Η έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά του Λυκείου

Γιώργος · 11-08-07

Σήμερα θα σας πω ένα πραγματάκι το οποίο ξεχωρίζει τα μαθηματικά του Λυκείου από τα μαθηματικά που κάνατε μέχρι τώρα: η έννοια της απόδειξης.

Μέχρι τώρα, χρησιμοποιούσαμε στα μαθηματικά κάποιες προτάσεις που τις παίρναμε έτοιμες. Στο Λύκειο η κατάσταση αλλάζει.
Αυτό που μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε είναι ότι στην Α' Λυκείου ξεκινάμε και στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία από το μηδέν.

Θα δούμε ότι ξεκινούμε πάντα από βασικές προτάσεις, τις οποίες τις δεχόμαστε αναπόδεικτα. Αυτές ονομάζονται "αξιώματα" κι είναι βασικές προτάσεις που δομούν το σύστημα το οποίο θα μελετήσουμε.

Για παράδειγμα, ένα αξίωμα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας είναι ότι από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μοναδική ευθεία. Αυτήν την πρόταση τη δεχόμαστε και τη χρησιμοποιούμε μαζί με άλλα αξιώματα για να αποδείξουμε άλλες προτάσεις, που λέγονται θεωρήματα. Από τα θεωρήματα εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα που τα αποκαλούμε πορίσματα.

Στο Λύκειο θα αποδείξουμε τα περισσότερα θεωρήματα που παρουσιάζονται στο σχολικό βιβλίο. Όποιο θεώρημα ή πόρισμα αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε στις ασκήσεις μας. Αλλά εάν μας ζητήσουν να το αποδείξουμε (σε μία άσκηση θεωρίας) τότε θα πρέπει να παραθέσουμε την απόδειξη που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο. Σ' αυτές τις περιπτώσεις, βοηθάει πολύ αν κατανοήσουμε τον τρόπο που χρησιμοποιεί το σχολικό βιβλίο κι έτσι θα μας είναι εύκολο να μάθουμε και τις αποδείξεις - αλίμονο αν μαθαίναμε τόσες αποδείξεις παπαγαλία, κάτι που δεν το συνιστώ εγώ.

Επίσης πολλές φορές θα χρειαστεί να αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες που ισχύουν σε συγκεκριμένες ασκήσεις. Για παράδειγμα, μία άσκηση γεωμετρίας μπορεί να μας λέει "Δείξτε ότι η πλευρά ΑΒ του τριγώνου είναι διπλάσια της ΑΓ". Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι δεκτές αποδείξεις όπως "Τις μετράω με το χαρακάκι και βλέπω ότι ισχύει" ή "Παίρνω τη μισή πλευρά ΑΒ, τη μεταφέρω πάνω στην ΑΓ και βλέπω ότι ταυτίζονται". Σε αυτές τις περιπτώσεις αποδεικνύονται βάση των θεωρημάτων που ξέρουμε, των ιδιοτήτων του σχήματος και των όποιων συμπερασμάτων βγάλαμε από τα προηγούμενα ερωτήματα.

Τονίζω εδώ πως σε κάθε ερώτημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς απόδειξη τα συμπεράσματα προηγούμενων ερωτημάτων (που ζητήθηκε να αποδειχθούν σε προηγούμενο ερώτημα), είτε τις αποδείξαμε είτε όχι στο προηγούμενο ερώτημα. :no1:
Έτσι, πολλές περιπτώσεις ερωτημάτων μπορούν να λυθούν εύκολα με τη χρήση των συμπερασμάτων από προηγούμενα (αλλά όχι και απ' τα επόμενα) ερωτήματα.

Από Γιώργος

Anarki · 06-09-07

Νομίζω οτι γενικά οποιαδήποτε σωστή απόδειξη είναι δεκτή, όχι μόνο αυτές του βιβλίου. Βέβαια πρέπει να είσαι σαϊνι για να βρείς δικιά σου απόδειξη

.

michael92 · 06-09-07

Καλά και το γυμνάσιο μας προετοιμάζει για άλγεβρα

$X^2 = 4$ => $X = 2$

ή τώρα που έκανα επανάληψη τις εξισώσεις, μια πρωτοβάθμια εξίσωση, μπορεί να έχει ή μία ή καμία ή άπειρες λύσεις! Δευτεροβάθμιες εξισώσεις, $X = \frac{-\beta\pm\sqrt{D}}{2\alpha}$ , όπου $D=\beta^2 - 4\alpha\gamma$

Anarki · 06-09-07

$x^2 = 4$ => $|x| = 2$
Δηλαδή x = 2 ή x = -2

nikolas17 · 06-09-07

Νομίζω οτι γενικά οποιαδήποτε σωστή απόδειξη είναι δεκτή, όχι μόνο αυτές του βιβλίου. Βέβαια πρέπει να είσαι σαϊνι για να βρείς δικιά σου απόδειξη .

Και εγώ νομίζω ότι οποιαδήποτε επιστημονικά τεκμηριωμένη απόδειξη είναι δεκτή (στην θεωρία). Τώρα αν πέσεις πάνω σε ιδιότροπο καθηγητή....

$x^2 = 4 \Rightarrow |x| = 2$
Δηλαδή $X = \pm 2$

Χωρίς να είμαι απόλυτα σίγουρος, νομίζω τα απόλυτα τα κάνουμε στην Α' Λυκείου.
(Αλλά και πάλι είναι $x^2 = 4 \Leftrightarrow x =-2$ χωρίς απόδειξη όμως στο γυμνάσιο νομίζω - michael διόρθωσε με αν έκανα κάπιο λάθος)

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις[...]

Αν Δ<0, τότε δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των R (έχει στους μιγαδικούς αλλά είναι άλλη ιστορία αυτή

)
Αν Δ=0 τότε έχει μοναδική λύση (ή μια διπλή) και λύνεται $X = \frac{-\beta}{2\alpha}$
Αν Δ>0 τότε έχει δύο λύσεις και λύνεται όπως είπες:no1:

Επίσης να ευχαριστήσω τον Γιώργο για την πολύ καλή του ανάλυση στις αποδείξεις

stavri :p · 06-09-07

ευχαριστω Γιώργο

Γιώργος · 06-09-07

Σε αυτό το σημείο να θυμίσω ότι στο iSchool υπάρχει διαθέσιμη η λειτουργία του LaTeX, με τη βοήθεια της οποίας το e^x γίνεται $e^x$ .

Αναλυτικά η βοήθεια LaTeX βρίσκεται εδώ. και μπορείτε να τη βρείτε σε κάθε σελίδα καταχώρησης νέου μηνύματος. :no1:

Θα προσθέσω στα παραπάνω μηνύματα το LaTeX να δείτε πώς θα φανούν.

michael92 · 06-09-07

Ευχαριστώ, δεν την ήξερα αυτήν την ιδιότητα του forum.

:no1:

Anarki · 06-09-07

Η LaTeX είναι φίλος μας.
Έχω γράψει κάτι πολυσέλιδες εργασίες έτσι, βολεύει τρομερά

Krou · 08-09-07

Αρχική Δημοσίευση από Anarki:
Νομίζω οτι γενικά οποιαδήποτε σωστή απόδειξη είναι δεκτή, όχι μόνο αυτές του βιβλίου. Βέβαια πρέπει να είσαι σαϊνι για να βρείς δικιά σου απόδειξη .

Ισχύουν και τα δύο:xixi::iagree:

Γιώργος · 08-09-07

Αρχική Δημοσίευση από Anarki:
Νομίζω οτι γενικά οποιαδήποτε σωστή απόδειξη είναι δεκτή, όχι μόνο αυτές του βιβλίου. Βέβαια πρέπει να είσαι σαϊνι για να βρείς δικιά σου απόδειξη .

Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των Πανελληνίων υπάρχει μία σημείωση: Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή

Αλλά συνιστώ τις αποδείξεις να τις κάνετε όπως τις δείχνει το σχολικό βιβλίο (ή αλλιώς το "Ευαγγέλιό" σας για φέτος) για να είστε σίγουροι. :iagree:

Νεκτάριος · 09-09-07

σιγουρα παντως τα μαθηματικα 3ης γυμνασιου εδωσαν τις καλυτερες βασεις για το λυκειο σε σχεση με τα υπολοιπα μαθηματα...εξαιρειται φυσικα η φυσικη η οποια αλλαξε τελειως σε σχεση με της 2ας...σιγουρα καμια σχεση...γιωργο παρα πολυ καλη αναλυση:no1:

miv · 31-10-07

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$P_1V_1=P_2V_2$

Καλο το latex!

ηράκλειος · 01-11-07

δεν χρειάζεται να είσαι και πολύ σαινι για να βρείς μια δικιά σου απόδειξη !!! ας μη δεχόμαστε πάντα ότι μας λένε οι άλλοι. Για παράδειγμα μας λένε ότι το σημείο δεν έχει διαστάσεις και το δεχόμαστε ! βλακείες ! αν το σημείο δεν έχει διάσταση πως γίνεται το ευθήγαμμο τμήμα το οποίο είναι ένα σύνολο σημείων να έχει μήκος (που είναι διάσταση). Πιστεύω πως πρέπει όλα να τα δούμε με ένα κριτικό πνεύμα ακόμα και τα πιο αυτονόητα !! Εσείς τι λέτε;

exc · 01-11-07

αν το σημείο δεν έχει διάσταση πως γίνεται το ευθήγαμμο τμήμα το οποίο είναι ένα σύνολο σημείων να έχει μήκος (που είναι διάσταση). Πιστεύω πως πρέπει όλα να τα δούμε με ένα κριτικό πνεύμα ακόμα και τα πιο αυτονόητα !! Εσείς τι λέτε;

Το ευθύγραμμο τμήμα δεν είναι ένα απλό σύνολο σημείων, όμως, είναι το σχήμα-γραμμή που αποτελείται από δύο σημεία και τα σημεία της ευθείας που τα ενώνει και που βρίσκονται μεταξύ τους.

Εννοείται πως το σημείο δεν έχει διαστάσεις... δεν καταλαβαίνω για ποιό λόγο διαφωνείς...

Γιώργος · 01-11-07

Αρχική Δημοσίευση από ηράκλειος:
δεν χρειάζεται να είσαι και πολύ σαινι για να βρείς μια δικιά σου απόδειξη !!! ας μη δεχόμαστε πάντα ότι μας λένε οι άλλοι. Για παράδειγμα μας λένε ότι το σημείο δεν έχει διαστάσεις και το δεχόμαστε ! βλακείες ! αν το σημείο δεν έχει διάσταση πως γίνεται το ευθήγαμμο τμήμα το οποίο είναι ένα σύνολο σημείων να έχει μήκος (που είναι διάσταση). Πιστεύω πως πρέπει όλα να τα δούμε με ένα κριτικό πνεύμα ακόμα και τα πιο αυτονόητα !! Εσείς τι λέτε;

Το ευθύγραμμο τμήμα αποτελείται από άπειρο πλήθος σημείων, όχι πεπερασμένων.

miv · 05-11-07

Ολοι στο μελλον θα εχουμε το χρονο να ασχοληθουμε με την επιστημονικη τεκμηριωση και την αμφισβητηση, αν φυσικα το θελησουμε. Προς το παρον ομως, και σε επιπεδο εξετασεων, δε νομιζω οτι εχει κανενα νοημα να αμφισβητησεις ενα τα βασικοτερα αξιωματα της Ευκλειδιας Γεωμετριας.
Ενταξει, οι μη-ευκλειδιες γεωμετριες εχουν αλλα αξιωματα, οπως πχ. οτι οι παραλληλες τεμνονται, αλλα σε λυκειακο επιπεδο δε νομιζω οτι μιλαμε για μη-ευκλειδια.

ηράκλειος · 06-11-07

τελευταία παιδιά είμαι απασχολημένος και δεν έπαιρνα τα μηνύματα μου!
απάντηση στον exc: τι ορίζεις εσύ ως γραμμή ; έχει η γραμμή σου διάσταση ;
απάντηση στον Γιώργο : δηλαδή εσύ λές ότι ένα σύνολο άπειρων πραγμάτων που δεν έχουν διάσταση τελικά θα μας δώσει κάτι που έχει διάσταση; για σκέψου το καλύτερα
απάντηση στο miv:συμψωνώ μαζί σου φίλε μου , το θέμα όμως είναι πως αν δεν μάθεις από μικρός να αμφισβητείς θα είναι δύσκολο να το κάνεις όταν μεγαλώσεις !!!

Krou · 06-11-07

ένα σημείο δε φτιάχνει διάσταση όμως, όπως και μία γραμμή δε γίνεται να έχει εμβαδο, βέβαια τώρα αν το σκεφτείς μία γραμμή στον πίνακα εννοείται πως έχει εμβαδό, αλλά φαντάζομαι πως είναι αμελητέο

Μια γραμμή πάντως δε μπορεί μόνη της να ορίσει ένα χωρείο. Μ;

miv · 06-11-07

Αρχική Δημοσίευση από ηράκλειος:
τελευταία παιδιά είμαι απασχολημένος και δεν έπαιρνα τα μηνύματα μου!
απάντηση στον exc: τι ορίζεις εσύ ως γραμμή ; έχει η γραμμή σου διάσταση ;
απάντηση στον Γιώργο : δηλαδή εσύ λές ότι ένα σύνολο άπειρων πραγμάτων που δεν έχουν διάσταση τελικά θα μας δώσει κάτι που έχει διάσταση; για σκέψου το καλύτερα
απάντηση στο miv:συμψωνώ μαζί σου φίλε μου , το θέμα όμως είναι πως αν δεν μάθεις από μικρός να αμφισβητείς θα είναι δύσκολο να το κάνεις όταν μεγαλώσεις !!!

Στο πρακτικο τωρα, τι νοημα θα εχει αν παει ο οποιοσδηποτε στις Πανελληνιες και γραψει οτι το σημειο εχει διασταση?
Και το ζητημα ειναι να προοδευεις και μεσω της αμφισβητησης, οπου και αν χρειαζεται. Η αμφισβητηση δεν ειναι αυτοσκοπος. Αρα δεν βλεπω το λογο να μαθεις σωνει και καλα να αμφισβητεις απο μικρος. Καποια πραγματα τα υποστηριζεις οταν εχεις εμπειρια, οχι οταν εισαι μικρος, ευαλωτος κι απλα τα ενστερνιζεσαι αβασανιστα.

Η έννοια της απόδειξης στα μαθηματικά του Λυκείου

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος