Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Bemanos · 06-05-11

η αποδειξη του ΘΕΤ θελει και το σχημα που εχει στο βιβλιο?

pizza1993 · 06-05-11

Αρχική Δημοσίευση από 13diagoras:
Αν εχουμε της εξης ισοτητα : f(x) + e^(f(x)) = x ,τοτε μπορουμε να βγαλουμε το συμπερασμα οτι η f ειναι παραγωγισιμη?
Οχι ,ετσι?

To εχω κι εγ αυτο απορια!!Μπορεις καποιος να μας απαντησει?Με ατοπο μου βγαινει πως η f ειναι παραγωγισιμη....

Γιώργος · 07-05-11

Αρχική Δημοσίευση από Bemanos:
η αποδειξη του ΘΕΤ θελει και το σχημα που εχει στο βιβλιο?

Κοίτα, αν την διατυπώσεις πολύ σωστά (από μαθηματικής άποψης) τότε το σχήμα περισσεύει. Αλλά εάν έχεις κατανοήσει την απόδειξη (και όχι "απ' έξω") τότε κάν' το και το σχήμα, δεν πάει χαμένο. Δεν είναι και big deal (συνεχής στο [a,b], παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές στο [min{f(a),f(b)}, max{f(a),f(b)}], το σχήμα είναι προφανές).

vassilis498 · 07-05-11

όχι παιδιά, τίποτα δεν είναι προφανές, η απόδειξη τελειώνει μετά το σχήμα ( το μαύρο κουτάκι) το περιλαμβάνει και αυτό κανονικά, δεν είναι τι ξέρεις και τι όχι, τα θέλουν όπως τα έχει το βιβλίο αποστήθιση.

pizza1993 · 08-05-11

τι αποστιθηση ρε ακουτε τι λετε?Δεν υπαρχει περιπτωση μαθηματικος να κοψει απο τετοιο πραγμα!

Bemanos · 08-05-11

δεν αποφασιζει ο μαθηματικος αν θα το κοψει η οχι , θα εχει λαβει αντιστοιχες οδηγιες απο το υπουργειο,και επειδη ολα τα περιμενω απο αυτους θα το κανω το σχημα(καλα δεν ειναι και τιποτα σπουδαιο)

vassilis498 · 08-05-11

Αρχική Δημοσίευση από pizza1993:
τι αποστιθηση ρε ακουτε τι λετε?Δεν υπαρχει περιπτωση μαθηματικος να κοψει απο τετοιο πραγμα!

Οι μαθηματικές αποδείξεις όπως και οι ορισμοί μαθαίνονται αυτούσιες όπως το έχει το βιβλίο το γράφεις, αν όχι τότε παίζεις κορόνα γράμματα πού θα πέσεις, στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως είναι μεγάλη η διαφορά, αν το σχήμα θεωρηθεί μέσα και εσύ δεν το γράψεις έχεις χάσει τη μισή απόδειξη.

vassilis498 · 08-05-11

" Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφή της."

ξέρει κανείς πώς αποδεικνύεται αυτό;

Γιώργος · 08-05-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
"Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφή της."

ξέρει κανείς πώς αποδεικνύεται αυτό;

Νομίζω δεν παίζει να στη ζητήσουν την απόδειξη αυτή, εφόσον δεν υπάρχει στο βιβλίο. Κατά τα άλλα, δεν παίζει να σου χρειαστεί αυτό σε ασκήσεις. Εάν μία στις 100 το χρειαστείς σε άσκηση και είσαι σίγουρος ότι το χρειάζεσαι ... χρησιμοποίησέ το αναπόδεικτο. Εάν σίγουρα χρειάζεται θα στείλουν διευκρίνιση να το πάρουν δεκτό οι διορθωτές - μπορεί να την στείλουν και αφού γράψετε.

Καλύτερα να το χρησιμοποιήσεις αναπόδεικτο και να σου βγει η άσκηση, παρά να χάσεις όλη σου την ώρα με την απόδειξη. Γενικά, αν κολλήσετε κάπου προχωρήστε.

vassilis498 · 08-05-11

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Νομίζω δεν παίζει να στη ζητήσουν την απόδειξη αυτή, εφόσον δεν υπάρχει στο βιβλίο. Κατά τα άλλα, δεν παίζει να σου χρειαστεί αυτό σε ασκήσεις. Εάν μία στις 100 το χρειαστείς σε άσκηση και είσαι σίγουρος ότι το χρειάζεσαι ... χρησιμοποίησέ το αναπόδεικτο. Εάν σίγουρα χρειάζεται θα στείλουν διευκρίνιση να το πάρουν δεκτό οι διορθωτές - μπορεί να την στείλουν και αφού γράψετε.

Καλύτερα να το χρησιμοποιήσεις αναπόδεικτο και να σου βγει η άσκηση, παρά να χάσεις όλη σου την ώρα με την απόδειξη. Γενικά, αν κολλήσετε κάπου προχωρήστε.

Ότι δεν πρόκειται να το ζητήσουν είναι σίγουρο, είναι πολύ τραβηγμένο, απλά επειδή πολλές φορές οι ασκήσεις θέλουν κάτι συγκεκριμένο που μπορεί να μην μου έρχεται εκείνη τη στιγμή, αν τυχόν σκεφτώ κάποιον άλλο τρόπο που να το χρειάζεται, θέλω να μπορώ να τον εφαρμόσω. Αποδείξεις εκείνη την ώρα σίγουρα δε θα ψάξω για αυτό τα κοιτάω τώρα.

edit: νομίζω πως βρήκα κάτι με ορισμό, αλλά πάλι θέλει συνέχεια της αντίστροφης :beating:

Γιώργος · 09-05-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
edit: νομίζω πως βρήκα κάτι με ορισμό, αλλά πάλι θέλει συνέχεια της αντίστροφης

Και με αυτό το ίδιο. Εάν είσαι 100% σίγουρος ότι χρειάζεται, αλλά δεν στο δίνουν, μπορείς να πεις "Επειδή η f είναι συνεχής, θα είναι και η αντίστροφή της", κάτι που κατά πάσα πιθανότητα θα περάσει σιωπηρά και θα το δεχτεί ο διορθωτής.

Και στην χειρότερη, και να μην το δεχτεί, άντε να σου κόψει 1 μόριο επειδή χρησιμοποίησες αυτό χωρίς απόδειξη. Αλλά αν αφήσεις την άσκηση στη μέση, θα σου κόψει περισσότερα. Οπότε, αν και δεν συνιστώ συνήθως να χρησιμοποιείτε πράγματα χωρίς απόδειξη, για αυτά τα δύο συγκεκριμένα μπορώ να πω ότι ναι, χρησιμοποιήστε τα, αλλά μόνο αν είστε 100% σίγουροι ότι χρειάζεται. Δεν αποκλείεται να βγάλουν στο τέλος μία διευκρίνιση τύπου "να το δεχτείτε" ή να στείλουν τέτοια οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα αφού έχετε γράψει.

Αλλά ξαναλέω, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα χρειαστεί κάτι ΤΟΣΟ τραβηγμένο.

vassilis498 · 09-05-11

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Και με αυτό το ίδιο. Εάν είσαι 100% σίγουρος ότι χρειάζεται, αλλά δεν στο δίνουν, μπορείς να πεις "Επειδή η f είναι συνεχής, θα είναι και η αντίστροφή της", κάτι που κατά πάσα πιθανότητα θα περάσει σιωπηρά και θα το δεχτεί ο διορθωτής.

Και στην χειρότερη, και να μην το δεχτεί, άντε να σου κόψει 1 μόριο επειδή χρησιμοποίησες αυτό χωρίς απόδειξη. Αλλά αν αφήσεις την άσκηση στη μέση, θα σου κόψει περισσότερα. Οπότε, αν και δεν συνιστώ συνήθως να χρησιμοποιείτε πράγματα χωρίς απόδειξη, για αυτά τα δύο συγκεκριμένα μπορώ να πω ότι ναι, χρησιμοποιήστε τα, αλλά μόνο αν είστε 100% σίγουροι ότι χρειάζεται. Δεν αποκλείεται να βγάλουν στο τέλος μία διευκρίνιση τύπου "να το δεχτείτε" ή να στείλουν τέτοια οδηγία στα βαθμολογικά κέντρα αφού έχετε γράψει.

Αλλά ξαναλέω, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα χρειαστεί κάτι ΤΟΣΟ τραβηγμένο.

πολλές φορές στις πανελλήνιες οι ασκήσεις είναι διαμορφωμένες σε στυλ παγίδας, σου βάζουν πχ μα συναρτησιακή σχέση, χωρίς να μιλάνε για παραγωγισιμότητα, και σου λένε απόδειξε αυτά, με το σκεπτικό ότι όσοι την πατήσουν την πάτησαν. Εκεί ας πούμε έτσι και εφαρμόσεις κάτι τέτοιο του χαλάς την άσκηση. Για αυτό δεν θέλω να αφήνω τρύπες σε αυτά που γράφω, γιατί τότε ο άλλος με το πρώτο αναπόδεικτο που δει, θα πει, α το μαλάκα έπεσε στην παγίδα, δεν το λέει αυτό, κόβε.

Γιώργος · 09-05-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
Για αυτό δεν θέλω να αφήνω τρύπες σε αυτά που γράφω, γιατί τότε ο άλλος με το πρώτο αναπόδεικτο που δει, θα πει, α το μαλάκα έπεσε στην παγίδα, δεν το λέει αυτό, κόβε.

Ναι, γι' αυτό λέμε να το κάνεις μόνο αν είσαι 100% σίγουρος. Γιατί αν δεν βγαίνει αλλιώς τότε ... θα δοθεί κάποια διευκρίνιση.
Και στην τελική καλύτερα να λύσεις την άσκηση με κάτι αναπόδεικτο, παρά να την αφήσεις τελείως. Κάτι θα πάρεις!

manouno · 10-05-11

Σας εύχομαι επιτυχία αύριο στην Έκφραση - Έκθεση.
Μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτά τα δύο ολοκληρώματα ?

Ολοκλήρωμα του: (lnx^(-2)/x^2)

και

Ολοκλήρωμα του: (lnx/x)

Συγγνώμη αλλά έχω καιρό να το χρησιμοποιήσω και δεν θυμάμαι τη σύνταξη Latex.

lowbaper92 · 10-05-11

Αρχική Δημοσίευση από manouno:
Σας εύχομαι επιτυχία αύριο στην Έκφραση - Έκθεση.
Μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτά τα δύο ολοκληρώματα ?

Ολοκλήρωμα του: (lnx^(-2)/x^2)

και

Ολοκλήρωμα του: (lnx/x)

Συγγνώμη αλλά έχω καιρό να το χρησιμοποιήσω και δεν θυμάμαι τη σύνταξη Latex.

${I}_{1}=\int \frac{ln{x}^{-2}}{{x}^{2}}dx=\int \left(-\frac{1}{x} \right)'ln{x}^{-2}dx=-\frac{1}{x}ln\frac{1}{{x}^{2}}+\int \frac{1}{x}\cdot {x}^{2}\left(-2{x}^{-3} \right)dx=-\frac{1}{x}ln\frac{1}{{x}^{2}}-2\int \frac{1}{{x}^{2}}dx=-\frac{1}{x}ln\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}+c$

${I}_{2}=\int \frac{lnx}{x}dx=\frac{1}{2}\int 2lnx\left(lnx \right)'dx=\frac{1}{2}\int \left({ln}^{2}x \right)'dx=\frac{1}{2}{ln}^{2}x+c$

Γιώργος · 11-05-11

Αρχική Δημοσίευση από manouno:
Ολοκλήρωμα του: (lnx/x)

Tip: όταν έχεις ένα ολοκλήρωμα γινομένου που δεν ξέρεις πώς να το χειριστείς, κοίτα μήπως ο ένας όρος είναι η παράγωγος του άλλου.

Δηλαδή:
$\int{\frac{\ln x}{x}dx}=\int{\frac{1}{x}\ln x dx}=\int\left(\ln x\right)'\ln x dx$

Τώρα το βλέπεις;

$\int{\frac{\ln x}{x}dx}=\frac{1}{2}\int\left(\ln^2 x\right)' dx=\frac{1}{2}\ln^2 x + c$

Αρχική Δημοσίευση από manouno:
Ολοκλήρωμα του: (lnx^(-2)/x^2)

Εδώ βασικά δεν καταλαβαίνω αν θες να πεις $ln^{-2}x$ ή $\ln\left(x^{-2}\right)$
Υποθέτω το δεύτερο, γιατί το 1ο δεν βγαίνει με αυτά που ξέρετε (πηγή).

$\int\frac{\ln\left(x^{-2}\right)}{x^2}dx = -2\int\frac{\ln |x|}{x^2}dx$

ΠΡΟΣΟΧΗ, κατεβάζεις άρτια δύναμη από το x στο lnx, οπότε πρέπει να μπει απόλυτο, γιατί το lnx^-2 ορίζεται για x!=0, ενώ το lnx μόνο για x>0.

Από εκεί και πέρα βλέπεις ότι έχεις λογάριθμο και 1/x^2. Τον λογάριθμο δεν ξέρεις τι να τον κάνεις, το άλλο ξέρεις... Μυρίζεσαι κι εσύ την παραγοντική από μακριά;

$\int\frac{\ln\left(x^{-2}\right)}{x^2}dx = 2\int\ln|x|}\left(\frac{1}{x}\right)'dx=2\frac{\ln|x|}{x}-2\int\left(\ln|x|\right)'\frac{1}{x}dx$
$\int\frac{\ln\left(x^{-2}\right)}{x^2}dx=2\frac{\ln|x|}{x}-2\int\frac{1}{x^2}dx=2\frac{\ln|x|}{x}+2\frac{1}{x}+c$
$\int\frac{\ln\left(x^{-2}\right)}{x^2}dx=2\frac{\ln|x|+1}{x}+c$

Προσοχή και πάλι, το catch σε αυτήν την άσκηση είναι να μην ξεχάσετε το ΑΠΟΛΥΤΟ στο ln|x| αν "κατεβάσετε" από τον λογάριθμο το -2. Γιατί αν το ξεχάσετε χάνετε το μισό πεδίο ορισμού και ναι, χάνετε και κάποια τζάμπα μόρια για ένα τιμημένο απόλυτο που κατά τα άλλα δεν επιρεάζει την μορφή του τελικού αποτέλέσματος.

dragonver · 11-05-11

Μια καλή επαναληπτική που βρήκα που μπορεί να μην πάει το μυαλό των μαθητών τόσο γρήγορα...

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [a,b] με f(a)<f(b)<f(c) όπου c ανήκει στο (a,b)
Να δειχθεί ότι:
Α) Η εξίσωση f'(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (a,b)
Β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον d που ανήκει στο (a,b) ώστε f''(d)<0

Insomnie · 11-05-11

Α)έστω οτι η f είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα στο [a,b]
τότε f είναι και "1-1" στο [a,b]
αν f γνησίως αύξουσα/φθίνουσα στο [a,b] τοτε ισχύει πώς: a<c<b άρα f(a)<f(c)<f(b)/f(a)>f(c)>f(b)
όμως f(a)<f(b)<f(c) άρα f δεν είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα σε όλο το [a,b] οπότε και όχι "1-1" στο [a,b]
Μήπως δεν ισχύει το αντιστρόφο για μονοτονία-"1-1" και γράφω βλακείες? :confused:

vassilis498 · 15 Μαΐου 2011

Α) 2 ΘΜΤ στα (α,β) και (β,γ) για να πάρω χ1 και χ2 από τα 2 διαστήματα αντίστοιχα, και μετά Bolzano στη f' στο (χ1,χ2)
Β) ΘΜΤ στο (χ1,χ2) στην f'

Αρχική Δημοσίευση από Insomnie:
Α)έστω οτι η f είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα στο [a,b]
τότε f είναι και "1-1" στο [a,b]
αν f γνησίως αύξουσα/φθίνουσα στο [a,b] τοτε ισχύει πώς: a<c<b άρα f(a)<f(c)<f(b)/f(a)>f(c)>f(b)
όμως f(a)<f(b)<f(c) άρα f δεν είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα σε όλο το [a,b] οπότε και όχι "1-1" στο [a,b]
Μήπως δεν ισχύει το αντιστρόφο για μονοτονία-"1-1" και γράφω βλακείες?

Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι και "1-1"
Αν η συνάρτηση είναι "1-1" τότε είναι και γνησίως μονότονη
Αν η συνάρτηση δεν είναι "1-1" τότε δεν είναι και γνησίως μονότονη

το πρώτο ισχύει κανονικά από θεωρεία σχολικού και το παίρνεις έτοιμο
τα άλλα 2 ισχύουν μόνο για συνεχείς συναρτήσεις και θέλουν απόδειξη

Insomnie · 11-05-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι και "1-1"
Αν η συνάρτηση είναι "1-1" τότε είναι και γνησίως μονότονη
Αν η συνάρτηση δεν είναι "1-1" τότε δεν είναι και γνησίως μονότονη

το πρώτο ισχύει κανονικά από θεωρεία σχολικού και το παίρνεις έτοιμο
τα άλλα 2 ισχύουν μόνο για συνεχείς συναρτήσεις και θέλουν απόδειξη

οπότε αν και όχι ιδιαίτερα "κομσό" αυτό που έγραψα ήταν σωστό

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος