Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

νατ · 2012-01-24T19:19:07+0200

θα ηθελα και εγω βοηθεια σε μια ασκηση

Εστω f:R-->R με συνεχη πρωτη παραγωγο
φ(ημχ)συν²x+x-1 για καθε χ ανηκει (-π/2,π/2)
α.i)να αποδειξετε οτι f'(0)=1
ii)να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης Cf στοA(0,f(0))
b)να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανηκει (0,(√2) /2 ) ωστε f'(ξ)=ξ
γ)να υπολογισετε τα ορια
i)lim [(√x+1) -1/x] x--->0
ii)lim[f(x)* f'(x) -ημ3x/(√x+1) -1] χ-->0

13diagoras · 2012-01-25T15:55:13+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Μία απόπειρα με πολλές αμφιβολίες ως προς την ορθότητα για το πρώτο. Το ανάπτυγμα του λογαρίθμου σε δυναμοσειρά είναι
$\ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},\,(1)$
To ολοκλήρωμα με αλλαγή μεταβλητής γίνεται
$\int \frac{\ln(x+2)}{x} dx =\int \frac{\ln(y+1)}{y-1} dy \stackrel{(1)}{=} \int \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}y^n}{n(y-1)} dy = \sum_{n=1}^\infty \int \frac{(-1)^{n-1}y^n}{n(y-1)} dy$
Όμως
$\int \frac{y^n}{y-1} dy = \int \frac{y^n-1+1}{y-1} dy = \\ \int (y^{n-1}+y^{n-2}+\cdots+y+1) dy + \int \frac{1}{y-1}dy= \frac{y^n}{n}+\frac{y^{n-1}}{n-1}+\cdots+ \frac{y^2}{2}+y +\ln (y-1),\, n \geq 1$
Τελικά
$\int \frac{\ln(x+2)}{x} dx = \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left( \ln(x+1)+\sum_{k=1}^n \frac{(x+1)^k}{k}\right) \right]+ C$
Για το δεύτερο τα πράγματα είναι μάλλον πιο στρωτά. Γνωρίζουμε ότι
$e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!},\,(1)$
Με την αλλαγή μεταβλητής $t= \ln (x+1)$ έχουμε
$\int \frac{x}{\ln (x+1)}dx = \int \frac{e^t-1}{t}e^t dt = \int \frac{e^{2t}-e^t}{t} dt \stackrel{(1)}{=} \int \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n t^{n-1}}{n!}-\frac{t^{n-1}}{n!} dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n(2^n-1)}{n!n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(2^n-1)}{n!n} \ln^n(x+1)+ C$

Φοβερο!.Δεν το ειχα σκεφτει αυτο με τις σειρες

Kostas741 · 2012-01-25T16:03:01+0200

Αρχική Δημοσίευση από Kostas741:
Παιδια οποτε μπορεσετε, βοηθειστε σας παρακαλω σε αυτη την ασκηση:
Δινεται συναρτηση f:R--->R για την οποια ισχυουν f(0)=0 και |f(x)-f(ψ)|(μικροτερο ή ισο) |χ-ψ|
Ν.δ.ο οτι η f ειναι συνεχης σε καθε στοιχειο x0ER

Μια βοηθεια γτ επειγει

rebel · 2012-01-25T17:24:16+0200

$|f(x)-f(x_0)|\leq |x-x_0| \Rightarrow -|x-x_0| \leq f(x)-f(x_0) \leq |x-x_0|$
Από κ. παρεμβολής για $x\to x_0$ παίρνουμε $\lim_{x \to x_0}\left( f(x) - f(x_0) \right) =0 \Rightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0}\left( f(x) - f(x_0)\right) +f(x_0) \right) \Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x)= 0 + f(x_0)=f(x_0)$ .
Άρα η f είναι συνεχής σε όλο το R. To δεδομένο f(0)=0 δεν βλέπω που χρειάζεται

Kostas741 · 2012-01-25T19:18:00+0200

Θα χρειαστει μετα

Να σε ρωτησω, μηπως ξερεις πως θα βρουμε το f(1)?
Eυχαριστω για τη λυση

rebel · 2012-01-25T19:41:57+0200

Δεν νομίζω ότι αρκούν οι συνθήκες της άσκησης για να βρούμε το f(1)
Για παράδειγμα θεώρησε της συναρτήσεις $f_1(x)=x,\,f_2(x)=\frac{x}{2}$
Είναι για κάθε χ,y
$|f_1(x)-f_1(y)| =|x-y|$ οπότε ισχύει η ισότητα και
$|f_2(x)-f_2(y)| =\frac{1}{2}|x-y|\leq |x-y|$
Επίσης $f_1(0)=f_2(0)=0$
Όμως $f_1(1)=1,\,f_2(1)=1/2$

Kostas741 · 2012-01-25T19:56:23+0200

Λοιπον για να σε βοηθησω!
Τα δεδομενα στα εδωσα....
Μετα εχει ενα ερωτημα που λεει να αποδειξω οτι η g(x)=f(x) +3x + 1 ειναι γνησιως αυξουσα στο R.
Και μετα εχει το ερωτημα που λεει ν.α.ο η εξισωση f(x) + 3x = 1 εχει ακριβως μια πραγματικη ριζα στο (0,1).
Το μονο που δε ξερω ειναι το f(1).

rebel · 2012-01-25T20:06:07+0200

Θεωρείς $g(x)=f(x)+3x-1$ . Είναι g(0)=-1<0. Επίσης από την αρχική συνθήκη για χ=1, y=0 είναι $|f(1)| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq f(1) \Rightarrow 1 \leq f(1)+2 \Rightarrow 0<1 \leq g(1)$ . Βοlzano στο (0,1) και τελειώσαμε.

Kostas741 · 2012-01-25T20:22:55+0200

Δε καταλαβα πως πηγαμε απο το -1(μικροτερο ή ισο) του f(1) στις επομενες συνεπαγωγες...

rebel · 2012-01-25T20:24:57+0200

Kostas741 · 2012-01-25T20:27:55+0200

Ωραιος Κωστα, ευχαριστω πολυ για το χρονο σου να σαι καλα

Kostas741 · 2012-01-26T17:00:48+0200

Μια βοηθεια και σ'αυτο εδω?

Μηπως μπορειte να βρειτε την αντιστροφη της f(X)= lnx - 1/x - 1

rebel · 2012-01-26T17:15:07+0200

Δεν δίνεις καλύτερα την πλήρη εκφώνηση; Μπορεί να μην χρειάζεται η αντίστροφη.

Kostas741 · 2012-01-26T17:24:16+0200

Θελω να λυσω την ανισωση f(στην -1)(-lnx)>1 με βαση αυτη την εξισωση απο πανω, αλλα δεν μπορω να διωξω το f(στην -1) αμα δε ξερω τη μονοτονια της...

soras7 · 2012-01-26T17:34:15+0200

παραγωγιζεις την f(x) και εχεις f'(x)=1/x + 1/(x^2)>0 αρα f γνησιως αυξουσα.Οι f και f(στην -1) εχουν ιδιο ειδος μονοτονιας.Παρατηρεις οτι f(1)=-2<=>
f(στην -1)(-2)=1.Και μετα χρησιμοποιεις την μονοτονια και λυνεις την ανισοτητα

rebel · 2012-01-26T17:38:12+0200

Αν δεν κάνω λάθος αρκεί η μονοτονία της f για την συγκεκριμένη.

Kostas741 · 2012-01-26T17:38:23+0200

Ωπα ωπα δε το ηξερα.
Η f και η αντιστροφη της εχουν ιδιο ειδος μονοτονιας?

soras7 · 2012-01-26T17:43:32+0200

Oντως Κωστα απλως f αρεις.

Kostas741 · 2012-01-26T17:45:40+0200

Και ενα τελευταιο για να τελειωνω με τις επαναληπτικες και σορρυ για τα διπλοποσταρισματα

Εχουμε z(λ)= 1/(2+λi) με λΕR.
Ν.α.ο οι εικονες των μιγαδικων z(1), z(-4), z(2012) ειναι κορυφες ορθογωνιου τριγωνου.
Δοκιμασα με Π.Θ και εσωτερικο γινομενο διανυσματων αλλα με μπλεκει το z(2012).
Ριχτε μια τελευταια βοηθεια

Kostas741 · 2012-01-26T17:47:13+0200

Αρχική Δημοσίευση από soras7:
Oντως Κωστα απλως f αρεις.

Μονο f αρω?
Και πως βγαινει?

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος