Μια παρατηρηση.Ακουσα πολλους να λενε "γελοια τα θεματα","ενα ΘΜΤ ηταν πώς δεν το σκεφτηκες" ή οπως είπε καποιος οτι σε καθε διαγωνισμα υπαρχει ενα ΘΜΤ.Αυτο δεν ειναι επιχειρημα,ειναι... ασυναρτησιες.Δηλαδη εαν ενα διαγωνισμα δεν ειχε μιγαδικους εσεις θα θεωρουσατε στο 4ο θεμα εναν μιγαδικο ετσι για να υπαρχει και αυτος; Επισης ενα ΘΜΤ δεν ειναι και τοσο απλη υποθεση.Για ποια συναρτηση,σε ποιο διαστημα;Στο να κανουμε ΘΜΤ μας οδηγουν οι αναγκες και οχι το "ετσι για να γινει"!
Μια ακομη λυση για το 4δ που δε νομιζω να εχει ειπωθει και ειναι η πιο "μαθηματικα σωστη":
dt}=xi ^2int_{0}^{a }{f(t)dt})
Διαιρωντας με ξ και α (διαφορα του 0) προκυπτει:
dt}}{xi ^2}=frac{int_{0}^{a }{f(t)dt}}{alpha})
Τωρα μαλιστα υπαρχει ο λογος του β ερωτηματος Αρα:
 =frac{int_{0}^{a }{f(t)dt}}{alpha}Leftrightarrow G'(xi ) -frac{int_{0}^{a }{f(t)dt}}{alpha}=0)
ΑΒΙΑΣΤΑ προκυπτει η αναγκη να θεωρησουμε μια αρχικη για να κανουμε "Rolle για την παραγουσα".Εστω F αυτη με τυπο
=G(xi )-xfrac{int_{0}^{a }{f(t)dt}}{alpha})
Με Rolle για αυτη στο [0,α] προκυπτει το ζητουμενο.Την λυση αυτη την εδωσε η αδερφη μου 2 λεπτα πριν το χτυπημα του κουδουνιου με κυριολεκτικα τρεμαμενο χερι!
Τα λεω ολα αυτα για να δειξω κατι βασικο (που με διδαξε ο Ορεστης Κατσανος καθηγητης στο σχολειο):Στα (σχολικα τουλαχιστον) μαθηματικα, οι αναγκες μας ωθουν στις ενεργειες και δεν κανουμε πραγματα "στον αερα".Κατα τη γνωμη μου δηλαδη ηταν απλώς τυχερος οποιος ελυσε την ασκηση με ενα ΘΜΤ,γιατι δεν σκεφτηκε απολυτως τιποτα,απλως ετυχε να βγαινει ΚΑΙ ετσι. Και με αυτον τον τροπο δυστυχως το θεμα ευνοουσε τους παπαγαλους οι οποιοι θα πηγαιναν με τη λογικη που ανεφερες.
