Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946 · 2011-10-30T18:47:23+0200

Αρχική Δημοσίευση από minos_94:
οκ ...πρώτα παραθέτω μια λύση που μ'αρέσει πολύ στο συγκεκριμένο...
$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(2-a)^{2}=a^{2}+a^{2}-4a+4=2a^{2}-4a+4$ H παράσταση παρουσιάζει ελάχιστο το $s=\frac{-D}{4a}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{32-16}{8}=2\Rightarrowa^{2}+b^{2}\geq 2$

ωραια φαινεται η λυση σου αν και δεν εχω διδαχθει συναρτησεις .

antwwwnis · 2011-10-30T18:48:45+0200

Αρχική Δημοσίευση από minos_94:
επειδή έχω δει το τόπικ νεκρό ,για να πάρουμε μπρός...
παραθέτω ενα απλό ασκησάκι που είναι καλό όλοι οι μαθητές α λυκείου να ξέρουν να το αντιμετωπίζουν
ιδιαίτερα για να κατανοήσουν το ακρότατο σε τριώνυμο...
Αν $x+y=2$ να δείξετε ότι $x^{2}+y^{2}\geq 2$
(μην δώ τίποτα παράξενα cauchy-shwartz...)

Tετοιες ασκήσεις θα λύνετε για πλάκα στην Γ, με τη βοήθεια παραγωγων συναρτήσεων!

Guest 018946 · 2011-10-30T18:58:20+0200

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Tετοιες ασκήσεις θα λύνετε για πλάκα στην Γ, με τη βοήθεια παραγωγων συναρτήσεων!

Αντωνη μην λες τετοιες λεξεις γιατι βλεπω να μας μεταφερουν στο βοηθειες και αποριες μαθηματικων κατευθηνσης

rebel · 2011-10-30T22:19:46+0200

$2x^2+2y^2 \geq (x+y)^2 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2$ . Λογικό είναι να έχει νεκρώσει το τόπικ. Και που βάζουμε ασκήσεις μόνο ο Τάσος τις λύνει. Μάλλον όλοι ασχολούνται με τα Αρχαία (χωρίς να υπονοώ κάτι για την χρησιμότητα του συγκεκριμένου μαθήματος)

Guest 018946 · 2011-10-31T00:05:15+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$2x^2+2y^2 \geq (x+y)^2 \Rightarrow x^2+y^2 \geq 2$ . Λογικό είναι να έχει νεκρώσει το τόπικ. Και που βάζουμε ασκήσεις μόνο ο Τάσος τις λύνει. Μάλλον όλοι ασχολούνται με τα Αρχαία (χωρίς να υπονοώ κάτι για την χρησιμότητα του συγκεκριμένου μαθήματος)

Και ; Σιγα . Ας ασχοληθουνε με μαλακες που φορουσαν σεντονια και φιλοσοφουσαν ολη μερα τι μας νοιαζει εμας ; Απτοητοι ρε θα το κρατησουμε ζωντανο το τοπικ.

transient · 2011-10-31T00:10:44+0200

πηγή: ΕΜΕ

Ας ασχοληθουνε με μαλακες που φορουσαν σεντονια και φιλοσοφουσαν ολη μερα τι μας νοιαζει εμας ;

Αρχαία FTW ρε!

Guest 018946 · 2011-10-31T15:31:08+0200

Μηνα την ασκηση την εχω δει στο mathematica και δεν εχω καταλαβει πως προκυπτει το $-\frac{1}{4}$ δηλαδη εκει που οριζεται το $x^{2}-x$ θα το εκτιμουσα αν μπορουσες να το εξηγησεις .

minos_94 · 2011-10-31T21:28:26+0200

Αρχική Δημοσίευση από minos_94:
οκ ...πρώτα παραθέτω μια λύση που μ'αρέσει πολύ στο συγκεκριμένο...
$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(2-a)^{2}=a^{2}+a^{2}-4a+4=2a^{2}-4a+4$ H παράσταση παρουσιάζει ελάχιστο το $s=\frac{-D}{4a}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{32-16}{8}=2$ άρα έπεται το ζητούμενο...
...Μιάς και το ζήτησες ..πάρε μια δυσκολούλα..
αν $x\in (0,1)$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-x}$

ο τρόπος με τον οποίο προκύπτει το -1/4 είναι ίδιος με τον παραπάνο...
άρα κακώς την έβαλα...anyway άμα θες δές το απο το βιβλίο της άλγεβρας ...δέν είναι κάτι το δύσκολο...
παρολαυτά εγώ παραθέτω την λύση
$A=\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-2}\Leftrightarrow A=1-\frac{2}{x^{2}-x}$
η παράσταση $x^{2}-x$ παρουσιάζει ελάχιστο το $y_0=\frac{-D}{4a}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4}$
στο $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}\in (0,1)$ άρα $x^{2}-x\geq -\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}-x}\leq -4\Leftrightarrow \frac{2}{x^{2}-x}\leq -8\Leftrightarrow 1-\frac{2}{x^{2}-x}\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\Rightarrow A_m_i_n=9$
υγ...καλά έκανες και μου είπες οτι την βρήκες στο mathematica διότι απο εκεί την βρήκα...
θα βάζω ασκήσεις απο αλλού απο δω και στο εξής...

συνεχίζοντας...
να βρεθούν οι πραγματικοί a για τους οποίους η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{(a-2)x^{2}-2ax+2a-3}$ ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό.

Guest 018946 · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 23:58

Βαζω μια ευκολη με πιθανοτητες μιας και αρκετοι βρισκονται εκει οσο αναφορα την υλη : Εστω ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ενος πειραματος τυχης .Αν $P(A)=P(A \bigcup B') \; \textbox{\kappa \alpha \iota } ;\ P(B)=P(A' \bigcap B)$ Νδο τα ενδεχομενα Α και Β ειναι συμπληρωματικα.

Αρχική Δημοσίευση από akis15:
Λοιπον θα βαλω μια ασκηση ειναι απλη αλλα τη βαζω τωρα για να ζεσταθουμε και μετα θα βαλλω και αλλες....
Αν
χ+y+ω=1 και χ²+y²+ω²=1 και χ³+y³+ω³=1

ΝΔΟ ενας τουλαχιστον απο τους χ,y,ω ειναι μηδεν

μιας και εχει μενει αλυτη ποσταρω λυση: $(x+y+z)^{2}=1 \Leftrightarrow xy+yz+xz=0$ Η τριτη σχεση μπορει να γινει : $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=1-3xyz \Leftrightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)=1-3xy \Leftrightarrow 1=1-3xyz \Leftrightarrow 3xyz=0 \Leftrightarrow xyz=0$ .Αρα τουλαχιστον εκ των $x,y,z$ ειναι μηδεν .Ενταξει η λυση ειναι με καθυστερηση μερικων μηνων αλλα τι πειραζει μωρε ;

Ειχε γινε μαλακια με το Latex αλλα το φτιαξα.

rebel · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 17:23

Από Ευκλείδη B' Tεύχος 81(Άλυτες)

1) Αν $a+b+c=4$ και $a^2+b^2+c^2=10$ να αποδείξετε ότι: $a^3+b^3+c^3-3abc=28$

2)Αν οι αριθμοί $x,y$ με $x\neq -y$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
$A=\frac{x^5-x^4y+xy^2+x^3+x^2y+y^5-xy^4+y^3}{x^3+y^3+x^2y+xy^2}$ είναι φυσικός.

3) Για κάθε $a,b \in \mathbb{R}$ να αποδείξετε ότι $a^4+b^4 \geq a^3b+ab^3$

4)Αν $x,y,z,a \in \mathbb{R}$ με $x+y+z=a$ να αποδείξετε ότι:
i) $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{a^2}{3}$
ii) $xy+yz+zx \leq \frac{a^2}{3}$

5) Αν $a,b>0$ και $a+b=1$ να αποδειχθεί ότι:
i) $ab \leq \frac{1}{4}$
ii) $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\geq 9$
iii) $a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}$

6) Αν $a+b\geq 0$ να αποδείξετε ότι
i) $a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2$
ii) $\frac{a^3+b^3}{2} \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$

7) Aν $a,b>0$ να αποδείξετε ότι
i) $\left(a^4+b^4\right)\left(a^5+b^5\right) \leq 2 \left(a^9+b^9\right)$
ii) $a^8-a^5+a^2-a+1 >0$

8 ) Aπό το όπερ έδει δείξαι
Αν $a,b,c>0$ με $ab+bc+ac=abc$ να αποδείξετε ότι:
$\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{a^2+c^2}{ac}=a+b+c-3$

9) Από την ίδια πηγή με λίγο αλλαγμένα νούμερα
Να βρεθουν οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ αν
$a+b+c=6$
$ab+bc+ac=12$

Guest 018946 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 19:36

Επανερχομαι με λυσεις : φορτσατος :
1) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=16 \Leftrightarrow ab+bc+ac=3$ Στην σχεση που εχουμε να αποδειξουμε την παραγοντοποιω με euler και εχω : $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)=28 \Leftrightarrow 4(10-3)=28 \Leftrightarrow 28=28$ αρα $\mathbb{QED}$
3) $a^{4}-a^{3}b+b^{4}-ab^{3} \geq \Leftrightarrow a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b) \geq 0 \Leftrightarrow (a^{3}-b^{3})(a-b) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2}) \geq 0$ που ισχυει αφου $(a-b)^{2} \geq 0 ;\ \textbox{and} (a+b)^{2}+a^{2}+b^{2} \geq 0$ αρα $\mathbb{QED}$ .
4) $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz=a^{2}$ ποτε αυτη που θελουμε να δειξουμε γινεται :i) $3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz \Leftrightarrow (x-z)^{2}+(y-z)^{2}+(x-y)^{2} \geq 0$ που ισχυει .
Παμε στο δευτερο τωρα : ii) $3xy+3yz+3xz \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz \Leftrightarrow (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \geq 0$ που ισχυει . Σημειωση για να βγαλω της ανισοτητες σαν τετραγωνα πολ/σα με 2 και εκανα ταυτοτητες .
5) α) $a(1-a) \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4a-4a^{2}-1 \leq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^{2} \geq 0$ Απεδειχθη διοτι ισχυει .
β) $1+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ba} \geq 9 \Leftrightarrow \frac{a+b}{b}+\frac{a+b}{a}+\frac{1}{ba} \geq 8 \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ba} \geq 6$ Αρα αρκει να δειξω αυτη που ειναι ισοδυναμη της αρχικης : ομως ξερω οτι : $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ και $\frac{1}{ab}\geq 4$ ( εδω εκανα αντιστροφή) . Προσθετω λοιπον κατα μελη και προκυπτει το ζητουμενο .
γ) Λαθος
6)i) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-ab(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a+b)(a^{2}-2ab+b^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2} \geq 0$ που ισχυει διοτι $a+b \geq 0$ και $(a-b)^{2}\geq 0$ που ισχυει .
ii) $4(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab) \geq (a+b)^{3} \Leftrightarrow 3a^{3}+3b^{3}-3a^{2}b-3ab^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^[2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2} \geq 0$ που ισχυει .

Αγγελική!!! · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 20:25

Ένα εύκολο testaki

που μας έβαλαν στο σχολείο μου για τις πιθανότητες-->
Από τους μαθητές ενός λυκείου το 60% παίζει ποδόσφαιρο, το 60% δεν παίζει μπάσκετ και το 20% ασχολείται και με τα δύο αθλήματα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή.
Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων-->
α) Να ασχολείται με το μπάσκετ
β) Να ασχολείται με ένα τουλάχιστον από τα δύο αθλήματα
γ) Να μην ασχολείται με κανένα από τα δύο αθλήματα
δ) Να ασχολείται μόνο με το ποδόσφαιρο
ε) Να ασχολείται με ένα μόνο από τα δύο αθλήματα
ζ) Να ασχολείται το πολύ με ένα από τα δύο αθλήματα

Guest 018946 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 20:39

Για την 7 τωρα : θεωρω $a \geq b$ οποτε εχω $-a^{9}-b^{9}+a^{4}b^{5}+b^{4}a^{5} \leq 0 \Leftrightarrow -b^{5}(b^{4}-a^{4)}+a^{5}(b^{4}-a^{4}) \leq 0 \Leftrightarrow ;\ (a^{5}-b^{5})(b^{2}+a^{2})(a+b)(b-a) \leq 0$ που ισχυει αφου αυτο το γινομενο ειναι αρνητικο ή ισο με το μηδεν .

Αγγελική!!! · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 20:48

Και άλλη μία άσκηση για παραγοντοποίηση-->
α) ${\alpha }^{3}+{\beta }^{3}+{\gamma }^{3}-3\alpha \beta \gamma =$
β) ${\alpha }^{4}+{\beta }^{4}+{\gamma }^{4}-2{\alpha }^{2}{\beta }^{2}-2{\beta }^{2}{\gamma }^{2}-2{\gamma }^{2}{\alpha }^{2}$

Guest 018946 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 20:52

Αρχική Δημοσίευση από Αγγελική!!!:
Ένα εύκολο testaki που μας έβαλαν στο σχολείο μου για τις πιθανότητες-->
Από τους μαθητές ενός λυκείου το 60% παίζει ποδόσφαιρο, το 60% δεν παίζει μπάσκετ και το 20% ασχολείται και με τα δύο αθλήματα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή.
Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων-->
α) Να ασχολείται με το μπάσκετ
β) Να ασχολείται με ένα τουλάχιστον από τα δύο αθλήματα
γ) Να μην ασχολείται με κανένα από τα δύο αθλήματα
δ) Να ασχολείται μόνο με το ποδόσφαιρο
ε) Να ασχολείται με ένα μόνο από τα δύο αθλήματα
ζ) Να ασχολείται το πολύ με ένα από τα δύο αθλήματα

Δινω λυσεις λοιπον : θεωρω ενδεχομενα Α : παιζει ποδοσφαιρο και Β : παιζει μπαλα απο τα δεδομενα εχω . $P(A)=60 \%$ , $P(A \bigcap B ) =20 \%$ και $P(B')=60\%$
α) $P(B)= 40\%$
β) $P(A \bigcup B )=P(A)+P(B)-P(A \bigcap B ) \Leftrightarrow P(A \bigcup B ) =80 \%$
γ) $P((A \bigcup B)')=20 \%$
δ) $P(A-B)=P(A)-P(A \bigcap B) \Leftrightarrow P(A-B)=40\%$
ε) $P((A-B) \bigcup (B-A)) =60 \%$
ζ) $P((A \bigcap B )')=1-P(A \bigcap B) \Leftrightarrow P((A \bigcap B )')=80 \%$

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Από Ευκλείδη B' Tεύχος 81(Άλυτες)

9) Από την ίδια πηγή με λίγο αλλαγμένα νούμερα
Να βρεθουν οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ αν
$a+b+c=6$
$ab+bc+ac=12$

δινω λυση : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)=36 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$ αφαιρω κατα μελη αυτην που βγαλαμε τωρα με την δευτερη που μας δοθηκε $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc=0 \Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ac-2bc-2ab=0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$ οποτε $a=b=c$ αντικαθιστω στην πρωτη και εχω $3a^{2}=12 \Leftrightarrow c=b=a=2$ το -2 αποριπτεται γιατι δεν επαληθευει την πρωτη .

ρε Κωστα τι προβλημα εχει ο κωδικας μου ;
Δεν το βλεπω

Aris1412 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 21:42

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α , β & γ ισχύει η σχεση : (α+β+γ)² = 3(α²+β²+γ²)

Ν.δ.ο α = β = γ

Guest 018946 · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 21:50

Αρχική Δημοσίευση από Aris1412:
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α , β & γ ισχύει η σχεση : (α+β+γ)² = 3(α²+β²+γ²)

Ν.δ.ο α = β = γ

ευκολακι : $-2a^{2}-2b^{2}-2c^{2}+2(ab+ac+bc)=0 \Leftrightarrow a^{2}+c^{2}-2ac+a^{2}+b^{2}-2ab+c^{2}+b^{2}-2bc=0 \Leftrightarrow (a-c)^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$ αρα : $a=b=c$

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Από Ευκλείδη B' Tεύχος 81(Άλυτες)

8 ) Aπό το όπερ έδει δείξαι
Αν $a,b,c>0$ με $ab+bc+ac=abc$ να αποδείξετε ότι:
$\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{a^2+c^2}{ac}=a+b+c-3$

Κωστα πολυ ωραια ασκηση την προσπαθησα για κανα πενταλεπτο την παρατησα και μετα εφαγα φλασια καθως εβλεπα τηλεοραση . λοιπον παμε στην λυση : $c(a^{2}+b^{2})+a(b^{2}+c^{2})+b(a^{2}+c^{2})=(ab+bc+ac)(a+b+c)-3abc \Leftrightarrow ca^{2}+cb^{2}+ab^{2}+ac^{2}+ba^{2}+bc^{2}=ca^{2}+cb^{2}+ab^{2}+ac^{2}+ba^{2}+bc^{2}+abc+abc+abc-3abc \Leftrightarrow 0=0$ Αρα αποδειχθηκε .

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Από Ευκλείδη B' Tεύχος 81(Άλυτες)

2)Αν οι αριθμοί $x,y$ με $x\neq -y$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
$A=\frac{x^5-x^4y+xy^2+x^3+x^2y+y^5-xy^4+y^3}{x^3+y^3+x^2y+xy^2}$ είναι φυσικός.

Παμε και σε αυτη που εμεινε : $A= \frac{x^{4}(x-y)-y^{4}(x-y)+xy(x+y)+(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+xy(x+y)}<br /> \Leftrightarrow A=\frac{(x^{2}-y^{2})(x-y)+(x+y)(x^{2}+y^{2})}{(x+y)(x^{2}+y^{2})} \Leftrightarrow A=\frac{(x+y)(x^{2}+y^{2})[(x-y)^{2}+1]}{(x+y)(x^{2}+y^{2}} \Leftrightarrow A=(x-y)^{2}+1 > 0$ ως αθροισμα θετικων και αφου $(x-y)^{2}$ ακεραιος ως τετραγωνο διαφορας ακαιρεων το Α θα ειναι φυσικος αφου θα ειναι ταυτοχρονα ακεραιος και θετικος .

rebel · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 10:30

Ωραια! Αν δεν κάνω λάθος έμεινε μόνο η 7 ii) για την οποία δεν έχω ακόμα λύση :redface:

Guest 018946 · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 10:48

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ωραια! Αν δεν κάνω λάθος έμεινε μόνο η 7 ii) για την οποία δεν έχω ακόμα λύση

κατι δεν μου κολλαει με αυτη την ασκηση. :hmm:

transient · 6 Νοεμβρίου 2011 στις 12:03

την δική μου την άσκηση την κλάσατε

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Guest 018946

Επισκέπτης

Διάσημο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος