Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

SonnY · 2012-02-23T22:51:25+0200

Αν η εξίσωη $(1/4) \chi ^2 + (\beta -9)\chi - [\alpha ^2 - 6\alpha + 9 +2 ( \beta -\alpha )^2 - 2\beta(\beta -\alpha ) + 2\alpha (\beta -\alpha )] = 0$ έχει διπλή ρίζα:
Α. να βρείτε τα $\alpha .\beta$
B. να λύσετε την εξίσωση $\alpha \beta ^\chi - 28\alpha ^\chi + \beta = 0$

vimaproto · 2012-02-24T01:23:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αυτο όμως που βάζεις ειναι η ψιλοπαραγοντοποίημένη μορφή του τριωνυμου.

Ισως δεν με κατάλαβες
Εχουμε f(x)=αx²+βx+γ=α[x²+β/αx+γ/α]=μέχρις εδώ νομίζω πως δεν διαφωνούμε=α[(x+β/2α)²-Δ/4α²]
Αρα α.f(x)=α.α[(x+β/2α)²-Δ/4α²]=α²[(x+β/2α)²-Δ/4α²]
Εντάξη?

akis95 · 2012-02-24T23:25:03+0200

Ηλία την έκανα γρήγορα αλλά βρήκα ότι β=9και α=3 και στο δευτερο χ=-1 ή χ=2

Δεν έιμαι σιγουρος επαναλαμβανω την εκανα γρηγορα

vimaproto · 2012-02-25T00:17:42+0200

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Ηλία την έκανα γρήγορα αλλά βρήκα ότι β=9και α=3 και στο δευτερο χ=-1 ή χ=2

Δεν έιμαι σιγουρος επαναλαμβανω την εκανα γρηγορα

Σωστός

SonnY · 2012-02-25T15:02:46+0200

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Ηλία την έκανα γρήγορα αλλά βρήκα ότι β=9και α=3 και στο δευτερο χ=-1 ή χ=2

Δεν έιμαι σιγουρος επαναλαμβανω την εκανα γρηγορα

μπορείς να ανεβάσεις τη λύση του δεύτερου ερωτήματος???
το 1ο είναι σωστό, όπως είπε και ο vimaproto.

rebel · 2012-02-25T15:31:45+0200

Μετά την αντικατάσταση των α,β γίνεται
$3 \cdot 9^x -28 \cdot 3^x +9=0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( 3^{x} \right)^2-28 \cdot 3^x +9=0 \stackrel{y=3^x}{\Leftrightarrow} \\ 3y^2-28y+9=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y=1/3 \\ y=9 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3^x=3^{-1} \\ 3^x=3^2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-1 \\ x=2 \end{matrix} \right.$

rebel · 2012-02-27T02:33:37+0200

Δύο εξισώσεις από το operedixe.gr

α) $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}=\frac{21}{310}$

β) $\sqrt{\frac{x+3}{6}}+\sqrt{\frac{x+4}{7}}+\sqrt{\frac{x+5}{8}}=\sqrt{\frac{x+2}{5}}+\sqrt{\frac{x+1}{4}}+\sqrt{\frac{x}{3}}$

Guest 018946 · 2012-02-27T02:45:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δύο εξισώσεις από το operedixe.gr

α) $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}=\frac{21}{310}$

β) $\sqrt{\frac{x+3}{6}}+\sqrt{\frac{x+4}{7}}+\sqrt{\frac{x+5}{8}}=\sqrt{\frac{x+2}{5}}+\sqrt{\frac{x+1}{4}}+\sqrt{\frac{x}{3}}$

Πάμε πρωτα για την δευτερη γιατι η πρωτη θελει ζοριλικι .
β) οριζεται καταρχας στο $x \in [0,+\infty)$
Προφανής ρίζα το $x =3$ είναι πρωτοβαθμια . δειξαμε οτι δεν ειναι αδυνατη . εστω οτι ηταν ταυτοτητα , τοτε θα επαληθευοταν για καθε $x \in [0,+\infty)$ αρα και για $x=0$ το δευτερο μελος ειναι μικροτερο απο το πρωτο αρα δεν επαληθευεται αρα μοναδικη λυση το $x=3$

Edit : την αλλη την αφηνω για αυριο πα να κοιμηθω .

tebelis13 · 2012-02-27T04:14:29+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Δύο εξισώσεις από το operedixe.gr

α) $\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}=\frac{21}{310}$

β) $\sqrt{\frac{x+3}{6}}+\sqrt{\frac{x+4}{7}}+\sqrt{\frac{x+5}{8}}=\sqrt{\frac{x+2}{5}}+\sqrt{\frac{x+1}{4}}+\sqrt{\frac{x}{3}}$

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{(x+20)(x+21)}=\frac{21}{310}$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right]+\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right]+...+\left[\frac{1}{x+20}-\frac{1}{x+21}\right]=\frac{21}{310}$
Τηλεσκοπικά $\Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{x+21}=\frac{21}{310}<br /> \Rightarrow x^2+21x-310=0$
$\Rightarrow x=10$ $\eta$ $x=-31$

Τις ασκήσεις κυριώς πρέπει να τις λύνουν μαθητές και οι υπόλοιποι να βοηθάμε μόνο στις απορείες τους.Για αυτό πρόσθεσα το spoiler.

rebel · 2012-02-27T13:45:53+0200

Άλλες δύο
α) Δείξτε ότι η εξίσωση $a(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b)=0$ έχει πραγματικές λύσεις για κάθε a,b,c πραγματικούς.
β) Αν $a,b,c>0$ να λυθεί το σύστημα
$\begin{matrix}x(x+y+z)=a-yz \\ y(x+y+z)=b-xz \\ z(x+y+z)=c-xy \end{matrix}$

Guest 018946 · 2012-02-27T17:19:10+0200

Παω για την πρωτη και την δευτερη θα την παλεψω γιατι δεν μου ρχετε κατι καλο

a) $a(x^2-cx-bx+bc)+b((x^2-cx-ax+ac)+c(x^2-xb-ax+ab)=0 \Leftrightarrow ax^2-ax(c+b)+abc+bx^2-xb(a+c)+abc+cx^2-cx(a+b)+abc=0 \Leftrightarrow x^2(a+b+c)-2x(ab+ac+bc)+3abc=0$ απο εδω θα βγάλω διακρίνουσα και θα πάρω
$\Delta=4a^b^2+4a^b^2+4a^b^2+8abc(a+b+c)-12(a+b+c)abc \Leftrightarrow \Delta=4[a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2]$ και εδω θα δω οτι η διακρινουσα ειναι μεγαλυτερη ίση του μηδενος αφου αμα θέσω $t=ab \wedge z=ac \wedge w=bc$ άρα θα είναι :
$\Delta=4[t^2+z^2+w^2-tw-tz-wz]$ που είναι ομως λογω της $x^2+y^2+k^2 \geq xy+xk+yk$ μεγαλυτερη ιση του μηδενος.

rebel · 2012-02-27T17:43:45+0200

Να σημειώσω ότι η ίδια ιδέα με την οποία βγάζεις την διακρίνουσα μη αρνητική εφαρμόζεται και στην άσκηση του Ηλία εδώ . Το λέω γιατί δεν είδα κάποια λύση στην συγκεκριμένη.

vimaproto · 2012-02-29T19:50:28+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
β) Αν $a,b,c>0$ να λυθεί το σύστημα
$\begin{matrix}x(x+y+z)=a-yz \\ y(x+y+z)=b-xz \\ z(x+y+z)=c-xy \end{matrix}$

Αν τα α, β, γ τα ύψωνες στο τετράγωνο θα βοηθούσες πολύ. Δεν πειράζει. Ονομάζω α=κ², β=λ², γ=μ². Οι εξισώσεις γίνονται:
(χ+y)(x+z)=k²
(χ+y)(y+z)=λ²
(χ+z)(z+y)=μ²
Πολλαπλασιάζω [(χ+y)(x+z)(z+y)]²=κ²λ²μ² ===> (χ+y)(x+z)(z+y)= $\pm \kappa \lambda \mu$
Λαμβάνω την τελευταία με το συν (το ίδιο θα κάνουμε και με το πλην ) δηλ δύο προβλήματα
και τη διαιρώ με την πρώτη, με τη δεύτερη, με την τρίτη και έχω
y+z=κλμ/κ²=λμ/κ
x+z=κμ/λ
x+y=κλ/μ
Προσθέτω κατά μέλη $2\left(x+y+z \right)=\frac{\lambda \mu }{\kappa }+\frac{\kappa \mu }{\lambda }+\frac{\kappa \lambda }{\mu }$
$x+y+z=\frac{1}{2}(\frac{\lambda \mu }{\kappa }+\frac{\kappa \mu }{\lambda }+\frac{\kappa \lambda }{\mu })$
Από την τελευταία αφαιρώ την πρώτη εκ των τριών και
$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\lambda \mu }{\kappa }+\frac{\kappa \mu }{\lambda }+\frac{\kappa \lambda }{\mu }\right)=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{\frac{\beta \gamma }{\alpha }}+\sqrt{\frac{\alpha \gamma }{\beta }}+\sqrt{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}\right)$
Ομοίως για τα y, z.
Τα ίδια κάνω και με -κλμ

Guest 018946 · 6 Μαρτίου 2012 στις 23:40

Για δωστε κατι , βαρεθηκαμε(κα) .

vimaproto · 7 Μαρτίου 2012 στις 21:28

Αν α+β+γ=0 να δειχτεί ότι το κλάσμα $\frac{{\alpha }^{3}+{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta (\gamma +2)}{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-{\gamma }^{2}}$ έχει σταθερή τιμή

Guest 018946 · 7 Μαρτίου 2012 στις 21:42

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Αν α+β+γ=0 να δειχτεί ότι το κλάσμα $\frac{{\alpha }^{3}+{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta (\gamma +2)}{{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-{\gamma }^{2}}$ έχει σταθερή τιμή

Ξερω οτι αν $a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$
Πρέπει να πάρω και περιορισμο $abc \ne 0$
Θα ονομασω $A$ το κλασμα

$A=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc-6ab}{a^2+b^2-c^2} \Leftrightarrow A=\frac{-6ab}{a^2+b^2-c^2}$

Είναι όμως $a+b=-c \Leftrightarrow a^2+b^2+2ab-c^2=0 \Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab$ Άντικαθιστω στο $A$ και παίρνω

$A=\frac{-6ab}{-2ab}=3$ άρα εχει σταθερη τιμη

unπαικτable · 7 Μαρτίου 2012 στις 22:18

πως προεκυψε το η πρωτη σχεση;

Guest 018946 · 7 Μαρτίου 2012 στις 22:26

Αρχική Δημοσίευση από Αποστολος.γρ:
πως προεκυψε το η πρωτη σχεση;

Δες στο σχολικο μια δυο σελιδες πριν να αρχισει να λεει για την αποδειξη με το ατοπο καπου εκει ειναι.

vimaproto · 8 Μαρτίου 2012 στις 16:22

Αν α+β+γ=0 να δειχτεί ότι η παράσταση $\left(\frac{\beta -\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma -\alpha }{\beta }+\frac{\alpha -\beta }{\gamma } \right)\left(\frac{\alpha }{\beta -\gamma }+\frac{\beta }{\gamma -\alpha }+\frac{\gamma }{\alpha -\beta } \right)$ έχει σταθερή τιμή

unπαικτable · 9 Μαρτίου 2012 στις 22:09

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Αν α+β+γ=0 να δειχτεί ότι η παράσταση $\left(\frac{\beta -\gamma }{\alpha }+\frac{\gamma -\alpha }{\beta }+\frac{\alpha -\beta }{\gamma } \right)\left(\frac{\alpha }{\beta -\gamma }+\frac{\beta }{\gamma -\alpha }+\frac{\gamma }{\alpha -\beta } \right)$ έχει σταθερή τιμή

δεν μου βγαινει με τιποτα...εχει κανεις καμια ιδεα;;; μηπως εκανες κατι λαθος οταν την εγραφες;;; :worry:

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος