Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

νατ · 24 Ιανουαρίου 2012

θα ηθελα και εγω βοηθεια σε μια ασκηση

Εστω f:R-->R με συνεχη πρωτη παραγωγο
φ(ημχ)συν²x+x-1 για καθε χ ανηκει (-π/2,π/2)
α.i)να αποδειξετε οτι f'(0)=1
ii)να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης Cf στοA(0,f(0))
b)να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανηκει (0,(√2) /2 ) ωστε f'(ξ)=ξ
γ)να υπολογισετε τα ορια
i)lim [(√x+1) -1/x] x--->0
ii)lim[f(x)* f'(x) -ημ3x/(√x+1) -1] χ-->0

13diagoras · 25-01-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία απόπειρα με πολλές αμφιβολίες ως προς την ορθότητα για το πρώτο. Το ανάπτυγμα του λογαρίθμου σε δυναμοσειρά είναι
$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\,(1)$
To ολοκλήρωμα με αλλαγή μεταβλητής γίνεται
$\int \frac{\ln(x+2)}{x} dx =\int \frac{\ln(y+1)}{y-1} dy \stackrel{(1)}{=} \int \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}y^n}{n(y-1)} dy = \sum_{n=1}^\infty \int \frac{(-1)^{n-1}y^n}{n(y-1)} dy$
Όμως
$\int \frac{y^n}{y-1} dy = \int \frac{y^n-1+1}{y-1} dy = \\ \int (y^{n-1}+y^{n-2}+\cdots+y+1) dy + \int \frac{1}{y-1}dy= \frac{y^n}{n}+\frac{y^{n-1}}{n-1}+\cdots+ \frac{y^2}{2}+y +\ln (y-1),\, n \geq 1$
Τελικά
$\int \frac{\ln(x+2)}{x} dx = \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left( \ln(x+1)+\sum_{k=1}^n \frac{(x+1)^k}{k}\right) \right]+ C$
Για το δεύτερο τα πράγματα είναι μάλλον πιο στρωτά. Γνωρίζουμε ότι
$e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!},\,(1)$
Με την αλλαγή μεταβλητής $t= \ln (x+1)$ έχουμε
$\int \frac{x}{\ln (x+1)}dx = \int \frac{e^t-1}{t}e^t dt = \int \frac{e^{2t}-e^t}{t} dt \stackrel{(1)}{=} \int \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n t^{n-1}}{n!}-\frac{t^{n-1}}{n!} dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n(2^n-1)}{n!n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2^n-1)}{n!n} \ln^n(x+1)+ C$

Φοβερο!.Δεν το ειχα σκεφτει αυτο με τις σειρες

Kostas741 · 25-01-12

Αρχική Δημοσίευση από Kostas741:
Παιδια οποτε μπορεσετε, βοηθειστε σας παρακαλω σε αυτη την ασκηση:
Δινεται συναρτηση f:R--->R για την οποια ισχυουν f(0)=0 και |f(x)-f(ψ)|(μικροτερο ή ισο) |χ-ψ|
Ν.δ.ο οτι η f ειναι συνεχης σε καθε στοιχειο x0ER

Μια βοηθεια γτ επειγει

rebel · 25-01-12

$|f(x)-f(x_0)|\leq |x-x_0| \Rightarrow -|x-x_0| \leq f(x)-f(x_0) \leq |x-x_0|$
Από κ. παρεμβολής για $x\to x_0$ παίρνουμε $\lim_{x \to x_0}\left( f(x) - f(x_0) \right) =0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0}\left( f(x) - f(x_0)\right) +f(x_0) \right) \Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x)= 0 + f(x_0)=f(x_0)$ .
Άρα η f είναι συνεχής σε όλο το R. To δεδομένο f(0)=0 δεν βλέπω που χρειάζεται

Kostas741 · 25-01-12

Θα χρειαστει μετα

Να σε ρωτησω, μηπως ξερεις πως θα βρουμε το f(1)?
Eυχαριστω για τη λυση

rebel · 25-01-12

Δεν νομίζω ότι αρκούν οι συνθήκες της άσκησης για να βρούμε το f(1)
Για παράδειγμα θεώρησε της συναρτήσεις $f_1(x)=x,\,f_2(x)=\frac{x}{2}$
Είναι για κάθε χ,y
$|f_1(x)-f_1(y)| =|x-y|$ οπότε ισχύει η ισότητα και
$|f_2(x)-f_2(y)| =\frac{1}{2}|x-y|\leq |x-y|$
Επίσης $f_1(0)=f_2(0)=0$
Όμως $f_1(1)=1,\,f_2(1)=1/2$

Kostas741 · 25-01-12

Λοιπον για να σε βοηθησω!
Τα δεδομενα στα εδωσα....
Μετα εχει ενα ερωτημα που λεει να αποδειξω οτι η g(x)=f(x) +3x + 1 ειναι γνησιως αυξουσα στο R.
Και μετα εχει το ερωτημα που λεει ν.α.ο η εξισωση f(x) + 3x = 1 εχει ακριβως μια πραγματικη ριζα στο (0,1).
Το μονο που δε ξερω ειναι το f(1).

rebel · 25-01-12

Θεωρείς $g(x)=f(x)+3x-1$ . Είναι g(0)=-1<0. Επίσης από την αρχική συνθήκη για χ=1, y=0 είναι $|f(1)| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq f(1) \Rightarrow 1 \leq f(1)+2 \Rightarrow 0<1 \leq g(1)$ . Βοlzano στο (0,1) και τελειώσαμε.

Kostas741 · 25-01-12

Δε καταλαβα πως πηγαμε απο το -1(μικροτερο ή ισο) του f(1) στις επομενες συνεπαγωγες...

rebel · 25-01-12

Kostas741 · 25-01-12

Ωραιος Κωστα, ευχαριστω πολυ για το χρονο σου να σαι καλα

Kostas741 · 26-01-12

Μια βοηθεια και σ'αυτο εδω?

Μηπως μπορειte να βρειτε την αντιστροφη της f(X)= lnx - 1/x - 1

rebel · 26-01-12

Δεν δίνεις καλύτερα την πλήρη εκφώνηση; Μπορεί να μην χρειάζεται η αντίστροφη.

Kostas741 · 26-01-12

Θελω να λυσω την ανισωση f(στην -1)(-lnx)>1 με βαση αυτη την εξισωση απο πανω, αλλα δεν μπορω να διωξω το f(στην -1) αμα δε ξερω τη μονοτονια της...

soras7 · 26-01-12

παραγωγιζεις την f(x) και εχεις f'(x)=1/x + 1/(x^2)>0 αρα f γνησιως αυξουσα.Οι f και f(στην -1) εχουν ιδιο ειδος μονοτονιας.Παρατηρεις οτι f(1)=-2<=>
f(στην -1)(-2)=1.Και μετα χρησιμοποιεις την μονοτονια και λυνεις την ανισοτητα

rebel · 26-01-12

Αν δεν κάνω λάθος αρκεί η μονοτονία της f για την συγκεκριμένη.

Kostas741 · 26-01-12

Ωπα ωπα δε το ηξερα.
Η f και η αντιστροφη της εχουν ιδιο ειδος μονοτονιας?

soras7 · 26-01-12

Oντως Κωστα απλως f αρεις.

Kostas741 · 26-01-12

Και ενα τελευταιο για να τελειωνω με τις επαναληπτικες και σορρυ για τα διπλοποσταρισματα

Εχουμε z(λ)= 1/(2+λi) με λΕR.
Ν.α.ο οι εικονες των μιγαδικων z(1), z(-4), z(2012) ειναι κορυφες ορθογωνιου τριγωνου.
Δοκιμασα με Π.Θ και εσωτερικο γινομενο διανυσματων αλλα με μπλεκει το z(2012).
Ριχτε μια τελευταια βοηθεια

Kostas741 · 26-01-12

Αρχική Δημοσίευση από soras7:
Oντως Κωστα απλως f αρεις.

Μονο f αρω?
Και πως βγαινει?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος