Μαθηματικά - Οι καλύτερες ασκήσεις.

[statistikos]

Μηδαμινή σημασία, το θέμα είναι ότι ο γιός έκανε μεγάλη χοντράδα.

(ακολουθία είναι ή αύξουσα πρόοδος? Ή και τα δύο? Τώρα διαβάζω για αυτά)

Γεωμετρική πρόοδος. Το συγκεκριμένο πρόβλημα με το μάτι φαίνεται, δεν χρειάζεται ανάλυση. Θα είχε ενδιαφέρον αν έλεγε στο γιο θα σου δίνω το διπλάσιο ποσό κάθε τέσσερις εβδομάδες (κάθε μήνα). Μάλλον μπερδεύτηκε η κοπέλα. Αν του διπλασίαζε το ποσό κάθε εβδομάδα, στο τέλος θα έπαιρνε κάτι εκατομμύρια. Πρέπει να την γνωρίσω στον πατέρα μου...

Πάμε ένα άλλο:

Πάνε 3 φίλοι σε ένα ξενοδοχείο. Ρωτάνε πόσο κάνει η μία βραδιά; Τους λέει ο ξενοδόχος 30 ευρώ. Δίνει 10 ο καθένας. Το σκέφτεται μετά, και λέει έλα μωρέ πιτσιρικάδες ήταν ας τους επιστρέψω πίσω 5 ευρώ. Τα δίνει στην καθαρίστρια να τους τα δώσει. Πάει λοιπόν αυτή και τους λέει: Παιδιά, 27 θα σας χρεώσουμε μόνο, πάρτε πίσω από 1 ευρώ ο καθένας. Βάζει λοιπόν και αυτή 2 στην τσέπη...

Έχουμε και λέμε:

Ο καθένας πλήρωσε 9 ευρώ (10-1) επί 3 = 27 ευρώ
Συν 2 της καθαρίστριας που τα έβαλε στην τσέπη; 29 ευρώ!

Που είναι το ευρώ;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DENKAP]

To ευρό δεν πήγε πουθενά.Είναι εκει που έπρεπε να είναι........στο ταμείο..........Απλά υπάρχει λάθος στον συλλογισμό

έχουμε->9(10-1)*3=27(μέχρι εδώ οκ)
αλλα δεν πρέπει να πούμε συν τα 2 ευρώ της καθαρίστριας,αλλά μειον τα 2 ευρώ της καθαρίστριας (27-2=25)που είναι όσα έμειναν στο ταμείο...


(πολύ έξυπνο το πρόβλημα)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Boom]

δεν εμεινε στο ταμειο!
εκανε ζαβολια η καθαρηστιρια και αντι να τους δωσει 5 ευω τους εδωσε 3 και τα αλλα τα κρατησε για αυτην!:p

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DENKAP]

Βάζει λοιπόν και αυτή 2 στην τσέπη...

Αυτό μας το δίνει σαν δεδομένο......Απλα ρωτάει για ποιο λόγο δεν βγαίνει σωστή η πρόσθεση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Boom]

ναι οκ απλα ειπες πως το ενα ευρο ειναι εκει που επρεπε να ειναι,δηλαδη στο ταμειο!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DENKAP]

Σχετικα με το +*+=+, +*-=-, -*-=+ βρίκατε καμία απόδειξη?Ειλικρινά,μόνο φιλοσοφικά μπορω να προσεγγίσω το θέμα αυτό....Η αλήθεια είναι οτι πάντα αναρωτιόμουν αν υπάρχει μαθηματική απόδειξη γι'αυτό.....Λοιπόν?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

Σχετικα με το +*+=+, +*-=-, -*-=+ βρίκατε καμία απόδειξη?Ειλικρινά,μόνο φιλοσοφικά μπορω να προσεγγίσω το θέμα αυτό....Η αλήθεια είναι οτι πάντα αναρωτιόμουν αν υπάρχει μαθηματική απόδειξη γι'αυτό.....Λοιπόν?

σχετικα με το +*+=+ δωθηκε η εξης αποδειξη σε προηγουμενο ποστ :
α>o
β>0(πολ/μος κατα μελη)
αβ>0
αυτα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[amalfi]

σχετικα με το +*+=+ δωθηκε η εξης αποδειξη σε προηγουμενο ποστ :
α>o
β>0(πολ/μος κατα μελη)
αβ>0
αυτα

γιατι μπορουμε να πολλαπλασιασουμε κατα μελη μ' αυτον τον τροπο?


για το + + -> + δε μου χρειαζεται καποια ιδιαιτερη αποδειξη (μου φαινεται προφανες).

απο την προσθεση των φυσικων..
οσο βαζουμε πετρες τοσο πιο πολλες εχουμε.. αν τις μετρησουμε [χρονο να χουμε] θα φτασουμε σ' εναν φυσικο αριθμο

Η αλήθεια είναι οτι πάντα αναρωτιόμουν αν υπάρχει μαθηματική απόδειξη γι'αυτό

κι εγω αναρωτιεμαι (?)

μια "εξηγηση" ειναι οτι αν οριστουν ετσι τοτε γενικευονται οι "επιθυμητες" ιδιοτητες (επιμεριστικη, προσεταιριστικη..)
ενω αν οριστουν αλλιως οχι

Ειλικρινά,μόνο φιλοσοφικά μπορω να προσεγγίσω το θέμα αυτό

εγω ουτε φιλοσοφικα

πες μας αν θες!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Chris1993]

νομίζω πως έχεις ένα λαθάκι εδώ πέρα:nono:... 1η εβδομάδα θα έπαιρνε 0,5 , την 2η 1 , την 3η 2 , την 4η 4 ! και όχι 3 (γιατί αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα, για την 4η έχουμε 2 επί 2):no1::no1::no1:

Ναί εγώ έκανα λάθος (λογω βιασύνης) !
-----------------------------------------

Ορίστε ένα ωραίο πρόβλημα β γυμνασίου που λύνεται με σύστημα εξισώσεων :
Σε ένα διαστημόπλοιο ταξιδεύουν εξωγήινοι κόκκινου, κίτρινου, και μπλε χρώματος. Κάθε κόκκινος έχει 2 χέρια. Κάθε κίτρινος έχει 3 και κάθε μπλε έχει 5. Αν όλα τα χέρια των εξωγήινων είναι 150, το σύνολο των χεριών όλων των κίτρινων είναι διπλάσιο από των κόκκινων, και το σύνολο των χεριών των μπλε είναι ίσο με το άθροισμα των χεριών των κόκκινων και των κίτρινων, να βρεθεί πόσοι είναι συνολικά οι μπλε εξωγήινοι.
Άντε, ευκολάκι είναι

x = κόκκινοι εξωγήινοι
y = κίτρινοι εξωγήινοι
z = μπλέ εξωγήινοι

2x + 3y + 5z = 150 (1)
3y = 2*(2x) <=> 3y = 4x (2)
5z = 2x + 3y (3)

Απλά , απο (1) και (3) 5z + 5z = 150 <=> 10z=150 <=> z=15
Επίσης , 15*5 = 75 (τα χέρια των μπλέ εξωγήινων).
150 - 75 = 75
Άρα 2x + 3y = 75 .
Απο (2) έχουμε 2x + 4x = 75 <=> 6x =75 <=> x=12,5
Έτσι 12,5*2 = 25 (τα χέρια των κόκκινων εξωγήινων).
Τέλος , 150 - 75 - 25 = 50 (τα χέρια των κίτρινων εξωγήινων).
Δηλαδή 3y = 50 <=> y16,67
-----------------------------------------

To ευρό δεν πήγε πουθενά.Είναι εκει που έπρεπε να είναι........στο ταμείο..........Απλά υπάρχει λάθος στον συλλογισμό

έχουμε->9(10-1)*3=27(μέχρι εδώ οκ)
αλλα δεν πρέπει να πούμε συν τα 2 ευρώ της καθαρίστριας,αλλά μειον τα 2 ευρώ της καθαρίστριας (27-2=25)που είναι όσα έμειναν στο ταμείο...


(πολύ έξυπνο το πρόβλημα)

Σωστός ! Αφαιρούμε τα 2 ? της καθαρίστριας απο τα 27? (για να βρούμε τα 25? που τελικά πήγαν στο ταμείο), και δέν τα προσθέτουμε (για να βρούμε τάχα μου τα 30? που έδωσαν τα παιδιά)!
Αν το καλοσκεφτήτε !
30? / 3 = 10? - 1? στο καθένα (επιστροφή)= 9? - 0,67?(2?/3 της καθαρίστριας) = 8,33? .
Που είναι όσα τελικά έδωσαν , αφού 25?/3 = 8,33?
Αυτή είναι η λύση!
Ο κανονικός συλλογισμός είναι 25?(που πλήρωσαν τελικά) + 3? (που τους επιστράφηκαν) + 2? (που κράτησε η καθαρίστρια) = 30? που αρχικά έδωσαν !

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

x = κόκκινοι εξωγήινοι
y = κίτρινοι εξωγήινοι
z = μπλέ εξωγήινοι

εδω μαλλον εννοεις τα χερια τους ε?:no1:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Chris1993]

εδω μαλλον εννοεις τα χερια τους ε?:no1:

Όχι , τον αριθμό των εξωγήινων !
Αν δεις (στην προηγούμενη σελίδα-προτελευταίο πόστ) έχω βάλει 2x , 3y , 5z που είναι τα χέρια (κάθε χρώματος) εξωγήινου !

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

Όχι , τον αριθμό των εξωγήινων !
Αν δεις πιο πάνω έχω βάλει 2x , 3y , 5z που είναι τα χέρια (κάθε χρώματος) εξωγήινου !

μεγαλη βλακεια σορρυ....:stars:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Chris1993]

μεγαλη βλακεια σορρυ....:stars:

Σιγά ! Δέν πειράζει !

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ξαροπ]

εμε μου θυμιζει....υψωνεις την αρχικη σχεση στη δευτερα???

Δεν είναι από διαγωνισμό, είναι ασκήσεις που βάζουν καθηγητές.

Χμ δε νομίζω να σε ωφελούσε πολύ το να υψώσεις τη σχέση στο τετράγωνο! Θα το δεις αν κάνεις πράξεις στη ρίζα ότι ναι μεν μπορεί να βοηθήσει, αλλά το κλάσμα θα γίνει λίγο...τεράστιο και μετά δεν συμμαζεύεται.

Το κλειδί είναι να παίξεις με τη δοσμένη σχέση και να δεις τι θα βγάλεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SA-96]

Ναί εγώ έκανα λάθος (λογω βιασύνης) !
-----------------------------------------


x = κόκκινοι εξωγήινοι
y = κίτρινοι εξωγήινοι
z = μπλέ εξωγήινοι

2x + 3y + 5z = 150 (1)
3y = 2*(2x) <=> 3y = 4x (2)
5z = 2x + 3y (3)

Απλά , απο (1) και (3) 5z + 5z = 150 <=> 10z=150 <=> z=15
Επίσης , 15*5 = 75 (τα χέρια των μπλέ εξωγήινων).
150 - 75 = 75
Άρα 2x + 3y = 75 .
Απο (2) έχουμε 2x + 4x = 75 <=> 6x =75 <=> x=12,5
Έτσι 12,5*2 = 25 (τα χέρια των κόκκινων εξωγήινων).
Τέλος , 150 - 75 - 25 = 50 (τα χέρια των κίτρινων εξωγήινων).
Δηλαδή 3y = 50 <=> y16,67
-----------------------------------------

Μάλλον έκανες λάθος στις πράξεις. κοίτα :
(1) 2x + 3y + 5z = 150 (1)
(2) 3y = 2*(2x)
(3) 5z = 2x + 3y (3)

αρα (1) 2x + 2*(2x) + 5z = 150
= 2x + 2x + 2x + 5z = 150
= 3*(2x) + 5z = 150
και (3) 5z = 2x + 2*(2x)
= 5z = 3*(2x)
άρα (1) 3*(2x) + 3*(2x) = 150
= 6* (2x) = 150
και έτσι 2x = 150/6 = 25
έτσι 2x = 25 έτσι x = … (ουπςςςςςςς)
Τέλος πάντων το χ και το ψ δεν σε ενδιαφέρουν…

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Boom]

εμας μας ενδιαφερει το αθροισμα χ+y+z ομως τα χ,y,z δεν θα επρεπε να ειναι ακεραιοι?:p

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SA-96]

Σχετικα με το +*+=+, +*-=-, -*-=+ βρίκατε καμία απόδειξη?Ειλικρινά,μόνο φιλοσοφικά μπορω να προσεγγίσω το θέμα αυτό....Η αλήθεια είναι οτι πάντα αναρωτιόμουν αν υπάρχει μαθηματική απόδειξη γι'αυτό.....Λοιπόν?

Άκου μία μαθηματικοφιλοσοφική απόδειξη για το +*+=+, +*-=-, -*-=+.
(η απόδειξη αυτή είναι ένας γνωστός γρίφος...)
βρίσκεσαι σε έναν λαβύρινθο και έχεις φτάσει στο τέλος του. εκεί υπάρχουν δύο πόρτες και δύο δεσμοφύλακες. Η μία πόρτα οδηγεί σε αδιέξοδο και η άλλη στον προορισμό σου. Επίσης, ο ένας δεσμοφύλακας λέει πάντα την αλήθεια (+) και ο άλλος πάντα ψέματα (-). Στόχος σου είναι να περάσεις από την σωστή πόρτα κάνοντας σε έναν δεσμοφύλακα μόνο μία ερώτηση χωρίς να ξέρεις ποιος λέει αλήθεια και ποιος ψέματα.

(αν θέλεις σκέψου ποια θα ήταν η κατάλληλη ερώτηση πριν την δεις από κάτω)

Η σωστή ερώτηση που πρέπει να κάνεις είναι "ο άλλος τι θα απαντούσε στην ερώτηση ποια είναι η σωστή πόρτα";
η απάντηση που θα πάρεις θα υποστηρίζει την λάθος πόρτα γιατί εάν έχεις ρωτήσει αυτόν που λέει την αλήθεια, τότε θα σου πει τι θα έλεγε αυτός που λέει ψέματα (την αντίθετη πόρτα) αλλά ακόμη κι αν ρωτήσεις αυτόν που λέει ψέματα θα σου πει το αντίθετο από αυτό που θα σου έλεγε αυτός που λέει την αλήθεια (το αντίθετο της σωστής δηλαδή την λανθασμένη)!!!
Συμπέρασμα : αλήθεια * ψέματα = ψέματα, ψέματα * αλήθεια = ψέματα,
αλήθεια * αλήθεια = αλήθεια και ψέματα * ψέματα = αλήθεια ή αλλιώς,
+*-=-, -*+=-, +*+=+ και -*-=+
-----------------------------------------

εμας μας ενδιαφερει το αθροισμα χ+y+z ομως τα χ,y,z δεν θα επρεπε να ειναι ακεραιοι?:p

θα έπρεπε αλλά δεν είναι (τι να κάνουμε...)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[statakos]

Δεν είμαι σίγουρος αν το παραπάνω αποτελεί "μορφή" απόδειξης.

Αν κάνω λάθος διορθώστε με...

Spoiler

Ουσιαστικά αυτό που αναφέρεις είναι από ένα κεφάλαιο που στα μαθηματικά λέγεται "λογική".

Συγκεκριμένα είναι η πράξη "αν και μόνο αν".

Στηρίζεται στην άλγεβρα Boole και στους πίνακες αληθείας (σελ. 30 -- η πράξη "αν και μόνο αν" --) όπου και στην προκειμένη περίπτωση θεωρούμε δεδομένα μερικά πράγματα.

Ξέφυγα λίγο από την υλη του γυμνασίου ...

Όσο για το γρίφο που αναφέρεις έχει πολλές παραλαγές και είναι πολύ έξυπνος. :no1:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[DENKAP]

Άκου μία μαθηματικοφιλοσοφική απόδειξη για το +*+=+, +*-=-, -*-=+.
(η απόδειξη αυτή είναι ένας γνωστός γρίφος...)
βρίσκεσαι σε έναν λαβύρινθο και έχεις φτάσει στο τέλος του. εκεί υπάρχουν δύο πόρτες και δύο δεσμοφύλακες. Η μία πόρτα οδηγεί σε αδιέξοδο και η άλλη στον προορισμό σου. Επίσης, ο ένας δεσμοφύλακας λέει πάντα την αλήθεια (+) και ο άλλος πάντα ψέματα (-). Στόχος σου είναι να περάσεις από την σωστή πόρτα κάνοντας σε έναν δεσμοφύλακα μόνο μία ερώτηση χωρίς να ξέρεις ποιος λέει αλήθεια και ποιος ψέματα.

(αν θέλεις σκέψου ποια θα ήταν η κατάλληλη ερώτηση πριν την δεις από κάτω)

Η σωστή ερώτηση που πρέπει να κάνεις είναι "ο άλλος τι θα απαντούσε στην ερώτηση ποια είναι η σωστή πόρτα";
η απάντηση που θα πάρεις θα υποστηρίζει την λάθος πόρτα γιατί εάν έχεις ρωτήσει αυτόν που λέει την αλήθεια, τότε θα σου πει τι θα έλεγε αυτός που λέει ψέματα (την αντίθετη πόρτα) αλλά ακόμη κι αν ρωτήσεις αυτόν που λέει ψέματα θα σου πει το αντίθετο από αυτό που θα σου έλεγε αυτός που λέει την αλήθεια (το αντίθετο της σωστής δηλαδή την λανθασμένη)!!!
Συμπέρασμα : αλήθεια * ψέματα = ψέματα, ψέματα * αλήθεια = ψέματα,
αλήθεια * αλήθεια = αλήθεια και ψέματα * ψέματα = αλήθεια ή αλλιώς,
+*-=-, -*+=-, +*+=+ και -*-=+

σε ευχαριστώ για την προσπαθειά σου SA-96.Πολύ καλή η προσπάθεια και πολύ ωραίο το παράδειγμα.Ωστόσο,δεν έχω πειστεί(με την έννοια ότι το παράδειγμα υποδεικνύει αλλα δεν αποδεικνύει).....αν έχει κανείς αλλος(ή και εσυ SA-96) καμία ιδέα(ή την βρει πουθενά γραμμένη) παρακαλώ να την εκθέσει είτε είναι μαθηματική είτε φιλοσοφική.....:thanks:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[13diagoras]

λοιπον εχουμε και λεμε ειναι α<0 και β<0 αρα -α>0 και -β>0 αρα -α)(-β)>0 και ετσι διαιρω με -1 αρα α(-β)>0 και παλι με -1 οποτε προκειπτει οτι αβ>0
(αυτο σκεφτηκα ....)
εστω τωρα δυο ετεροσημοι .εστω α>0 και β<0 .ειναι -β>0 αρα πολ/ζω κατα μελη οποτε (α)(-β)>0 διαιρω με -1 αρα αβ<0

[εκει που πολ/ζω με -1 δεν χρησιμοποιω αυτο που παω να αποδειξω καθως βγαζω κοινο παραγοντα το -1 και ετσι απαλοιφονται..:iagree]

αυτα(τι εχετε να πειτε????):xixi:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.