Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 11 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
[*]Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\lim_{x\rightarrow 2}(f(x)+3f(4-x))=4$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ .
[/LIST][/FONT][/SIZE]

Θέτουμε u=4-x <=> x=4-u. Έχουμε:
lim(x->2)(4-x)=4-2=2

Επομένως

lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]=lim(u->2)[f(4-u)+3f(u)]. Επομένως lim(u->2)[f(4-u)+3f(u)]=2. Το όριο αυτό γράφεται ισοδύναμα lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=2.

Έχουμε

lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=4 <=> (-3)lim(x->2)[f(4-x)+3f(x)]=(-3)*4 <=> lim(x->2){(-3)*[f(4-x)+3f(x)]}=-12 <=> lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=-12

Έχουμε τα εξής όρια:

lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]=4
lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=-12

Προσθέτουμε κατά μέλη τα ανωτέρω όρια:

lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)]+lim(x->2)[-3f(4-x)-9f(x)]=4-12
lim(x->2)[f(x)+3f(4-x)-3f(4-x)-9f(x)]=-8
lim(x->2)(- 8 f(x))=-8
(-1/8 )*lim(x->2)(-8f(x))=(-1/8 )*( -8 )
lim(x->2)[(-1/8 )*( -8f(x))]=1
lim(x->2)f(x)=1

Επομένως lim(x->2)f(x)=1

rebel · 11 Νοεμβρίου 2012

1)
Για χ κοντά στο 0 είναι:
$g(x)=\frac{\eta \mu ^2 x}{x^2}+\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}f(x)=\frac{\eta \mu ^2 x}{x^2}+x\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}\frac{f(x)-1}{x}+\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}$
κι επειδή $\lim_{x\to 0} \frac{\eta \mu x}{x}=1$ έχουμε
$\lim_{x\to 0}g(x)=1+0\cdot 1 \cdot 2 +1=2$

Επεξεργασία:
Ουπς τώρα το είδα, είναι $\lim_{x \to 2}$ $\frac{f(x)-1}{x}=2$ και όχι $\lim_{x \to 0}$ $\frac{f(x)-1}{x}=2$ ε; Μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό οπότε αφήνω την λύση όπως είναι.

JKaradakov · 11-11-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1)
Για χ κοντά στο 0 είναι:
$g(x)=\frac{\eta \mu ^2 x}{x^2}+\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}f(x)=\frac{\eta \mu ^2 x}{x^2}+x\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}\frac{f(x)-1}{x}+\frac{\eta \mu ^4 x}{x^4}$
κι επειδή $\lim_{x\to 0} \frac{\eta \mu x}{x}=1$ έχουμε
$\lim_{x\to 0}g(x)=1+0\cdot 1 \cdot 2 +1=2$

Επεξεργασία:
Ουπς τώρα το είδα, είναι $\lim_{x \to 2}$ $\frac{f(x)-1}{x}=2$ και όχι $\lim_{x \to 0}$ $\frac{f(x)-1}{x}=2$ ε; Μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό οπότε αφήνω την λύση όπως είναι.

Ναι τυπογραφικό απο μεριάς μου είναι. :redface:

Σόρρυ! Ευχαριστώ για την λύση.

Civilara · 12 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
[*]Έστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $f^3(x)+f(x)+2=x$ , για κάθε $x\in R$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$ [/LIST][/FONT][/SIZE]

Μια διαφορετική λύση πιο πολύπλοκη από εκείνη του Κώστα.

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(x^3)+x+2, x ανήκει R
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο g΄(x)=3(x^2)+1>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς 1-1, άρα και αντιστρέψιμη.

Επίσης έχουμε lim(x->-άπειρο)g(x)=-άπειρο και lim(x->+άπειρο)g(x)=+άπειρο. Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R έχουμε g(R)=(-άπειρο,+άπειρο)=R. Επομένως το πεδίο τιμών της g είναι το R. Ισχύει η ισοδυναμία:

y=g(x) <=> x=(g-1)(y) όπου x ανήκει R και y ανήκει g(R)=R

Έχουμε:
g(0)=2 <=> (g-1)(2)=0

Επειδή η g είναι συνεχής στο R τότε και η αντίστροφή της g-1 είναι συνεχής στο g(R)=R (αφήνεται ως άσκηση η απόδειξη αυτής της πρότασης)

Η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή g(f(x))=x. Επομένως έχουμε ισοδύναμα:

g(f(x))=x <=> f(x)=(g-1)(x) όπου x ανήκει R

Θεωρούμε την αντικατάσταση που αναφέρθηκε παραπάνω y=g(x) οπότε x=(g-1)(y)
Έχουμε

lim(x->2)f(x)=lim(x->2)(g-1)(x)=(g-1)(2)=0 αφού η g-1 είναι συνεχής συνάρτηση στο g(R)=R οπότε είναι συνεχής και στο g(0)=2.

Άρα lim(x->2)f(x)=0

mary-blackrose · 12-11-12

δινεται συναρτηση f:R -->R για την οποια ισχυει e^(f(x)) + f(x) = x+1. N δ ο f γνησιως αυξουσα.Καμια ιδεα γ αυτη :hmm:

????

antwwwnis · 12 Νοεμβρίου 2012

f(x1)=f(x2)
e^(f(x1))=e^(f(x2))
(+) κατα μελη και λογω της δοθεισας
χ1+1=χ2+1
χ1=χ2
αρα f αντιστρέψιμη
εναλλάσοντας μεταβλητές στη δοθείσα
e^x+x=y+1
y=e^x+x-1
η y ειναι γνησίως αύξουσα(y'=e^x+1>0)
αρα και η αντιστροφη αυτης f(x) ειναι γνησιως αυξουσα.
Μεσω Λαμίας το πήγα, αλλά βγαίνει.

Giannis721 · 12-11-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
δινεται συναρτηση f:R -->R για την οποια ισχυει e^(f(x)) + f(x) = x+1. N δ ο f γνησιως αυξουσα.Καμια ιδεα γ αυτη????

Θα το αποδείξουμε με "άτοπο"
Έστω ότι δεν είναι γν.αύξουσα. Τότε για $x_1 < x_2 , x_1,x_2\epsilon R \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_1)$
όμως για $f(x_1) \geq f(x_1) (1) \Leftrightarrow e^{f(x_1)} \geq e^{f(x_2)} (2)|||(1) + (2) \Rightarrow x_1\geq x_2(\alpha \tau o \pi o)$
Άρα τελικά f γν.αυξουσα

antonisd95 · 12-11-12

Τα πράγματα είναι απλά.
Θέτω g(x)=e^x + x με XeR . Εύκολα αποδεικνύεται ότι g(x) -> γνησίως αύξουσα στο R
Έχουμε g(f(x))=x+1 , όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι gof είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ΑΡΑ:

για κάθε χ1,χ2 eR με χ1<χ2 -> (gof)(x1)<(gof)(x2) , αλλά g:αύξουσα ........-> f(x1)<f(x2) άρα F: γν. αύξουσα.

antwwwnis · 12-11-12

Μαρία, ελπίζω να μην έχεις παράπονο μετά από 3 λύσεις!

antonisd95 · 12-11-12

Αντώνη, αν και μου άρεσε ιδιαίτερα η λύση σου, νομίζω πως πρέπει ακόμα να αποδείξεις ότι η F^-1 και η f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας. :hmm:

Giannis721 · 12-11-12

Αρχική Δημοσίευση από antonisd95:
Αντώνη, αν και μου άρεσε ιδιαίτερα η λύση σου, νομίζω πως πρέπει ακόμα να αποδείξεις ότι η F^-1 και η f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

Ε είναι κλασσική η απόδειξη γι'αυτό δεν την παρέθεσε..

Civilara · 12-11-12

Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)<f(x2)

Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)>f(x2) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1<x2

Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)>f(x2)

Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)<f(x2) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1<x2

Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως αύξουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:

x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή

(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1<y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1<y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1<y2 ισχύει η συνεπαγωγή:

y1<y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως φθίνουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)

Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:

x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)

Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή

(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1>y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1>y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1>y2 ισχύει η συνεπαγωγή:

y1>y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)

mary-blackrose · 12-11-12

σας ευχαριστω πολυ ολους!πραγματικα με καλυψατε πληρως με τις απαντησεις σας!!Και παλι χιλια ευχαριστω!!;-)

φρι · 12-11-12

Αν η f είναι παραγωγισιμη σε ένα χο τότε είναι και συνεχής σε αυτο. Το αντιστροφο ισχυει?

rebel · 12-11-12

Όχι, νομίζω τέτοιο παράδειγμα έχει και το σχολικό βιβλίο με την συνάρτηση $f(x)=|x|$ η οποία είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό.

φρι · 12-11-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Όχι, νομίζω τέτοιο παράδειγμα έχει και το σχολικό βιβλίο με την συνάρτηση $f(x)=|x|$ η οποία είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό.

σε ευχαριστω πολυ

Giannis721 · 12-11-12

Αρχική Δημοσίευση από bueno:
Αν η f είναι παραγωγισιμη σε ένα χο τότε είναι και συνεχής σε αυτο. Το αντιστροφο ισχυει?

Όχι. Δεν ισχύει το αντίστροφο κανενός θεωρήματος. Για να σε πείσω στην προκειμένη περίπτωση: Μπορεί να είναι συνεχής η συνάρτηση σε ένα γωνιακό σημείο αλλά προφανώς εκεί δεν επιδέχεται εφαπτομένη. Σκέψου την συνάρτηση με τύπο $f(x)=|x|$ στο σημείο (0,0)

φρι · 13-11-12

Eυχαριστώ

t00nS · 13-11-12

Εστω Μ1,Μ2 οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης z^2-z+λ=0,λεR στο μιγαδικό επίπεδο.Αν η Μ η εικόνα του μιγαδικού w=1-i,να βρείτε το λ,ώστε (ΜΜ1)(ΜΜ2)=ρίζα3
Αυτή αν γίνετε

antonisd95 · 13 Νοεμβρίου 2012

Χρησιμοποίησε τους τύπους του vieta (μπορείς να το κάνεις επειδή οι συντελεστές είναι πραγματικοί)
έστω ότι οι ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο C , έστω οι λύσεις z1=x+,-yi με x,y ε R τότε:
(z1' = z1 συζυγής)
VIETA ---> S=(-B)/A=1 ------> z1+z1'= 1 ------> RE(Z1) = 1/2
P=Γ/Α=λ ------> Z1*Z1' = λ ......

με πράξεις συνεχίζεις και βρίσκεις τον z1 συναρτήση του λ, μετά πηγαίνεις στην σχέση που σου δίνει και κάνεις πράξεις.(αν δεν έκανα κάπου λάθος, νομίζω έχεις 2 περιπτώσεις και βγάζεις 2 πιθανές τιμές του λ)

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος