Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 9 Μαρτίου 2012 στις 22:41

Αρχική Δημοσίευση από Αποστολος.γρ:
δεν μου βγαινει με τιποτα...εχει κανεις καμια ιδεα;;; μηπως εκανες κατι λαθος οταν την εγραφες;;;

Μια χαρα ειναι και βγαζει και 9 στο αποτελεσμα γραφω λυση σε λιγο

vimaproto · 9 Μαρτίου 2012 στις 22:42

Περίμενα και άλλους, αλλά....

Tάσο άργησες. νόμιζα ότι ήταν δύσκολη. Σε αδικώ
Γιαυτό πάρτε άλλες τρεις
1) Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και
α³+αμ+ν=0
β³+βμ+ν=0
γ³+γμ+ν=0
να δειχτεί ότι α+β+γ=0
2)Να δειχτεί ότι ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\geq \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$
3) Αν α+β+γ=0 τότε $\right){\left({\alpha }^{2} +{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\right)}^{2}=2\left({\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4} \right)$

Guest 018946 · 9 Μαρτίου 2012 στις 23:21

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
τάσο άργησες. νόμιζα ότι ήταν δύσκολη. Σε αδικώ
Γιαυτό πάρτε άλλες τρεις
1) Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και
α³+αμ+ν=0
β³+βμ+ν=0
γ³+γμ+ν=0
να δειχτεί ότι α+β+γ=0
2)Να δειχτεί ότι ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\geq \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$
3) Αν α+β+γ=0 τότε $\right){\left({\alpha }^{2} +{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\right)}^{2}=2\left({\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4} \right)$

1) θα πω $a^3-b^3+am-bm=0 \Leftrightarrow (a-b)(a^2+b^2+ab+m)=0 \Leftrightarrow a^2+b^2+ab+m=0 \quad (1)$

$b^3+bm-c^3-cm=0 \Leftrightarrow (b-c)(b^2+bc+b^2+m)=0 \Leftrightarrow (b^2+bc+b^2+m)=0 \quad (2)$

$a^3-c^3+am-cm=0 \Leftrightarrow a^2+c^2+ac+m=0 \quad (3)$

Εξισωνω την (1) και την (2) και εχω $(b-c)(c+b)+a(b-c)=0 \Leftrightarrow (b-c)(a+b+c)=0 \Leftrightarrow a+b+c=0$
Αυτο με μπορω να το κανω και για τις (1) και (3) και για τις (2) και (3) παιρνοντας το ιδιο αποτελεσμα.

2) $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0$ που ισχυει με το $=$ να πιανεται για $a=b=c$

3) Την δοσμενη την μετασχηματιζω στην $[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]^2=2(a^4+b^4+c^4) \Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)^2=2(a^2+b^4+c^4) \Leftrightarrow 2(ab+ca+bc)^2=a^4+b^4+c^4 \Leftrightarrow 2(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2+2abc(a+b+c))=a^4+b^4+c^4 \Leftrightarrow 2(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2)=(a^2+c^2+b^2)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2) \Leftrightarrow 4(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2)=(a^2+b^2+c^2)^2 \Leftrightarrow 4(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=[(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)]^2 \Leftrightarrow 4(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=4(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)+8(abc)(a+b+c) \Leftrightarrow 4(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=4(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2) \Leftrightarrow 0=0$

vimaproto · 9 Μαρτίου 2012 στις 23:37

Την 3) δεν μπόρεσα να την παρακολουθήσω. Δεν την απορρίπτω αλλά δεν είναι λύση από "έξυπνους τεμπέληδες".

Guest 018946 · 10 Μαρτίου 2012 στις 00:06

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Την 3) δεν μπόρεσα να την παρακολουθήσω. Δεν την απορρίπτω αλλά δεν είναι λύση από "έξυπνους τεμπέληδες".

Εκανα καμια 5-6 ( και λιγες λεω ) χρηση της ταυτοτητας $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
3) Αν α+β+γ=0 τότε $\right){\left({\alpha }^{2} +{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\right)}^{2}=2\left({\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4} \right)$

Λοιπον και μια αλλη λυση που σκεφτηκα ειναι
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=2(a^4+c^4+b^4) \Leftrightarrow 2(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=a^4+b^4+c^4$
εδω με αντικατασταση $-c=-a-b$ Θα παει $2a^2(a+b)^2+2b^2(a+b)^2+2a^b^2=a^4+b^4+(a+b)^4 \Leftrightarrow 2a^4+2a^2b^2+2a^3b+2b^3a+2b^4+2a^2b^2=a^4+b^4+(a+b)^4 \Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2b^2+2a^3b+2b^3a=(a+b)^4 \Leftrightarrow (a^2+b^2+2ab)^2 = (a+b)^4 \Leftrightarrow [(a+b)^2]^2=(a+b)^4$ που ισχυει.

rebel · 10 Μαρτίου 2012 στις 03:17

Ότι πιο τεμπέλικο μπόρεσα να βρω:

$a+b+c=0 \Rightarrow \\ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0 \Rightarrow \\ a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca) \Rightarrow \\ a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)=4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+8(a^2bc+ab^2c+abc^2) \Rightarrow \\ a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)=4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)+8abc(a+b+c) \stackrel{a+b+c=0}{\Rightarrow} \\ 2(a^4+b^4+c^4)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2$

vimaproto · 10 Μαρτίου 2012 στις 21:46

Τάσο υιοθετώ τη λύση του Κώστα

akis95 · 11 Μαρτίου 2012 στις 18:15

Να βρεθούν οι αριθμοί

, αν ισχύει ότι :

rebel · 11 Μαρτίου 2012 στις 19:27

1) Για τους θετικούς αριθμούς $a,b$ δείξτε ότι $\sqrt[3]{a}^2+\sqrt[3]{b}^2>\sqrt[3]{a+b}^2$

2) Nα απλοποιήσετε την παράσταση $A=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

Guest 018946 · 11 Μαρτίου 2012 στις 19:54

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1) Για τους θετικούς αριθμούς $a,b$ δείξτε ότι $\sqrt[3]{a}^2+\sqrt[3]{b}^2>\sqrt[3]{a+b}^2$

2) Nα απλοποιήσετε την παράσταση $A=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

1) Υψωνω στην τριτη και παίρνω $a^2+b^2+3\sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}) > a^2+b^2+2ab \Leftrightarrow 3a \sqrt[3]{ab^2}+3b \sqrt[3]{ab^2}>2ab$ Εδω θετω $x^3=a \wedge y^3=b$ Τωρα ευκολα θα γινει η σχεση μου
$3x^4y^2+3y^4x^2>2x^3y^3 \Leftrightarrow x^2y^2(3x^2+3y^2)>2x^3y^3$ Διαιρω με $x^2y^2$ αφου οι $a,b > 0$ και θα πάρω $3x^2+3y^2>2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+2(y^2+x^2) >0 \Leftrightarrow (x-y)^2+2(y^2+x^2) >0$ που ισχυει ως αθροισμα μη αρνητικου και θετικου .

2) Υψωνω και εδω στην τριτη και θα πάρω $A^3=\sqrt{5}-\sqrt{5}+4-\sqrt[3]{5-4}(A)$ το τελευταιο $A$ προηλθε απο το θεσιμο ολης της παραστασης ισο με $A$ δηλαδη θα ήταν $A^3=\sqrt{5}-\sqrt{5}+4-\sqrt[3]{5-4}[\sqrt[3]{\sqrt{5}+2})-(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})] \Leftrightarrow A^3+3A-4=0$ εδω βλέπω προφανη λυση το $1$ και ψιλιαζομαι την παραγοντοποιηση $A^3+3A-1-3 =0\Leftrightarrow (A-1)(A^2+A+1+3)=0 \Leftrightarrow A=1$ η δευτερη παρενθεση ειναι παντα θετικη αρα δεν εχει ριζες .

Άσχετο αλλα Vimaproto τι έχεις σπουδάσει ;

MANOLIS_X3!!! · 11 Μαρτίου 2012 στις 23:51

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Περίμενα και άλλους, αλλά....

Tάσο άργησες. νόμιζα ότι ήταν δύσκολη. Σε αδικώ
Γιαυτό πάρτε άλλες τρεις
1) Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και
α³+αμ+ν=0
β³+βμ+ν=0
γ³+γμ+ν=0
να δειχτεί ότι α+β+γ=0
2)Να δειχτεί ότι ${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\geq \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$
3) Αν α+β+γ=0 τότε $\right){\left({\alpha }^{2} +{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}\right)}^{2}=2\left({\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4} \right)$

αλλη μια λυση ετσι ναχουμε για (3): (α^2 +β^2 +γ^2)^2 =[(α+β+γ)^2 -2(αβ+βγ+γα)]^2=4(αβ+βγ+γα)^2
ΑΡΑ ΑΡΚΕΙ ν.δ.ο. 4(αβ+βγ+γα)^2=2(α^4 +β^4 +γ^4) =>2[ α^2 β^2 +β^2 γ^2 +γ^2 α^2 +2αβγ(α+β+γ)]=α^4 +β^4 +γ^4=>
α^4 +β^4 +γ^4 -2( α^2 β^2 +β^2 γ^2 +γ^2 α^2)=0=>με ανισοτητα de moivre
(α+β+γ)(α–β+γ)(α+β–γ)(α–β–γ)=0 επειδή α+β+γ=0 ειναι 0=0.αρα αποδειχτηκε.

αν αβγ=1 νδο: α/(αβ+α+1) + β/(βγ+β+1) + γ/(γα+γ+1)=1 (εννοειται οι παρονομαστες διαφοροι του 0)

ρε παιδια πωσ μπαινουν τα LATEX?

rebel · 12 Μαρτίου 2012 στις 02:16

H συγκεκριμένη έχει ξανασυζητηθεί εδώ

MANOLIS_X3!!! · 12 Μαρτίου 2012 στις 13:28

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
H συγκεκριμένη έχει ξανασυζητηθεί εδώ

sorry φιλε δεν την ειχα δει.

Guest 018946 · 12 Μαρτίου 2012 στις 13:30

Αρχική Δημοσίευση από MANOLIS_X3!!!:
sorry φιλε δεν την ειχα δει.

Για τα λατεξ τωρα βαζεις $εδω γραφεις το κειμενο σου με λατινικους χαρακτηρες παντα και οταν τελειωνεις τις μαθηματικες παραστασεις βαζεις αυτο [./latex] χωρις την τελεια .$

MANOLIS_X3!!! · 12 Μαρτίου 2012 στις 13:46

να υπολογισεται το:

Guest 018946 · 12 Μαρτίου 2012 στις 16:44

Αρχική Δημοσίευση από MANOLIS_X3!!!:
να υπολογισεται το:

$A=\sqrt{4444444444-88888} \Leftrightarrow A=2\sqrt{1111111111-22222} \Leftrightarrow A=2\sqrt{1111100000+11111-22222} \Leftrightarrow A=2\sqrt{1111100000-11111}$ Εδω θα θέσω $x=11111$ και θα πάει

$A=2\sqrt{10^5 x-x} \Leftrightarrow A=2\sqrt{99999x} \Leftrightarrow A=6\sqrt{11111x} \Leftrightarrow A=6\sqrt{11111^2} \Leftrightarrow A=6 \cdot 11111=66666$

vimaproto · 12 Μαρτίου 2012 στις 20:54

Παρόμοια με την 2) του #700 για εμπέδωση Μπήκε εισαγωγικές στη Σχολή Αεροπορίας (ΣΜΑ) το 1935
Να δειχτεί ότι $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=6$

Για έξυπνους τεμπέληδες. Να βρεθεί το αποτέλεσμα του πολ/σμού
(χ-α)(χ-β)(χ-γ)(χ-δ).......(χ-κ)(χ-λ).........(χ-φ)(χ-ψ)(χ-ω)=

Guest 018946 · 12 Μαρτίου 2012 στις 21:37

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Παρόμοια με την 2) του #700 για εμπέδωση Μπήκε εισαγωγικές στη Σχολή Αεροπορίας (ΣΜΑ) το 1935
Να δειχτεί ότι $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=6$

Για έξυπνους τεμπέληδες. Να βρεθεί το αποτέλεσμα του πολ/σμού
(χ-α)(χ-β)(χ-γ)(χ-δ).......(χ-κ)(χ-λ).........(χ-φ)(χ-ψ)(χ-ω)=

1) Θα καταληξω απο το αριστερο μελος στο δεξι αρα θα θέσω $A=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}} \Leftrightarrow A^3=90+3\sqrt[3]{343}A$ εδω με αρκετες δοκιμες ειδα οτι ειναι $7^3=343$ αρα θα παει

$A^3=90+21A \Leftrightarrow A^3-21A-90=0 \Leftrightarrow A^3-21A-216+126=0 \Leftrightarrow (A-6)(A^2+6A+36)-21(A-6)=0 \Leftrightarrow (A-6)(A^2+6A+15)=0 \Leftrightarrow A=6$ και το ζητουμενο εχει αποδειχθει.

2) Την συγκεκριμενη μας την ειχε δωσει ο Κωστας σε ενα κουιζ που παιζαμε στο τσατ και απο τι θυμαμαι δεν την ειχε λυσει κανεις γιαυτο θα δωσω λυση σε σποιλερ :

Σε καποια φαση θα ερθει και το (χ-χ)=0 αρα θα μηδενισει ολο

vimaproto · 12 Μαρτίου 2012 στις 22:13

Μπράβο. Ετσι είναι

MANOLIS_X3!!! · 13 Μαρτίου 2012 στις 00:35

αν αβγ>0 νδο: $\frac{{\alpha }^{3}}{\beta }+\frac{{\beta }^{3}}{\gamma }+\frac{{\gamma }^{3}}{\alpha }\geq {\alpha }^{2}+{\beta }^{2}+{\gamma }^{2}$

Ελπιζω να μη την εχετε ξαναβαλει.

εννοω α,β,γ>0

αν σημερα στισ 12 τα μεσανυχτα βρεχει ποια ειναι η πιθανοτητα μετα απο 72 ωρεσ να εχει λιακαδα??

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος