναπαραγω τη λυση αυτη δεν θα ειχε νοημα,αφου ηταν μια λογικη που δεν κατανοοω πληρως,αποφασισα να δοκιμασω μια δικη μου λυση :
Για να εχει συνολο τιμων το R η f,πρεπει η εξισωση f(x)=y ,για καθε y Ε R να εχει λυση ως προς καποιο x E |R.
Eστω οτι για καθε yo E R η f δεν εχει λυση ως προς καποιο χο Ε R.
Τοτε f(xo)=!yo για καθε χο Ε R.
(f(xo))^3=!yo^3(2)
f(xo)=!yo(3)
Με προσθεση κατα μελη των (2) και (3) αρα ειναι :
(f(xo))^3+f(xo) =! yo^3+yo (1)
Ομως (f(xo))^3+f(xo) = 2xo Αρα η (1) γινεται :
2χο =!yo^3+yo
yo^3+yo-2xo =! 0 για καθε χο και yo Ε R
Αυτο ομως ειναι ατοπο διοτι :
Εστω η συναρτηση h(x) = -2x+yo^3+yo,x E R και yo Ε R.
h'(x) = -2 Ειναι Ah = R και h'<0 για οποιοδηποτε yo Ε R και χο Ε R.
Αρα το συνολο τιμων της h(x) ειναι το : h(R) = ( lim(x-->+oo)(h(x)) , lim(x-->-oo)(h(x)) )
Αρα h(R) = (-oo,+oo)
Παρατηρουμε οτι το 0 Ε h(R)
Αρα η συναρτηση h(x) μηδενιζεται παντα για καποιο Χο E R.
Δηλαδη παντα υπαρχει καποιο χο Ε R ,για οποιοδηποτε yo E R,τετοιο ωστε :
0 = -2xo+yo^3+yo
Ένα μικρό update.Τελικα δουλεύοντας λίγο ακόμα τα παραπάνω κατέληξα ότι το χο = (yo^3+yo)/2
Άρα για χ=Χο η αρχική γίνεται :
(f(xo))^3+f(xo) =2*xo
(f(xo))^3+f(xo) = yo^3+yo(4)
Θέτουμε g(x) = x^3+x
Άρα g'(x)=3x^2+1 >0 άρα g γνησίως αύξουσα και επομένως 1-1.Η προηγούμενη σχέση (4) γίνεται :g(f(xo)) = g(yo)
Αφού g είναι 1-1 θα είναι
f(xo) = yo με yo Ε R.Αρα η f έχει σύνολο τιμών το R.
Το τελευταίο κομμάτι που έγραψα τώρα είναι ίδιο με την λύση που είχα βρει.Απλα εκείνη ξεκίναγε κατευθείαν με επιλογή xo= την τάδε παράσταση.
Ολα τα παραπάνω είναι απαραίτητα άρα η όχι?
πάντως εμένα με βοήθησαν(αφού μπόρεσα τελικά να αναπαράγω τη λύση
).
