Ενδιαφέροντα προβλήματα φυσικής, μαθηματικών και μηχανικής

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Samael]

Πρόβλημα :
Μια χιονόμπαλα ακτίνας ro και μάζας mο ξεκινάει απο ηρεμία να κυλάει στην κατακόρυφη πλευρά ενός λόφου ύψους h υπό την επίδραση της βαρύτητας. Καθώς η χιονόμπαλα κυλίεται στην κατακόρυφη πλευρά του λόφου το μέγεθος της αυξάνεται λόγω της συλλογής χιονιού απο το έδαφος. Στο κάτω μέρος του λόφου υπάρχει δρόμος.

α) Να μελετηθεί η κίνηση της χιονόμπαλας συναρτήσει του χρόνου εαν γίνει η υπόθεση οτι η ακτίνα αυξάνεται κατά σταθερό ποσό ίσο με C ανά περιστροφή της χιονόμπαλας.

β) Να βρεθεί η τελική μάζα της χιονόμπαλας όταν φτάσει στον δρόμο.

γ) Πόσο χρόνο θα χρειαστεί η χιονόμπαλα για να φτάσει στον δρόμο ;

δ) Ποια θα είναι η συνολική κινητική ενέργεια της όταν φτάσει στον δρόμο ;

ε) Επαναλάβετε τα προηγούμενα για την περίπτωση που η πλευρά του λόφου σχηματίζει γωνία θ με το επίπεδο του δρόμου.

ζ) Επαναλάβετε τα προηγούμενα εαν αντί για σφαίρα χρησιμοποιηθεί κορμός δέντρου μήκους L και καταγράψτε τις όποιες παρατηρήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας και ο όγκος σφαίρας και κυλίνδρου ως :
Iσ = (⅖)mr²
Vσ = (4/3)πr³
Ικ = (1/2)mr²

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Dias]

Πρόβλημα :
......................................................................................

Περνάω κύριε;

Spoiler: ΛΥΣΑ

 

[Samael]

Περνάω κύριε;

Spoiler: ΛΥΣΑ

View attachment 127302

Πρέπει να χρησιμοποιήσεις τους νομούς του Νεύτωνα στην γενική τους μορφή, διότι μεταβάλλεται και η μάζα αλλά και η ροπή αδράνειας του σώματος ταυτόχρονα !

 

[Dias]

Πρέπει να χρησιμοποιήσεις τους νομούς του Νεύτωνα στην γενική τους μορφή, διότι μεταβάλλεται και η μάζα αλλά και η ροπή αδράνειας του σώματος ταυτόχρονα !

Το σκέφτηκα, αλλά απέδειξα για τυχαία στιγμή ότι η επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη ακτίνας και μάζας και σταθερή. (Περιμένω τη δική σου λύση)

​

 

[Samael]

Το σκέφτηκα, αλλά απέδειξα για τυχαία στιγμή ότι η επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη ακτίνας και μάζας και σταθερή. (Περιμένω τη δική σου λύση)

​

Μμ δεν είναι κακό, θα βοηθήσει αυτή η προσέγγιση στην καλύτερη αντίληψη του προβλήματος.
Επειδή αυτή την στιγμή δεν προλαβαίνω γιατί πρέπει να φύγω, θα ανεβάσω την λύση αργότερα το βράδυ.

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Samael]

Πρόβλημα :
Μια χιονόμπαλα ακτίνας ro και μάζας mο ξεκινάει απο ηρεμία να κυλάει στην κατακόρυφη πλευρά ενός λόφου ύψους h υπό την επίδραση της βαρύτητας. Καθώς η χιονόμπαλα κυλίεται στην κατακόρυφη πλευρά του λόφου το μέγεθος της αυξάνεται λόγω της συλλογής χιονιού απο το έδαφος. Στο κάτω μέρος του λόφου υπάρχει δρόμος.

α) Να μελετηθεί η κίνηση της χιονόμπαλας συναρτήσει του χρόνου εαν γίνει η υπόθεση οτι η ακτίνα αυξάνεται κατά σταθερό ποσό ίσο με C ανά περιστροφή της χιονόμπαλας.

β) Να βρεθεί η τελική μάζα της χιονόμπαλας όταν φτάσει στον δρόμο.

γ) Πόσο χρόνο θα χρειαστεί η χιονόμπαλα για να φτάσει στον δρόμο ;

δ) Ποια θα είναι η συνολική κινητική ενέργεια της όταν φτάσει στον δρόμο ;

ε) Επαναλάβετε τα προηγούμενα για την περίπτωση που η πλευρά του λόφου σχηματίζει γωνία θ με το επίπεδο του δρόμου.

ζ) Επαναλάβετε τα προηγούμενα εαν αντί για σφαίρα χρησιμοποιηθεί κορμός δέντρου μήκους L και καταγράψτε τις όποιες παρατηρήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας και ο όγκος σφαίρας και κυλίνδρου ως :
Iσ = (⅖)mr²
Vσ = (4/3)πr³
Ικ = (1/2)mr²

Πάμε να το δούμε λίγο αυτό.

Η προσέγγιση απο την σκοπιά της θεωρίας :

Spoiler

Ο κώδικας στο MATLAB για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης είναι ο εξής :

Spoiler

pos_fig = figure;
radi_fig = figure;
vel_fig = figure;
accel_fig = figure;

for ro = 0.1:0.5:5
snowball_sim(ro, 100, 0.05, pos_fig, radi_fig, vel_fig, accel_fig)
end

function snowball_sim(ro, h, C, pos_fig, radi_fig, vel_fig, accel_fig)
% Set the constants
g = 9.81;
density = 600;
k1 = 30/7;
k2 = (5 * g * C) / (14 * pi); % Assuming g = 9.81 m/s^2

% Set the initial conditions
initial_conditions = [ro; 0];

% Set the time span for the solution
tspan = [0 30]; % Adjust the end time as needed

% Set the maximum step size
maxStep = 0.1; % Adjust this value as needed

% Solve the system of ODEs using ode45
options = odeset('MaxStep', maxStep);
[t, y] = ode45(@(t, y) myODE(t, y, k1, k2), tspan, initial_conditions, options);

% Extract the results
r_t = y(:, 1);

% Calculate y(t)
y_t = ((2 * pi) / C) * (r_t.^2 / 2 - ro^2 / 2);

% Calculate the velocity u(t)
u_t = ((2 * pi) / C) * r_t .* y(:, 2);

% Differentiate the velocity to get acceleration a(t)
a_t = diff(u_t) ./ diff(t);

% Plot individual figures

figure(pos_fig);

% Figure 1: Snowball's vertical position y
plot(t, y_t, 'LineWidth', 2);
xlabel('t(s)');
ylabel("y(t)");
title("Snowball's Vertical Position as a Function of Time");
grid on;
hold on;

figure(radi_fig);

% Figure 2: Snowball's Radius r
plot(t, r_t, 'LineWidth', 2);
xlabel('t(s)');
ylabel("r(t)");
title("Snowball's Radius as a Function of Time");
grid on;
hold on;

figure(vel_fig);

% Figure 3: Snowball's Velocity u
plot(t, u_t, 'LineWidth', 2);
xlabel('t(s)');
ylabel("u(t)");
title("Snowball's velocity as a Function of time");
grid on;
hold on;

figure(accel_fig);

% Snowball's acceleration a
plot(t(1:end-1), a_t, 'LineWidth', 2);
xlabel('t(s)');
ylabel('a(t)');
title("Snowball's Acceleration");
grid on;
hold on;

%Calculate time for snowball to hit road
indx = 1;
while r_t(indx) < sqrt((h*C)/pi + ro^2)
to = t(indx);
indx = indx+1;
end

disp("____________________________________________________")
disp("ro = "+ro +", C = " +C + ", h = " + h)
disp("____________________________________________________")
to
disp("----------------------------------------------------")
%Snowball's mass ratio
mass_ratio = (r_t(indx)/ro).^3
disp("----------------------------------------------------")
mass_final = (4/3)*pi*density*(r_t(indx))^3
disp("----------------------------------------------------")

%Snowball's total kinetic energy
K = (28*pi*density/15)*((r_t(indx))^3)*(u_t(indx))^2

% Define the function representing the system of ODEs
function dydt = myODE(t, y, k1, k2)
dydt = zeros(2, 1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (k2 - k1*y(2)^2) / y(1);
end
end

Μερικά γραφήματα για C = 5cm και αρχική ακτίνα 10m ως 5m με βήμα 0.5m :

Spoiler

Μερικά ακόμα γραφήματα για C = 1cm εως 10cm με βήμα 1.5cm και αρχική ακτίνα ro = 2m :

Spoiler

Η λογική είναι ίδια και για τον κορμό δέντρου, το μόνο που αλλάζει επί της ουσίας είναι ο όγκος, και η ροπή αδράνειας.

• Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός οτι η ακτίνα της χιονόμπαλας για μικρές αρχικές ακτίνες είναι σχεδόν γραμμική συνάρτηση του χρόνου, ενώ για μεγαλύτερες όπως 2m και άνω ας πούμε, παρατηρείται μια έντονη μη γραμμικότητα εως και τα πρώτα 5 δευτερόλεπτα περίπου.
  
  
• Το αμέσως επόμενο αξιοσημείωτο είναι οτι η αρχική επιτάχυνση δεν επηρεάζεται απο την αρχική ακτίνα της χιονόμπαλας και είναι 5g/7, το οποίο ισούται περίπου με 7 m/s², και έχει δείξει ο @Dias αναλυτικά πως προκύπτει. Επίσης αξιοσημείωτο είναι οτι μετά απο διάστημα που εξαρτάται απο την αρχική ακτίνα της χιονόμπαλας, η επιτάχυνση σταθεροποιείται σε μια ορισμένη τιμή η οποία ωστόσο φαίνεται οτι είναι ανεξάρτητη απο την αρχική ακτίνα της χιονόμπαλας.
  
  
• Παρατηρούμε επίσης οτι οι χιονόμπαλες με την μικρότερη αρχική ακτίνα έχουν πιο γραμμική σχέση ταχύτητας σε σχέση με τον χρόνο ή ισοδύναμα απαιτείται περισσότερο χρόνος μέχρι να σταθεροποιηθεί η επιτάχυνση τους. Επιπλέον αυτές οι χιονόμπαλες χρειάζονται και περισσότερο χρόνο για να διανύσουν ορισμένη απόσταση σε σχέση με πιο μεγάλες.
  
  
• Ενδιαφέρον συμπεράσματα εξάγουμε και απο την μεταβολή του C που είναι ένα μέτρο του πόσο γρήγορα "συλλέγει" χιόνι απο το έδαφος η χιονόμπαλα. Παρατηρούμε οτι αυτές που έχουν μικρό συντελεστή C έχουν πιο αργή μεταβολή της ακτίνας τους, το οποίο είναι και λογικό και αναμενόμενο. Απο την άλλη, αυτές με μικρό συντελεστή C αναπτύσουν μεγαλύτερες ταχύτητες απο άλλες με μεγαλύτερο συντελεστή C και επομένως διανύουν δεδομένο δίαστημα πιο γρήγορα. Αυτό δεν πρέπει να προβληματίζει καθώς στο όριο που το C τείνει στο 0, η ακτίνα μεταβάλλεται τόσο αργά που μπορούμε να την θεωρήσουμε σχεδόν σταθερή. Μια τέτοια χιονόμπαλα σαφώς θα κινείται πιο γρήγορα καθώς εδώ δεν υπάρχει ο μηχανισμός προσθήκης μάζας. Οι δυνάμεις που ασκούνται δεν αλλάζουν μεταξύ των δύο περιπτώσεων, αλλά μέρος της συνισταμένη αφορά πλέον πέρα απο μια επιτάχυνση και έναν θετικό ρυθμό μεταβολής μάζας, ενώ επιπλέον και η ίδια η μάζα στον όρο mα αυξάνεται, οπότε αυτό μειώνει την αντίστοιχη επιτάχυνση. Τα όσα παρατηρούμε ερμηνεύονται λοιπόν με πολύ ικανοποιητικό τρόπο.

 

[Dias]

Tι θα λέγατε για κάτι σχετικό με τη σημερινή μέρα;

Spoiler: ΓΙΟΡΤΙΝΗ ΛΥΣΗ

ΧΟ - ΧΟ - ΧΟ ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛ²Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ

 

[BlackPenBluePen]

εγραψες διααα

 

[Dias]

Spoiler: ΔΥΣΗ

 

[Cade]

Μηχανική παραμορφώσιμου στερεού #3 :

Spoiler

 

[Dias]

Spoiler: ΛΥΣΗ

 

[Wonderkid]

View attachment 127439

Spoiler: ΛΥΣΗ

View attachment 127440
View attachment 127441
View attachment 127442
View attachment 127444

αχ αυτές οι τηλεπικοινωνίες

 

[BlackPenBluePen]

Δία, τις ζωγραφιές, τις κανεις στο MS Paint? Με φοβίζουν αυτά τα κόκκινα τριγωνάκια στο κύμα.. Εχεις ελευθερο χρονο ε;

 

[Dias]

Δία, τις ζωγραφιές, τις κανεις στο MS Paint? Με φοβίζουν αυτά τα κόκκινα τριγωνάκια στο κύμα.. Εχεις ελευθερο χρονο ε;

1) Μπα! Οι ζωγραφιές μου δεν είναι δύσκολες, ούτε χρειάζονται πολύ χρόνο να γίνουν (άμα είσαι εξασκημένος).
2) Μη νομίζεις ότι τώρα γράφω τις ασκήσεις. Τις ανεβάζω από το προσωπικό μου αρχείο που το ξεκίνησα όταν ήμουν ακόμα μαθητής.
3) Δουλεύω αρκετές ώρες, οπότε κανένας δεν μπορεί να με κατηγορήσει ότι έχω ελεύθερο χρόνο.

 

[Dias]

Spoiler: ΔΥΣΗ

 

[Dias]

Spoiler: ΦΥΣΗ

 

[ultraviolence]

Καλησπέρα, έχω μια ερώτηση μιας κι σας βλέπω ορεξάτους γενικά : Παίζουν πουθενά στο ίντερνετ καλές σημειώσεις/slides για ΦΥΣΙΚΗ Ι που να σας βοήθησαν; ( ύλη = τα κλασικά κεφάλαια που έχουν τα εισαγωγικά μαθήματα φυσικής ). Ποτέ δεν χώνεψα τούτο το μάθημα και δεν χάνει την ευκαιρία να με γονατίζει.
Ευχαριστώ κι σόρρυ αν είμαι οφφ!