Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

ξαροπ · 26 Μαρτίου 2012 στις 17:21

Στο πρόβλημα της σκακιέρας συμπεριλάβατε τα τετράγωνα με κορυφές τις κορυφές των 1x1,...8x8 τετραγώνων και πλευρές τις διαγωνίους των τετραγώνων;

Για παράδειγμα, ένα 2x2 τετράγωνο περιέχει μέσα του και ένα $\sqrt{2}$ x ${\sqrt{2}$ τετράγωνο.

Χαρουλιτα · 26 Μαρτίου 2012 στις 17:23

Oχι, η ασκηση δεν απαιτει και αυτα!
Διαφορετικα, θα ηταν απειρα...

MANOLIS_X3!!! · 3 Απριλίου 2012 στις 00:40

ειναι: x^2 +y^2 +z^2 +2xyz >= 4sqrt4(x^3y^3z^3) <=> xyz=<1/8

η συνεχεια δε μου βγαινει.
please vale lisi

rebel · 11 Απριλίου 2012 στις 21:19

Αντιγράφω την λύση όπως την βρήκα από το βιβλίο Old and New Inequalities του Titu Andreescu. Αν κάποιο από τα $x,y,z$ ήταν μεγαλύτερο του 1 τότε θα ήταν $x^2+y^2+z^2+2xyz > 1$ . Άρα αναγκαστικά $x,y,z \in (0,1) \Rightarrow 1-x,1-y,1-z>0$ . Θέτουμε $s=x+y+z$ οπότε

$2(1-x)(1-y)(1-z)=$
$= 2-2(x+y+z)+2(xy+xz+yz)-2xyz \stackrel{x^2+y^2+z^2+2xyz = 1}{=}s^2-2s+1\,(*)$

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και την σχέση (*) έχουμε

$\displaystyle s^2-2s+1 = 2(1-x)(1-y)(1-z) \leq 2\left( \frac{1-x+1-y+1-z}{3} \right)^3 = 2\left( \frac{3-s}{3}\right)^3$

Μετά από πράξεις από την παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι

$\displaystyle 2s^3+9s^2-27 \leq 0 \Rightarrow (2s-3)(s+3)^2 \leq 0 \Rightarrow s \leq \frac{3}{2}$

Όπως βλέπουμε η συγκεκριμένη λύση κάθε άλλο παρά τετριμμένη είναι. Προσπάθησα να βρω μία απόδειξη που να αξιοποιεί το δεδομένο $xyz \leq 1/8$ , το οποίο πολύ όμορφα έδειξε ο Μανώλης, χωρίς όμως αποτέλεσμα. Αν η Χαρουλίτα έχει κάποια τέτοια απόδειξη υπ' όψιν ας την ανεβάσει αν δεν είναι κόπος.

ξαροπ · 20 Απριλίου 2012 στις 16:04

Για να δούμε κάτι που έχει να κάνει και με τον αριθμό e.

Αρχικά αν $a > b$ μπορείτε να δείτε ότι ισχύει $n(a-b)b^{n-1} < a^n - b^n < n(a-b)a^{n-1}$ για n ακέραιο μεγαλύτερο της μονάδας.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω χρήσιμη παρατήρηση, αποδείξτε την παρακάτω ανισότητα (γνωστή και ως Bernoulli):

$(1+x)^n \geq 1 + nx$ (x > -1)

Τώρα, για κάθε $k \geq 2$ ορίζουμε $c_k = (1 + \frac{1}{k})^k$ .

Με τη βοήθεια των παραπάνω δείξτε ότι

i) $c_k > 2$
ii) $c_k < c_{k+1}$
iii) $\frac{c_{k+1}}{c_k} < 1 + \frac{1}{k^2 +2k}$

Επίσης με τη βοήθεια του διωνυμικού αναπτύγματος δείξτε ότι

$c_k = 2 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{k}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{k})(1-\frac{2}{k}) + ... + \frac{1}{k!}(1-\frac{1}{k})(1-\frac{2}{k})...(1-\frac{k-1}{k})$

και τέλος από αυτό δείξτε ότι $c_k < 2 + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{k!} < 3$

Ο μικρότερος αριθμός e με την ιδιότητα $c_k < e$ για κάθε φυσικό κ λέγεται βάση του φυσικού λογαρίθμου (ή αλλιώς είναι γνωστός ως αριθμός Euler) και είναι άρρητος. (περίπου ίσος με 2,718 )

demetr · 21 Απριλίου 2012 στις 17:00

Αρχική Δημοσίευση από MANOLIS_X3!!!:
ειναι: x^2 +y^2 +z^2 +2xyz >= 4sqrt4(x^3y^3z^3) <=> xyz=<1/8

η συνεχεια δε μου βγαινει.
please vale lisi

Συμφωνα με την ανισοτητα του Euler εχουμε α^3 + β^ 3 + γ^3 >= 3αβγ =>
α+β+γ >= 3 επι την τριτη ριζα του αβγ
Αρα: x+y+z >= 3 επι την 3η ριζα του xyz
x+y+z <= 3 επι 3η ριζα του 1/8 (που ισουται με 1/2)
x+y+z <= 3 .1/2
x+y+z<= 3/2
Ας μου πει καποιος που μπορω να βρω το latex η πως μπορω να γραφω τις δυναμεις και τις ριζες χωρις αυτο (εαν γινεται)

Guest 018946 · 21 Απριλίου 2012 στις 17:57

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Για να δούμε κάτι που έχει να κάνει και με τον αριθμό e.

Αρχικά αν $a > b$ μπορείτε να δείτε ότι ισχύει $n(a-b)b^{n-1} < a^n - b^n < n(a-b)a^{n-1}$ για n ακέραιο μεγαλύτερο της μονάδας.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω χρήσιμη παρατήρηση, αποδείξτε την παρακάτω ανισότητα (γνωστή και ως Bernoulli):

$(1+x)^n \geq 1 + nx$ (x > -1)

Τώρα, για κάθε $k \geq 2$ ορίζουμε $c_k = (1 + \frac{1}{k})^k$ .

Με τη βοήθεια των παραπάνω δείξτε ότι

i) $c_k > 2$
ii) $c_k < c_{k+1}$
iii) $\frac{c_{k+1}}{c_k} < 1 + \frac{1}{k^2 +2k}$

Επίσης με τη βοήθεια του διωνυμικού αναπτύγματος δείξτε ότι

$c_k = 2 + \frac{1}{2!}(1-\frac{1}{k}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{k})(1-\frac{2}{k}) + ... + \frac{1}{k!}(1-\frac{1}{k})(1-\frac{2}{k})...(1-\frac{k-1}{k})$

και τέλος από αυτό δείξτε ότι $c_k < 2 + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{k!} < 3$

Ο μικρότερος αριθμός e με την ιδιότητα $c_k < e$ για κάθε φυσικό κ λέγεται βάση του φυσικού λογαρίθμου (ή αλλιώς είναι γνωστός ως αριθμός Euler) και είναι άρρητος. (περίπου ίσος με 2,718 )

Επειδη το πρωτο το κοβω καπως ζορικο θα το παω επαγωγικα λοιπον θα πω για $k=1$ ισχυει τετριμενα .

Θα υποθεσω οτι για ισχυει για καθε $k$ αρα αρκει να δειξω οτι ισχυει για καθε $k+1$
δηλαδη οτι ισχύει αυτο $(x+1)^{k+1} > 1+(k+1)x$ Για να εμφανισω το $+1$ πανω στον εκθετη θα παω να πολλαπλασιασω το $(x+1)^k > 1+kx$ που εχω υποθεσει οτι ισχύει , με $x+1$
Και θα πάει $(x+1)^{k+1}>(x+1)(1+kx)=x+x^2k+1+kx>1+kx+x$ άρα ισχύει .

πάμε για το δευτερο $(1+\frac{1}{k})^k > +1+\frac{k}{k}=2$ ΟΕΔ και αυτο .

Τα υπολοιπα εν καιρο .

demetr · 21 Απριλίου 2012 στις 19:05

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Επειδη το πρωτο το κοβω καπως ζορικο θα το παω επαγωγικα λοιπον θα πω για $k=1$ ισχυει τετριμενα .

Θα υποθεσω οτι για ισχυει για καθε $k$ αρα αρκει να δειξω οτι ισχυει για καθε $k+1$
δηλαδη οτι ισχύει αυτο $(x+1)^{k+1} > 1+(k+1)x$ Για να εμφανισω το $+1$ πανω στον εκθετη θα παω να πολλαπλασιασω το $(x+1)^k > 1+kx$ που εχω υποθεσει οτι ισχύει , με $x+1$
Και θα πάει $(x+1)^{k+1}>(x+1)(1+kx)=x+x^2k+1+kx>1+kx+x$ άρα ισχύει .

πάμε για το δευτερο $(1+\frac{1}{k})^k > +1+\frac{k}{k}=2$ ΟΕΔ και αυτο .

Τα υπολοιπα εν καιρο .

Η ανισοτητα Bernoulli (την οποια μπορει να βρει κανεις αναλυτικοτερα στην σελιδα 93 του βιβλιου ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α Λυκειου του κ. Μπαμπη Στεργιου) νομιζω οτι με την εφαρρμογη της για x=1/k και n=k μας δινει αμεσως το ζητουμενο απο το i

Guest 018946 · 21 Απριλίου 2012 στις 19:09

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
Η ανισοτητα Bernoulli (την οποια μπορει να βρει κανεις αναλυτικοτερα στην σελιδα 93 του βιβλιου ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α Λυκειου του κ. Μπαμπη Στεργιου) νομιζω οτι με την εφαρρμογη της για x=1/k και n=k μας δινει αμεσως το ζητουμενο απο το i

Αυτο εκανα ρε μαν .

demetr · 21 Απριλίου 2012 στις 20:15

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Αυτο εκανα ρε μαν .

Καλα λες...απλα μου φανηκε λιγο μεγαλη η παρουσιαση...μια αλλη πιο μικρη λυση για το i βασιζομενη στην ανισοτητα του Bernoulli ειναι:
Cκ=(1 +1/k)^k >= 1+k.1/k = 1+1 = 2
Να ξαναπω παλι..οποιος μπορει να με βοηθησει με το latex ας το κανει
Επισης Ιασων,μια και περασες τωρα στην Ελληνικηα μαθηματικη ομαδα (και συγχαρητηρια!!!) ανισοτητες οπως ειναι του bernoulli του holder του cauchy κλπ. θελουν και αποδειξη για να τις χρησιμοποιησεις?

Guest 018946 · 21 Απριλίου 2012 στις 20:31

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
Καλα λες...απλα μου φανηκε λιγο μεγαλη η παρουσιαση...μια αλλη πιο μικρη λυση για το i βασιζομενη στην ανισοτητα του Bernoulli ειναι:
Cκ=(1 +1/k)^k >= 1+k.1/k = 1+1 = 2
Να ξαναπω παλι..οποιος μπορει να με βοηθησει με το latex ας το κανει
Επισης Ιασων,μια και περασες τωρα στην Ελληνικηα μαθηματικη ομαδα (και συγχαρητηρια!!!) ανισοτητες οπως ειναι του bernoulli του holder του cauchy κλπ. θελουν και αποδειξη για να τις χρησιμοποιησεις?

Λοιπον μαν μπουκαρεις εδω https://ischool.e-steki.gr/equationeditor/equationeditor.php γραφεις οτι θες να γραψεις ( θελει λιγο εξερευνηση στην αρχη ) και μετα οπως εισαι πας πατας ενα copy βαζεις δυο ετικετες $εδω μεσα θα βαλεις το κοπυ [,/latex] χωρις το , το δευτερο λατεκι .<br /> <br /> Για το δευτερο που λες , οχι δεν χρειαζονται αποδειξη .$

ξαροπ · 21 Απριλίου 2012 στις 20:59

Αρχική Δημοσίευση από demetr:
Αρα: x+y+z >= 3 επι την 3η ριζα του xyz
x+y+z <= 3 επι 3η ριζα του 1/8 (που ισουται με 1/2)

Εδώ υπάρχει ένα θέμα. Έχεις δείξει ότι $xyz \leq \frac{1}{8}$ και $3\sqrt[3]{xyz} \leq x+y+z$

αλλά δεν συνεπάγεται από αυτά το δεύτερο σκέλος! Είναι σα να λες $a<b, a<c \Rightarrow c<b$

(γενικά η παραπάνω ανισότητα μάλλον ξεφεύγει κατά πολύ από το τόπικ)

Τάσο καλή η επαγωγή αλλά δες τι μπορείς να κάνεις και με τη βοηθητική σχέση που γράφω πάνω-πάνω. (και πρόσεξε ότι x > -1 και όχι απλά x > 0)

Δε νομίζω οι παραπάνω ανισότητες να χρειάζονται απόδειξη (τουλάχιστον η Cauchy-Schwarz που είναι η βασικότερη μάλλον)! Εκτός αν χρησιμοποιείται κάποια ανισότητα άγνωστη, εκεί ίσως χρειαστούν δυο λόγια.

demetr · 22 Απριλίου 2012 στις 22:33

$x.y.z\geq 3.\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow x.y.z\leq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\Leftrightarrow x.y.z\leq 3.\frac{1}{2}\Leftrightarrow x.y.x\leq 3.\frac{1}{2}$

Τασο επεξεργασου λιγο το κειμενο μου και μαντο σωστα.Ιασων η φορα αλλαζει επειδη $x.y.z\leq \frac{1}{8}$ ... Αρα $3.\sqrt[3]{xyz}\leq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Guest 018946 · 24 Απριλίου 2012 στις 00:52

Μιας και βλεπω τα τσακαλακια στο θεμα της Γ να βαζουν διαγωνισματα βαζω ενα εδω ,

Σχολιο : Το 4° ειναι καπως τσουχτερο,και τα γραμματα καπως για τον πουτσο .

Επειδη μου ζητηθηκε βαζω καλυτερα την ανισωση του 4

: $(x^2+6)^3+2(x^2+6)-125x^3-10x <0$

rebel · 24 Απριλίου 2012 στις 05:50

Απ' το 4ο νομίζω το α) και το δ) τα έχουμε δει κι εδώ παρόμοια ή κάνω λάθος;

Guest 018946 · 24 Απριλίου 2012 στις 14:37

Δε κανεις λαθος , αμα ειναι μπορω να τα αλλαξω και να βαλω κατι πιο δυσκολο .

Guest 018946 · 1 Μαΐου 2012 στις 19:35

21258d1305119165-necro-thread_crap_wont_die_re_mega_zombie_forum-s300x371-97014-580.jpg

Guest 018946 · 4 Μαΐου 2012 στις 13:52

Βαζω εγω μια μπας και υπαρξει κινηση στο θεμα :

Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση :
$\left(x^{2}+x+1 \right)^{3}\left(x^{12}+1 \right)=54x^{9}$

rebel · 4 Μαΐου 2012 στις 17:00

Η εξίσωση φανερά δεν έχει αρνητικές λύσεις (αν είχε, τότε το δεξί μέλος θα ήταν θετικός αριθμός και το αριστερό αρνητικός αριθμός ). Για $x \geq 0$ έχουμε
$(x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+x+1 \geq 3x \Rightarrow \left(x^2+x+1\right)^3 \geq 27x^3,\,(1)$
$\left(x^6-1\right)^2 \geq 0 \Rightarrow x^{12}+1 \geq 2x^6,\,(2)$
Πολλαπλασιάζουμε (1) και (2) και παίρνουμε
$\left(x^2+x+1\right)^3\left(x^{12}+1\right)\geq 54 x^9$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x=1$

Μία άσκηση
Δίνεται η συνάρτηση $f: A \to \mathbb{R}$ με $A \neq \mathbb{R}$ και
$f(x)=\frac{x^2-2}{x^2-2\sqrt{2|\lambda|}\cdot x + \lambda^2 +1}$
a) Να δείξετε ότι $|\lambda|=1$
β)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Κι άλλη μία
Δείξτε ότι
$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{99}{100}<\frac{1}{10}$
(Διόρθωση του παρονομαστή στο δεξί μέλος. Είναι 1/10 αντί 1/12. Συγγνώμη αν ταλαιπώρησα κάποιον)

akis95 · 4 Μαΐου 2012 στις 17:43

Και εμενα αυτή ήταν η λύση μου αλλά δεν πρόλαβα να τη βάλω τεσπα δεν πειράζει

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος