ηθελα μια διευκρινση για το πληθος ριζων πως το βρισκουμε
Πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά:
Πολυώνυμα n-οστού βαθμού έχουν
το πολύ n ρίζες. Δηλαδή, μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει από 0 έως 2 ρίζες. Μια εξίσωση 4ου βαθμού έχει από 0 έως 4 ρίζες κ.ο.κ.
Η λογαριθμική έχει 1 ρίζα. Η εκθετική καμία. Το ημίτονο και το συνημίτονο βρίσκουν ρίζα κάθε φορά που η γωνία τους μεταβάλλεται κατά π (180 μοίρες). Εφαπτομένη, συνεφαπτομένη το ίδιο.
Διαφορετικά, ισχύουν αυτά που είπε ο PiDefiner:
Βρίσκεις πώς μεταβάλλεται η μονοτονία της συνάρτησης. Σε κάθε διάστημα που διατηρεί μονοτονία, έχει καμία ή μία ρίζα. Άρα, αν κατά διαστήματα, η μονοτονία της συνάρτησης αλλάζει 4 φορές πρόσημο (+-+-), τότε έχει το πολύ 4 ρίζες. Μπορεί και λιγότερες, αλλά όχι περισσότερες.
Προσοχή:
Σε περίπτωση μη συνεχούς συνάρτησης, πχ κλαδωτής, σε σημεία ασυνέχειας:
(0,3)U(3,6)U(6,10)U(10,15)
με πρόσημα παραγώγων (+-++)
πάλι μπορεί να έχουμε το πολύ 4 ρίζες. Παρόλο που στο 3ο και 4ο διάστημα είναι γνησίως αύξουσα, και άμα βρεις ρίζα στο 3ο διάστημα το λογικό είναι να μην έχεις ρίζα στο 4ο, κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Η συνάρτηση από το 3ο στο 4ο διάστημα δεν είναι συνεχής. Άμα ήταν συνεχής, ναι, θα είχαμε το πολύ 3 ρίζες.
Γενικά, σπας τη συνάρτηση σε διαστήματα που είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και διατηρεί πρόσημο η παράγωγος. Αφού τη χωρίσεις σε διαστήματα, κοιτάς σε έκαστο διάστημα αν υπάρχει ρίζα. Στο τέλος μετράς τις ρίζες που βρήκες και βγάζεις το πλήθος τους.
