Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lostie · 2011-12-11T22:05:58+0200

Aν η εξισωση χ^3+αχ^2+βχ + γ εχει τρεις ριζες πραγματικες και ανισες ανα δυο ν.δ.ο α^2 > 3β

drosos · 2011-12-11T22:06:43+0200

$g'(x)=-{e}^{-f(x)}f'(x)$
$g''(x)={e}^{-f(x)}{{f'(x)}^{2}-{e}^{-f(x)}f''(x)={e}^{-f(x)}({f'(x)}^{2}-f''(x)$
Ειναι πολ/σμος αρα παραγωγος του πρωτου και παραγωγος του δευτερου

Mizzkaterinoula · 2011-12-11T22:08:58+0200

σορρυ αλλα μπερδευτικα με αυτο που εχεις γραψει που δειχνει καθε φορα κατω απο την απαντηση σου και νομιζα πως ηταν μαζι με το μυνημα.

rebel · 2011-12-11T22:26:01+0200

Γενικά
(*) Παράγωγος γινομένου: $(fg)^\prime(x)=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$
(**)Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης(κανόνας της αλυσίδας): $(hof)^\prime(x)=h^\prime\left(f(x)\right)\cdot f^\prime(x)$
Στην περίπτωση αυτή:

$g^\prime(x)=\left(e^{-f(x)}\right)^\prime \stackrel{(**)}{=} e^{-f(x)} \cdot \left(-f^\prime(x)\right)=-e^{-f(x)}\cdot f^\prime(x)$
$g^{\prime\prime}(x)=\left(-e^{-f(x)}\cdot f^\prime(x)\left)^\prime \stackrel{(*)}{=} \left(-e^{-f(x)}\right)^\prime f^\prime(x)+ \left(-e^{-f(x)}\right)f^{\prime\prime}(x)\stackrel{(**)}{=}e^{-f(x)} \left(f^\prime(x)\right)^2-e^{-f(x)}f^{\prime\prime}(x)$
Edit: Απαντήθηκε αλλά μια που το έγραψα το αφήνω

Αρχική Δημοσίευση από lostie:
Aν η εξισωση χ^3+αχ^2+βχ + γ εχει τρεις ριζες πραγματικες και ανισες ανα δυο ν.δ.ο α^2 > 3β

Έστω $\rho_1,\rho_2,\rho_3$ με $\rho_1<\rho_2<\rho_3$ οι ρίζες της εξίσωσης $f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0$ . Από το θεώρημα Rolle
$\exists \xi \in (\rho_1,\rho_2): f^\prime(\xi)=0$
$\exists \xi^\prime \in (\rho_2,\rho_3): f^\prime(\xi^\prime)=0$
με $\xi \neq \xi^\prime$
Δηλαδή το τριώνυμο $f^\prime(x)=3x^2+2ax+b$ έχει ακριβώς δύο ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους οπότε και θετική διακρίνουσα: $\Delta=4a^2-4\cdot 3b=4 (a^2-3b)>0\Rightarrow \boxed{a^2>3b} \,\,\blacksquare$

lostie · 2011-12-12T07:56:12+0200

Aντε να το βρισκα, σ'ευχαριστω

so_desperate · 2011-12-12T18:03:27+0200

εστω f συνεχης και φθινουσα στο[-1,3].δειξε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο στο(-1,3) ωστε f(χο)=(2f(-1)+f(0)+ 3f(3))/6

εστω f συνεχης στο R με (f(x))^3+(f(x))^2+f(x)=xe^x-συνχ.δειξε οτι η εξισωση f(x)=0 εχει μια ακριβως ριζα.

οποιος μπορει ας βοηθησει

drosos · 2011-12-12T18:30:49+0200

Το πρωτο απλα θεωρημα μεγιστης κ ελαχιστης τιμης και μετα ενδιαμεσων τιμων
Στο δευτερο f(x)=0 θεσε συναρτηση αυτο που μενει και bolzano στο [0,π/2] και δειξε οτι ειναι γν μονοτονη(θεσε $g(x)={x}^{3}+{x}^{2}+x$ για την μονοτονια)

rebel · 2011-12-12T19:06:45+0200

Η δεύτερη δεν είναι και πολύ σαφής γιατί η εξίσωση $g(x)=xe^x-\sigma \upsilon \nu x=0$ έχει άπειρες λύσεις στο R ( φαίνεται με γράφημα) οπότε αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις λύσεις, έστω $x_0$ θα είναι και $f(x_0)\left(f^2(x_0)+f(x_0)+1\right)=0 \Rightarrow f(x_0)=0$ . 'Αρα η εξίσωση $f(x)=0$ έχει και αυτή άπειρες λύσεις στο R. Eκτός αν ζητάει η εκφώνηση ότι έχει μοναδική λύση σε κάποιο διάστημα.

turistas · 2011-12-13T15:05:08+0200

μπορειτε να με βοηθησετε να βρω την παραγουσα;
$x lnx f '(x)=f(x)$
$4/x=f '(x)/f(x)$
$e^x f(x)+e^x f '(x)=f '(x)$
$3x^2 f '(x^3)=f '(x)+$ συνπx

drosos · 2011-12-13T15:29:00+0200

Το δευτερο:
$4\frac{1}{x}-\frac{f'(x)}{f(x)}=0\Leftrightarrow (4lnx)'-(lnf(x))'=0$
Το τριτο:
${e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)-f'(x)=0\Leftrightarrow ({e}^{x}f(x))'-(f(x))'=0$
Το τελευταιο:
$3{x}^{2}f'({x}^{3}))-f'(x)-\sigma \upsilon \nu \pi x=0\Leftrightarrow (f({x}^{3}))'-(f(x))'-(\frac{\eta \mu \pi x}{\pi })'=0$

qwerty111 · 2011-12-13T22:58:17+0200

Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Rempeskes · 2011-12-13T23:35:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Ναι. Δηλαδή, εάν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση f στο [α,β] και αλλάξουμε την τιμή της σε ένα σημείο ώστε να μετατραπεί στην ασυνεχή συνάρτηση g, τότε το ολοκλήρωμα Riemann της g υπολογίζεται και είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα Riemann της f.

rebel · 2011-12-13T23:47:56+0200

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Έχει νόημα το ορισμένο ολοκλήρωμα από το α στο β μιας συνάρτησης που δεν είναι συνεχής στο [α, β];

Για την ύλη του λυκείου όχι. Η f πρέπει να είναι συνεχής σε όλο το διάστημα [α,β].

antonio2761994 · 2011-12-17T22:58:37+0200

έστω η συνάρτηση f με f: (-1,1) στο R, παραγωγίσιμη στο (-1,1) και g(x)=f(|x|) κάθε χ που ανήκει στο (-1,1)
να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 αν και μονο αν f'(0)=0

έχω κολλήσει και δεν μου βγαίνει τίποτα. όποιος μπορεί να βοηθήσει ας το κάνει. ευχαριστώ

rebel · 2011-12-18T00:06:42+0200

H συνάρτηση γράφεται $g(x)=\begin{cases} f(-x), & -1<x<0 \\ f(x), & 0 \leq x <1\end{cases}$ . Έχουμε
$\lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\ell$
$\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(-x)-f(0)}{x-0}\stackrel{y=-x}{=}-\lim_{y\to 0^+}\frac{f(y)-f(0)}{y-0}=-\ell$
Επομένως η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 αν και μόνο αν
$\lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} \Leftrightarrow \ell=-\ell \Leftrightarrow \ell=0 \Leftrightarrow f^\prime(0)=0$
H τελευταία ισοδυναμία έπεται από την παραγωγισιμότητα της f στο 0.

stelios1994-4 · 2011-12-18T21:25:51+0200

Καλησπέρα κ από μένα. Στο ψητό:
$f\left(x \right)={\alpha }^{x}$ με α>0. Να βρείτε το α, ώστε η ευθεία $\varepsilon : \chi -\psi =0$ να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f. Φαινομενικά είναι εύκολη, και δεν ξέρω γιατί κόλλησα

... Βγαίνω στην σχέση : ${\alpha }^{\alpha \ln \frac{1}{\alpha }}= e$ και δεν ξέρω πως να προχωρήσω. Μπορεί να κάνω και λάθος... Όποιος δεν βαριέται ας βοηθήσει..

rebel · 2011-12-18T22:06:38+0200

H η (ε) εφάπτεται της f στο σημείο $\left(x_0,f(x_0)\right)$ αν και μόνο αν
$\left\{\begin{matrix} f(x_0)-x_0=0 \\ f^\prime(x_0)=1\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_0}=x_0 \\ a^{x_0}\ln a = 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_0}=x_0 \\ a^{x_0} = \frac{1}{\ln a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a = 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left( a^{\frac{1}{\ln a}}\ln a \right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left( a^{\frac{1}{\ln a}}\right)+\ln \left(\ln a\right) = 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \frac{1}{\ln a}\ln a+\ln \left(\ln a\right)= 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln \left(\ln a\right)=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= \frac{1}{\ln a} \\ \ln a= e^{-1} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0= e \\ a= e^{1/e} \end{matrix}\right.$

stelios1994-4 · 2011-12-18T22:40:14+0200

Δεν κατάλαβα, από που προκύπτει ότι ln(lna)=-1 ...

rebel · 2011-12-18T22:48:30+0200

Στην δεύτερη εξίσωση από το σημείο
$\frac{1}{\cancel{\ln a}}\cdot \cancel{\ln a}+\ln \left(\ln a\right)= 0 \Leftrightarrow 1+\ln \left(\ln a\right)=0 \Leftrightarrow \ln \left(\ln a\right)=-1$

stelios1994-4 · 2011-12-18T22:53:53+0200

Ωχ, ναι! Δεν έβλεπα την διαίρεση... Φτάνω να σκέφτομαι πώς θα αλλάξω τους εκθέτες και τί θα βάλω στους λογάριθμους και δεν βλέπω τις διαιρέσεις.. !! Ευχαριστώ πάντως!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος