Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w, με |z|=3 και |w|=1. Θεωρούμε επίσης τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: R->R για την οποία ισχύει:
zwf(0)=(z+w)(9w+z) και f²(x) (διάφορο του) 4 για κάθε xεR.
Να αποδείξετε ότι:
α) f(0) (μεγαλύτερο ή ίσον του) 4 , β) f(x)>2 για κάθε xεR,
γ) η εξίσωση e^x + f(x) = e^x f(x) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, η οποία ανήκει στο (0,1).
Απ'το βιβλίο ''Μαθηματικά Γ' Λυκείου, η επανάληψη'', Βασίλης Παπαδάκης, εκδ. Σαββάλας,2012
(α) Επειδή |z| διάφορο 0 και |w| διάφορο 0 τότε z διάφορο 0 και w διάφορο 0. Έχουμε:
zwf(0)=(z+w)(9w+z)=9zw+(z^2)+9(w^2)+zw=10zw+(z^2)+9(w^2) => f(0)=10+(z/w)+9(w/z)
Αν φ=Arg(z) και θ=Arg(w) τότε οι w και z γράφονται σε τριγωνομετρική μορφή ως εξής:
z=|z|(συνφ+iημφ)=3(συνφ+iημφ)
w=|w|(συνθ+iημθ)=συνθ+iημθ
Επομένως προκύπτει:
z/w=3[συν(φ-θ)+iημ(φ-θ)]
w/z=(1/3)[συν(θ-φ)+iημ(θ-φ)]=(1/3)[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]
Συνεπώς έχουμε:
f(0)=10+3(συνφ+iημφ)+9*(1/3)*[συν(φ-θ)-iημ(φ-θ)]=10+6συν(φ-θ)
Ισχύει -1<=συν(φ-θ)<=1 για κάθε 0<=φ<2π και 0<=θ<2π. Άρα
-6<=6συν(φ-θ)<=6 => 4<=10+6συν(φ-θ)<=16 => 4<=f(0)<=16 => f(0)>=4
(β) (f(x))^2 διάφορο 4 => [f(x)^2]-4 διάφορο 0 => (f(x)-2)(f(x)+2) διάφορο 0 => f(x) διάφορο 2 και f(x) διάφορο -2 για κάθε x ανήκει R
Είναι f(0)>=4>2
Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα τότε για x>0 προκύπτει f(x)>f(0)>=4 => f(x)>4>2 για κάθε x ανήκει (0,+οο)
Αν υπήρχε ρ<0 με f(ρ)<2 τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [ρ,0] θα υπάρχει ξ ανήκει (ρ,0) ώστε f(ξ)=2 καθώς η f παίρνει κάθε τιμή μεταξύ f(ρ) και f(0) στο (ρ,0) (f(ρ)<2<f(0)). Αυτό όμως είναι άτοπο καθώς f(x) διάφορο 2 για κάθε x ανήκει R. Άρα f(x)>2 για κάθε x>0.
Συνεπώς f(x)>2 για κάθε x ανήκει R
(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση F(x)=((e^x)-1)f(x)-(e^x), x ανήκει R. Έχουμε
F(0)=-1<0
F(1)=(e-1)f(1)-e
Επειδή 1>0 και f γνησίως αύξουσα τότε f(1)>f(0) => f(1)>4
Είναι e>2 => e-1>1>0, e>2 => 3e>6 => 3e-4>2>0
Άρα f(1)>4 => (e-1)f(1)>4(e-1) => (e-1)f(1)-e>4e-4-e => F(1)>3e-4 => F(1)>0
Είναι F(0)<0 και F(1)>0, οπότε F(0)F(1)<0. Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε και η F είναι συνεχής στο R.
Η F είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει F(0)F(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 τέτοιο ώστε
F(x0)=0 => ((e^x0)-1)f(x0)-(e^x0)=0 => (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)
Η εξίσωση (e^x)+f(x)=(e^x)f(x) γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
(e^x)+f(x)=(e^x)f(x) <=> ((e^x)-1)f(x)=e^x
Η εξίσωση δεν επαληθεύεται για x=0, άρα το x=0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Συνεπώς για x ανήκει R* η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
f(x)=(e^x)/((e^x)-1)
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(e^x)/((e^x)-1)=[(e^x)-1+1]/[(e^x)-1]=1+1/[(e^x)-1], x ανήκει R*. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο g΄(x)=-(e^x)/[((e^x)-1)^2]<0 για κάθε x ανήκει R*.
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0). Επομένως για κάθε x1, x2 με x1<x2<0 ισχύει g(x1)>g(x2).
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επομένως για κάθε x1, x2 με 0<x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2).
Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε lim(x->-oo)g(x)=0
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo τότε lim(x->+oo)g(x)=1
Επειδή lim(x->0)((e^x)-1)=0 τότε lim(x->0-)[1/((e^x)-1)]=-oo και lim(x->0+)[1/((e^x)-1)]=+oo
Άρα lim(x->0-)g(x)=-oo και lim(x->0+)g(x)=+oo
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0), οπότε g((-oo,0))=(lim(x->0-)g(x),lim(x->-oo)g(x))=(-oo,0)
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,+oo), οπότε g((0,+oo))=(lim(x->+oo)g(x),lim(x->0+)g(x))=(1,+oo)
Συνεπώς για x1<0<x2 είναι g(x1)<0<1<g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (-οο,0), (0,+οο) αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο R*.
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=g(x)-f(x), x ανήκει R*
Για x<0 είναι g(x)<0 => g(x)-f(x)<-f(x) => h(x)<-f(x)<-2<0 επειδή f(x)>2. Άρα h(x)<0 => h(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει (-οο,0)
Για 0<x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2) => -f(x1)>-f(x2) και g(x1)>g(x2). Επομένως g(x1)-f(x1)>g(x2)-f(x2) => h(x1)>h(x2)
Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο). Επειδή F(x0)=0, όπου 0<x0<1 τότε h(x0)=0 και επειδή η h είναι γνησίως μονότονη στο (0,+οο) τότε το x0 είναι μοναδικό.
Άρα υπάρχει μοναδικό x0 ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε (e^x0)+f(x0)=(e^x0)f(x0)
