Aνισότητα

galois01 · 12 Ιουλίου 2009 στις 18:48

Επειδή βλέπω πως υπάρχουν αρκετοί που τους αρέσουν τα μαθηματικά και ενδιαφέρονται για κάτι παραπάνω από αυτά που κάνουν στο σχολείο να μια ωραία ασκησούλα:

Να αποδείξετε ότι για οποισδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύει

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz\geq\frac{3}{4}(x-y)^{2}$

Kώστας

ξαροπ · 12 Ιουλίου 2009 στις 19:40

Έχουμε:

$4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 4xy - 4yz - 4zx \geq 3(x-y)^2$

$\Leftrightarrow 2[(x^2 + y^2 - 2xy) + (y^2 + z^2 - 2yz) + (z^2 + x^2 - 2zx)] \geq 3 (x-y)^2$

$\Leftrightarrow 2(x-y)^2 + 2(y-z)^2 + 2(z-x)^2 \geq 3(x-y)^2$

$\Leftrightarrow 2(y-z)^2 + 2(z-x)^2 \geq (x-y)^2$

Εδώ κόλλησα λίγο. Αν θέσουμε $y-z=l, z-x = k \Rightarrow y-z+z-x = y-x = l + k$ παίρνουμε $2l^2 + 2k^2 \geq l^2 + k^2 + 2kl$

$l^2 - 2kl + k^2 \geq 0$

$(l-k)^2 \geq 0$ με ισότητα για $k = l \Rightarrow 2z = x + y$ ?

:what:

Πού βρίσκεις τις ασκήσεις?

galois01 · 12 Ιουλίου 2009 στις 20:06

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Εδώ κόλλησα λίγο. Αν θέσουμε $y-z=l, z-x = k$

$<br /> <br /> Άψογος:no1: Αυτό είναι και το ωραίο σημείο της άσκησης.<br /> <br /> <blockquote data-attributes=$

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:

Από διάφορα βιβλία με θέματα μαθηματικών διαγωνισμών.

Κώστας" />

galois01 · 13 Ιουλίου 2009 στις 16:07

Να και άλλη μια απλή για όσους ενδιαφέρονται

Αν $\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$ να δείξετε ότι

$tan\alpha+cot\alpha+\frac{1}{1+tan\alpha}+\frac{1}{1+cot\alpha}\geq3$

όπου tan=εφ και cot=σφ

Κώστας

wolfe4ever · 14 Ιουλίου 2009 στις 11:06

καναμε τετοια στο γυμνασιο? :what:

ntonebts · 14 Ιουλίου 2009 στις 12:23

Αρχική Δημοσίευση από galois01:
Να και άλλη μια απλή για όσους ενδιαφέρονται

Αν $alphain(0,frac{pi}{2})$ να δείξετε ότι

$tanalpha+cotalpha+frac{1}{1+tanalpha}+frac{1}{1+cotalpha}geq3$

όπου tan=εφ και cot=σφ

Κώστας

απο τους περιορισμους που δινεις προκυπτει οτι ολοι οι τριγωνομετρικοι αριθμοι της γωνιας θα ειναι θετικοι .Μετα γραφεις τη εφα συναρτηση τη σφα η το αντιθετο οπως προτιμας .Στη συνεχεια μετα απο πραξεις και μια διαιρεση κατα μελη με σφα+1 προκυπτει (σφα-1)^2>=0 που ισχυει

Aνισότητα

galois01

Νεοφερμένο μέλος

ξαροπ

Πολύ δραστήριο μέλος

galois01

Νεοφερμένο μέλος

galois01

Νεοφερμένο μέλος

wolfe4ever

Διάσημο μέλος

ntonebts

Εκκολαπτόμενο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες