Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

[rebel]

Θα συμφωνήσω κι εγώ ότι το ερώτημα δεν απαντάται μονοσήμαντα αφού η συνθήκη ρ<δ<R δεν μας δίνει καμιά πληροφορία ως προς την σχέση μεταξύ δ και R-ρ. Για παράδειγμα

​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ξαροπ]

Ίσως είναι λίγο αργά, αλλά δίνω το 4ο θεματάκι που έπεσε στις εξετάσεις φέτος στη Γεωμετρία, για όποιον θέλει να ασχοληθεί.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι

(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ

Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.

Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[akis95]

Δυστυχώς εγω απο το τελικό διαγώνισμα θυμάμαι μόνο το 3ο θέμα.Ας το βάλω.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3α . Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία
Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ = ΖΔ =α . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο
Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: ΑΛ ⊥ ΕΖ
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Ίσως είναι λίγο αργά, αλλά δίνω το 4ο θεματάκι που έπεσε στις εξετάσεις φέτος στη Γεωμετρία, για όποιον θέλει να ασχοληθεί.

Spoiler

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α. Έστω ΑΚ (Κ ανήκει στη ΒΓ) ύψος και ΓΜ διάμεσος (Μ ανήκει στην ΑΒ) του τριγώνου, κι έστω Σ το σημείο τομής τους. Αν ΑΕ κάθετη προς τη ΓΜ (Ε ανήκει στη ΒΓ), να αποδείξετε ότι

(ii) ΑΣ = BE
(ii) 3ΒΕ = ΒΓ

Να σημειώσω επίσης ότι υπήρχε και ένα (i) ερώτημα, που ζητούσε την απόδειξη ισότητας δυο συγκεκριμένων γωνιών, αλλά δεν θυμάμαι ποιών (έτσι κι αλλιώς προέκυπτε άμεσα από το θεώρημα που υποστηρίζει ότι αν δυο γωνίες έχουν κάθετες τις πλευρές τους, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές, επομένως δεν χάσατε και τίποτα). Η απάντηση του (i) μάλλον διευκόλυνε την απάντηση του (ii) αλλά έτσι ήδη έδωσα ένα hint.

Να σημειώσω επίσης ότι όταν έγραφα, δεν μου πέρασε καν από το μυαλό να λύσω το (ii) όπως το έλυσαν οι περισσότεροι, σε δυο γραμμές και απλά. Κατάφερα να βρω μια λύση λίγο ό,τι-να-'ναι, αλλά με άρεσε. Θα την ανεβάσω αργότερα, αν χρειαστεί.

Με την έγκριση του θεματοθέτη βάζω την λύση μου.

ii) Στο το είναι ύψος και διάμεσος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Αυτό σημαίνει ότι . Επίσης αφού είναι γωνίες με πλευρές κάθετες.
Από (1),(2) έπεται ότι . Ακόμη αφού η στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι η διάμεσος που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας.
Aπό (3),(4) έπεται ότι τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα
.

iii) αφού το Σ είναι το βαρύκεντρο του

​

Υ.Γ.: ξαροπ ωραία λύση

Δυστυχώς εγω απο το τελικό διαγώνισμα θυμάμαι μόνο το 3ο θέμα.Ας το βάλω.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3α . Πάνω στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ λαμβάνουμε σημεία
Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ = ΖΔ =α . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο
Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμνει την ευθεία ΕΖ στο σημείο Λ, τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: ΑΛ ⊥ ΕΖ
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συναρτήσει του α .

Δες εδώ σελίδα 6(Αλήθεια αν σας έβαλε 3ο θέμα απο Ευκλείδη, το 4ο από που το έβαλε; Από IMO; )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[akis95]

Ωχ τον απατεώνα.
Πάντως το τελευταίο θέμα ηταν πιο δύσκολο θα το βάλω σε λιγο γιατί τώρα βαριέμαι ίσα ίσα τελείωσα τα θέματα στο δίωρο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[anta1996]

Λοιπον δινονται ν ευθειες (οι οποιες τεμνονται ανα 2 και ανα 3 δεν διερχονται απο το ιδιο σημειο... Να βρεθει το πληθος των σημειων τομης που οριζουν αυτες( ευκλειδια γεωμετρια) καλη επιτυχια

ας απαντησει καποιος που τελειωσε την α λυκειου....

αν γινεται καποια πιθανη λυση το συντομοτερο δυνατο....

sos

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

δινονται ν ευθειες (οι οποιες τεμνονται ανα 2 και ανα 3 δεν διερχονται απο το ιδιο σημειο... Να βρεθει το πληθος των σημειων τομης που οριζουν αυτες

Κάθε ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες σε (ν-1) σημεία, άρα έτσι θα είχαμε ν(ν-1) σημεία. Όμως, έτσι κάθε σημείο το έχουμε πάρει 2 φορές. Άρα τα σημεία είναι: ½ν(ν-1) .
Εντελώς ίδιο είναι το πρόβλημα: "Πόσες χειραψίες θα κάνουν αν συναντηθούν ν άνθρωποι?".

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[anta1996]

Κάθε ευθεία τέμνει τις υπόλοιπες σε (ν-1) σημεία, άρα έτσι θα είχαμε ν(ν-1) σημεία. Όμως, έτσι κάθε σημείο το έχουμε πάρει 2 φορές. Άρα τα σημεία είναι: ½ν(ν-1) .
Εντελώς ίδιο είναι το πρόβλημα: "Πόσες χειραψίες θα κάνουν αν συναντηθούν ν άνθρωποι?".

χιλια ευχαριστωωωω!!! τελικα κοντα επεσα!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Giasmin...]

Χρειαζομαι τις ιδιοτητες των ισοσκελων τριγωνων...Μπορει να βοηθησει κανεις...?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vimaproto]

Χρειαζομαι τις ιδιοτητες των ισοσκελων τριγωνων...Μπορει να βοηθησει κανεις...?

εχουν 1)δύο πλευρές ίσες, 2) δύο γωνίες ίσες 3) Η διχοτόμος της τρίτης γωνίας είναι διάμεσος και ύψος 4)Οι διχοτόμοι των ίσων γωνιών είναι ίσοι 5) τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα 6) οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσες

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[qwerty111]

Όλα τα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε έναν κύκλο δεν έχουν το ίδιο περίκεντρο που είναι το κέντρο του κύκλου;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vimaproto]

Όλα τα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε έναν κύκλο δεν έχουν το ίδιο περίκεντρο που είναι το κέντρο του κύκλου;

Ασφαλώς. Απέχει από τις κορυφές ίσο με R

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Αγγελική!!!]

Καμιά ιδέα για αυτήν την άσκηση?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[rebel]

Εδώ . Αν δεν προλαβαίνεις διάβασε μόνο την λύση του Ionis. Απλά ΣΕΒΑΣΜΟΣ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Αγγελική!!!]

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια
Πραγματικά πολύ έξυπνη η λύση αυτή!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[MyrtoG]

Αν Δ και Ε ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ κ' ΑΓ τριγωνου ΑΒΓ και Ζ τυχαιο σημειο της ΒΓ , να αποδει3ετε οτι η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.
Μπορει να με βοηθησει κανεις ??

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[sydney96]

Αφού κάνεις το σχήμα ενώνεις το Δ με το Ε και λες ότι αφού Δ μέσο ΑΒ και Ε μέσο ΑΓ τότε ΔΕ//=ΒΓ/2.
Στο τριγωνάκι ΑΒΖ το Δ είναι το μέσο της ΑΒ, η ΔΜ είναι παράλληλη στη ΒΖ(Μ σημείο που τέμνει η ΔΕ την ΑΖ),άρα Μ μέσο ΑΖ και ΜΒ//=ΒΖ/2.
Και αφού Μ μέσο της ΑΖ,η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Ricky]

Αν Δ και Ε ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ κ' ΑΓ τριγωνου ΑΒΓ και Ζ τυχαιο σημειο της ΒΓ , να αποδει3ετε οτι η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.
Μπορει να με βοηθησει κανεις ??

μηπως εννοεις η ΔΕ να περνα απο το μεσο της ΑΖ;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Dias]

... η ΔΕ διχοτομει την ΑΖ.

μηπως εννοεις η ΔΕ να περνα απο το μεσο της ΑΖ;

Δεν είναι ακριβώς το ίδιο?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[MyrtoG]

,άρα Μ μέσο ΑΖ και ΜΒ//=ΒΖ/2.
Και αφού Μ μέσο της ΑΖ,η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά.

γιατι ΜΒ//=ΒΖ/2 ?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.