Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[riemann80]

μια συνεχης και μη σταθερη συναρτηση ενδεχομενως να ειναι γνησιως μονοτονη σε καποια διαστηματα (αυτο θελει αποδειξη βεβαια).εσυ απερριψες το ενδεχομενο να ναι το (0,+απειρο) ενα τετοιο διαστημα.και ποιος λεει οτι δεν ειναι αυξουσα στο (1,2)?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

διαγωνισμα στις συναρτησεις και στα ορια

στο 4β το οριο ειναι στο 0 και οχι στο + απειρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[P_Afroditi]

Δύσκολη άσκηση!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Semfer]

γιατι?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[who]

Τι έγινε; Κανείς; Ελπίζω να την προσπαθήσουν οι μαθητές. Όποιος θέλει υπόδειξη ας μου πει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[menenick]

αντε καλε ... αφηστε τις ντροπες και γραφτε καμια ιδεα..!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DimiMoli]

Για το α έχω τη λύση:
Στη δοσμένη σχέση θέτεις όπου 1/χ
Μετά πολλαπλασιάζεις επί χ^2
Και έχεις κρ. παρεμβ. για το lim χ^2*f(x) που βγαίνει 1
χ-->0
Οπότε το ζητούμενο όριο είναι μείον άπειρο.

Το γ είναι προφανές:Από τη δοσμένη σχέση, βρίσκεις τα όρια του χ^2 +1 και του χ^2+2 στο συν άπειρο, που είναι συν άπειρο, οπότε το όριο της f είναι συν άπειρο.
Τα υπόλοιπα θέλουν σκέψη...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paganini666]

το δ με προβληματιζει λιγο...
-----------------------------------------
το β ειναι 1/3 ετσι?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[giannisb]

Αν f:A->R συνεχής και 1-1 τότε η αντίστροφη της είναι συνεχής...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DimiMoli]

Το β θέλει κανά 2-3 κριτήρια παρεμβολής, όπως το βλέπω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[sir ImPeCaBlE]

@paganini εγώ το β το βρήκα 0.


Άκυρο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

Στο πρώτο η ιστορία είναι να θέσεις u=1/x και μετά να πας στη δοσμένη ανισοτική σχέση και να διαιρέσεις με χ^2>0 και να κάνεις παρεμβολής εκεί απ όπου προκύπτει
lim[u->+oo](f(x)*1/x^2]=1 και τελικά το ζητούμενο όριο βγαίνει -οο

Στο δεύτερο βγάζεις πάνω κάτω κοινό παράγοντα το χ^2, απλοποιείς τα χ^2 και μένει πάνω f(x)*1/x^2 που είναι γνωστό απ το α (=1) και κάτω
3 +(συνχ)/χ^2. Το τριγωνομετρικό βγαίνει με παρεμβολής 0, άρα το ζητούμενο είναι 1/3.

Στο τρίτο παρεμβολής για την δοσμένη ανισοτική, +οο

Στο τέταρτο κοινό παράγοντα απ την (f(x) +1) το χ^2, και έχουμε +οο*α*1, όπου α<Ο (αφού το σύνθετο τριγωνομετρικό είναι απροσδιόριστο αλλά είναι bounded αρνητικός πραγματικός αριθμός.
Άρα -οο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paganini666]

για το β ρε παιδια αφου στο γ δειχνουμε οτι η

η f-1 προφανως εχει D το R.Αρα η f που εχει συνολο τιμων το πεδιο ορισμου της αντισροφης εχε f(Α) το R.
To μονο προβλημα νομιζω ειναι οτι χρησιμοποιω κατι που θα δειξω μελλοντικα στην ασκηση και οχι κατι που εδειξα προηγουμενως οπως γινεται συνηθως...
-----------------------------------------
Εμπνευση για το β.
Εστω οτι η f φρασσεται προς τα πανω===>υπαρχει κ ε R:f(x)<κ για καθε χεR (1)
===> f(x)^3<κ^3 ==>(απο υποθεση) x-2f(x)<κ^3 ==> x<k^3+2f(x)==>(1)x<k^3+2k AΤΟΠΟ γιατι xεR (δεν φρασσεται)
Παρομοιως εστω οτι φρασσεται προς τα πανω.....Ατοπο
Αρα η f δν φρασσεται ουτε προς τα πανω ουτε προς τα κατω.
Αρα εχει συνολο τιμων το R
Βεβαια προυποθεση για να ισχυει η τελευταια συνεπαγωγη ειναι να ειναι η f συνεχεις ωστε να παιρνει ολες τις τιμες στο R κατι ομως που αποδεικνυεται στο (δ)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paganini666]

το αναλυεις λιγο περισσοτερο το δ γιατι ειναι αρνητικο το τριγωνομετρικο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

μια συνεχης και μη σταθερη συναρτηση ενδεχομενως να ειναι γνησιως μονοτονη σε καποια διαστηματα (αυτο θελει αποδειξη βεβαια).εσυ απερριψες το ενδεχομενο να ναι το (0,+απειρο) ενα τετοιο διαστημα.και ποιος λεει οτι δεν ειναι αυξουσα στο (1,2)?

Έχετε δίκιο.
Άντε να το πάρει το ποτάμι λοιπόν. :iagree:Δώστε τη λύση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

Τώρα που πιάσαμε κουβέντα για τις ένα προς ένα..
Είναι σωστό να λέμε ότι η αντίστροφη μιας συνάρτησης όταν αυτή ορίζεται είναι συμμετρικής αυτής ως προς την ψ=χ?
Κάποιος μου είπε ότι σε ορισμένες γίνεται με την ψ=-χ?
Τελικά ποιο είναι το σωστό και πότε συμβαίνει το 2ο?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

το αναλυεις λιγο περισσοτερο το δ γιατι ειναι αρνητικο το τριγωνομετρικο

Ναι.. αν θεωρήσεις τη παρένθεση μία συνάρτηση g(x)=ημ^3(χ)+συν(χ)-4
τότε αυτή είναι περιοδική και η γ.π. αυτής είναι σίγουρα κάτω από το -2 και σίγουρα πάνω απ το -6 λόγω του ότι -1<=συνχ,ημχ<=1 και είναι περιοδικές συναρτήσεις. Π.χ το όριο του ημχ-2 στο +οο δεν το ξέρεις αλλά αν είναι l το όριο είναι -3<=l<=-1 Κάτσε να δω αν μπορώ να βγάλω μία γ.π. να σου δείξω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[bobiras11]

Έχω φάει κόλλημα με αυτή..
Αν f συνεχής νδο, αν ισχύει f(1/3)+f(2/3)=32/9, τότε η f(x)=2 έχει τουλάχιστον μιά πραγματική ρίζα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

απο την υποθεση εχουμε f(1/3)+f(2/3)=32/9>2 αρα ενας απο τους αριθμους f(1/3),f(2/3) ειναι μεγαλυτερος του 2 και εστω f(1/3)>2.τοτε f(2/3)<2 διοτι αν f(2/3)>=2 με προσθεση εχουμε f(1/3)+f(2/3)>=4>32/9 ατοπο.

επομενως f(2/3)<2<f(1/3) οποτε με bolzano στην f(x)-2 στο [1\3,2\3] εχουμε το ζητουμενο.η αλλη περιπτωση ειναι ομοια

πολυ ωραια ασκηση!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.