Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Fedde le Grand · 20-11-14

Ευχαριστώ φίλε για τη γρήγορη απάντηση. Κρίμα.

Ήλπιζα να τη γλιτώσω γιατί είναι κάπως βαρετά και τα τριγωνομετρικά με μπερδεύουν λίγο. :/

Αλήθεια, μήπως έχει να προτείνει κανείς καλές ασκήσεις από κάποια βοήθημα; Έχω Μπάρλα, Παπαδάκη, Μαυρίδη, Στεργίου-Νάκη, Τραγανίτη, Μαυρίδη.

eyb0ss · 20-11-14

Αρχική Δημοσίευση από Fedde le Grand:
Παιδιά, θα ήθελα να ρωτήσω πόσο σημαντικά είναι τα όρια που κάνουμε τώρα. Μήπως (όπως και στην μονοτονία που τη βγάζουμε μετά με παραγώγους) θα βρούμε απλούστερες μεθόδους για εύρεση ορίων στα επόμενα δύο κεφάλαια; Ή μήπως είναι σημαντικό από τώρα να μάθω καλά να τα δουλεύω; Γιατί ο καθηγητής μας π.χ στην απροσδιοριστία α προς 0 μας έβαλε όλο και όλο 6-7 ασκήσεις + κάποιες μες στην τάξη που κάναμε και προχωρήσαμε στο όριο συνάρτησης στο άπειρο και προβληματίζομαι. Αλλά από την άλλη, αν δε χρειάζεται δε θέλω να τρώω τον χρόνο μου στο να λύσω 100 ασκήσεις απ'τα βοηθήματα.

Υποτίθεται ότι ρέπει να ξέρεις οτιδήποτε είναι εντός ύλης, μην στηρίζεσαι μόνο σε έναν τυφλοσούρτη τρόπο να σου λύσει την άσκηση για τους λόγους που σου είπε ο Πέτρος. Επίσης, η καλή (για να μην πω άριστη) γνώση Άλγεβρας Α και Β Λυκείου και μαθηματικών κατεύθυνσης Β Λυκείου είναι must αν στοχεύεις ψηλά. Πχ Σε διαγώνισμα φροντιστηρίου ένα ερώτημα μιγαδικών (8 μονάδων παρακαλώ) το έλυσα με διανύσματα σε 4 γραμμές ενώ με "στανταρ" τρόπους ήθελε μισή σελίδα.

Fedde le Grand · 20-11-14

Yes, sir!

Σωστό και αυτό. Πάντα πρέπει να υπάρχει backup... Με τα προηγούμενα δεν έχω θέμα, δεν έχω αφήσει κενά. Για τους μιγαδικούς ισχύει όντως ότι τα Μαθηματικά Κατ. Β' σου λύνουν τα χέρια όπως και η Γεωμετρία στο Β' μέρος των μιγαδικών

Loreley · 24-11-14

Πως θα αποδείξω ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον 1 πραγματική ρίζα;

rebel · 24-11-14

https://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_Tsigonias Antonis.pdf σελ 56.

eyb0ss · 24 Νοεμβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Loreley:
Πως θα αποδείξω ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον 1 πραγματική ρίζα;

Έστω $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, x\in R$ με $n$ περιττό
Υποθέτουμε ότι $a_n>0$ χωρίς βλάβη της γενικότητας, τότε
$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=\lim_{x\to +\infty}a_nx^n}=+\infty>0$
άρα $f$ θετική κοντά στο $+\infty$ άρα υπάρχει $x_1$ σε διάστημα της μορφής $(a,+\infty)$ τέτοιο, ώστε $f(x_1)>0$
$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=\lim_{x\to -\infty}a_nx^n}=-\infty<0$
άρα $f$ αρνητική κοντά στο $-\infty$ άρα υπάρχει $x_2$ σε διάστημα της μορφής $(-\infty,b)$ τέτοιο, ώστε $f(x_2)<0$ .
Υποθέτουμε $x_1<x_2$ χωρίς βλάβη της γενικότητας και πάλι
$f(x_1)f(x_2)<0$
$f$ συνεχής στο $[x_1,x_2]$ άρα υπάρχει $x_0\in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=0$

Ομοίως αν $a_n<0$

Loreley · 24-11-14

Δεν κατάλαβα πολύ καλά γιατί βάζω τα διαστήματα (α,+οο) και (-οο,β)..

eyb0ss · 24 Νοεμβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Loreley:
Δεν κατάλαβα πολύ καλά γιατί βάζω τα διαστήματα (α,+οο) και (-οο,β)..

Τα $a,b$ είναι αυθαίρετα και δεν επηρεάζουν τα $x_1,x_2$ όπως δεν επηρεάζουν όρια, ακρότατα κτλ. Εναλλακτικά μπορείς να πεις ότι τα $x_1,x_2$ είναι κοντά σε $+\infty,-\infty$ αντίστοιχα αν θες να αποφύγεις διαστήματα.

Trust me, I'm an economist.

Loreley · 24-11-14

edit: εντάξει άκυρον η απορία, το κατάλαβα

Σας ευχαριστώ styt_geia και mathguy

rebel · 24 Νοεμβρίου 2014

Άλλη μία απόδειξη χωρίς όρια - όχι δική μου. Έστω $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ a_1 x+a_0$ με $n$ περιττό (αν $a_n \neq 1$ απλά θεωρώ το πολυώνυμο $g(x)=\frac{1}{a_n}f(x)$ το οποίο αν έχει ρίζα, αυτή προφανώς θα είναι και ρίζα του $f(x)$ ). Για $x \neq 0$ είναι
$f(x)=x^n\left( 1+\frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n} \right).$
Θέτουμε $M=1+|a_{n-1}|+ \cdots + |a_1|+|a_0|.$ Αν $|x|>M$ τότε
$\left|a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\right| \leq \left|a_{n-1}x^{n-1}\right|+\cdots+|a_1x|+|a_0| \stackrel{|x|>M\geq 1}{\leq}$
$\left(|a_{n-1}|+\cdots+|a_1|+|a_0|\right)|x|^{n-1} <M|x|^{n-1}<|x|^n.$
Άρα
$\left|\frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n} \right|<1 \Rightarrow 1+ \frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n}>0.$
Θεωρούμε $a<-M<0.$ Αφού ο $n$ είναι περιττός θα είναι $a^n<0 \Rightarrow f(a)<0 ,\,\,(1).$ Θεωρούμε επίσης $b>M>0$ οπότε και πάλι $b^n>0 \Rightarrow f(b)>0,\,\,(2).$ Από τις σχέσεις (1), (2) και το θεώρημα Bolzano, υπάρχει $\xi \in (a,b) \subset \mathbb{R}$ ώστε $f(\xi)=0.$

eyb0ss · 24-11-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Άλλη μία απόδειξη χωρίς όρια - όχι δική μου. Έστω $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ a_1 x+a_0$ με $n$ περιττό (αν $a_n \neq 1$ απλά θεωρώ το πολυώνυμο $g(x)=\frac{1}{a_n}f(x)$ το οποίο αν έχει ρίζα, αυτή προφανώς θα είναι και ρίζα του $f(x)$ ). Για $x \neq 0$ είναι
$f(x)=x^n\left( 1+\frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n} \right).$
Θέτουμε $M=1+|a_{n-1}|+ \cdots + |a_1|+|a_0|.$ Αν $|x|>M$ τότε
$\left|a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\right| \leq \left|a_{n-1}x^{n-1}\right|+\cdots+|a_1x|+|a_0| \stackrel{|x|>M\geq 1}{\leq}$
$\left(|a_{n-1}|+\cdots+|a_1|+|a_0|\right)|x|^{n-1} <M|x|^{n-1}<|x|^n.$
Άρα
$\left|\frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n} \right|<1 \Rightarrow 1+ \frac{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{x^n}>0.$
Θεωρούμε $a<-M<0.$ Αφού ο $n$ είναι περιττός θα είναι $a^n<0 \Rightarrow f(a)<0 ,\,\,(1).$ Θεωρούμε επίσης $b>M>0$ οπότε και πάλι $b^n>0 \Rightarrow f(b)>0,\,\,(2).$ Από τις σχέσεις (1), (2) και το θεώρημα Bolzano, υπάρχει $\xi \in (a,b) \subset \mathbb{R}$ ώστε $f(\xi)=0.$

Είναι...

πανέμορφο.
Όμως γιατί τόση απέχθεια απέναντι στα όρια;

rebel · 24 Νοεμβρίου 2014

Καμία απέχθεια απλώς επειδή η απόδειξη με τα όρια, την οποία άλλωστε παρέθεσα κι εγώ, είναι η πιο διαδεδομένη, είπα να βάλω και μία εναλλακτική. Βέβαια τώρα που την ξαναβλέπω, το επιχείρημα «θεωρώ $x$ τέτοιο ώστε $|x|>M$ » δεν απέχει και πολύ από το $x \to \pm \infty.$ Και οι δύο αποδείξεις χρησιμοποιούν το γεγονός ότι για αρκούντως μεγάλα ή μικρά $x$ , η $f(x)$ συμπεριφέρεται παρόμοια με την $x^n$ ως προς το πρόσημο.

spirosmal · 03-12-14

θα ήθελα μια βοήθεια στην εξής άσκηση:δίνεται f:R->R ,παραγωγισιμη, με f(0)=0 και :f' (x)=1+f^2(x) για καθε x e R.να βρεθεί το όριο:limx->+00 [x^2f(1/x)],εχω κολλησει μετα την αλλαγη μεταβλητης και αφου κανω del hospital.

eyb0ss · 3 Δεκεμβρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από spirosmal:
θα ήθελα μια βοήθεια στην εξής άσκηση:δίνεται f:R->R ,παραγωγισιμη, με f(0)=0 και :f' (x)=1+f^2(x) για καθε x e R.να βρεθεί το όριο:limx->+00 [x^2f(1/x)],εχω κολλησει μετα την αλλαγη μεταβλητης και αφου κανω del hospital.

Επειδή $x\to +\infty$ υποθέτουμε ότι $x>0$ .
Θέτουμε $u=\frac{1}{x}>0$ , τότε $\lim_{x\to +\infty}[x^2f(\frac{1}{x})]=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{f(u)}{u^2}$
$u\to 0^{+}$ επειδή $u>0$ άρα $\lim_{x\to +\infty}[x^2f(\frac{1}{x})]=\lim_{u\to 0^{+}}\frac{f(u)}{u^2}=(DLH \frac{0}{0}) \lim_{u\to 0^{+}}\frac{f'(u)}{2u}=+\infty$ επειδή $\lim_{u\to 0^{+}}f'(u)}=f'(0)=1$ και $\lim_{u\to 0^{+}}(2u)=0$ με $2u>0$ κοντά στο $0$

Για την ιστορία, η συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση $f'(x)=1+f^2(x)$ είναι η $\epsilon\phi(x)$ (Όμως όχι για κάθε $x\in R$ )

spirosmal · 03-12-14

ευχαριστω πολυ,ουσιαστικα δεν ειχα καταλαβει γιατι το υ τεινει στο 0 απο τα δεξια,οποτε τωρα ενταξει βγαινει

Navarro1996 · 04-12-14

Νομιζω εδω ειναι το καταλληλο θεμα για την απορια μου!! Δινω 2η φορα πανελληνιες, και περυσι ενω στα υπολοιπα μαθηματα πηγα καλα, μαθηματικα στα ευκολα περσινα θεματα πηρα 8. Φετος εχει 1-2 βδομαδες που ξεκινησα ιδιαιτερα μαθηματικα και τελειωσα το κεφαλαιο των μιγαδικων, αλλα δεν νιωθω σιγουρος για το αν το καλυψα σωστα! Η συμβουλη που εχετε να μου δωσετε για να υπερκαλυψω το συγκεκριμενο κεφαλαιο, που παραδοσιακα πεφτει 2ο θεμα ποια ειναι??

damn · 04-12-14

Δίνεις πάλι;και εγώ δίνω.Αληθεια ποια σχολή στοχεύεις ημμυ ΕΜΠ να φανταστώ;

Navarro1996 · 04-12-14

ΗΜΜΥ ΑΠΘ, επειδη μενω επαρχια κοντα στην θεσσ/νικη, αλλα και μηχανολογια δεν με χαλαει!! Για να πιασω ομως τετοιες σχολες πρεπει να παρω τουλαχιστον ενα 15+ μαθηματικα και αυτο το πραμα απαιτει σιγουρα πολυ κοπο! Για αυτο καποιες συμβουλες για το πως να διαβαζω το συγκεκριμενο μαθημα θα ηταν πολυ χρησιμες (κενα απο προηγουμενες ταξεις δεν εχω, κωνικες τομες απο Β Λυκειου ειχα λιγο θεμα, αλλα τα καλυψα γιατι ειναι MUST στους μιγαδικους ως γ.τ )

Vold · 04-12-14

Αρχική Δημοσίευση από Navarro1996:
ΗΜΜΥ ΑΠΘ, επειδη μενω επαρχια κοντα στην θεσσ/νικη, αλλα και μηχανολογια δεν με χαλαει!! Για να πιασω ομως τετοιες σχολες πρεπει να παρω τουλαχιστον ενα 15+ μαθηματικα και αυτο το πραμα απαιτει σιγουρα πολυ κοπο! Για αυτο καποιες συμβουλες για το πως να διαβαζω το συγκεκριμενο μαθημα θα ηταν πολυ χρησιμες (κενα απο προηγουμενες ταξεις δεν εχω, κωνικες τομες απο Β Λυκειου ειχα λιγο θεμα, αλλα τα καλυψα γιατι ειναι MUST στους μιγαδικους ως γ.τ )

Με συγχωρείς που θα σου το χαλάσω αλλά με 15+ στα μαθηματικά δεν περνάς ΗΜΜΥ.
Τα μόρια είναι ήδη πάρα πολλά και σίγουρα κάπου θα χάσεις κάποιους βαθμούς άρα αποκλείεται να το πιάσεις, ειδικά αν ανεβεί με τόσο λίγο στα μαθηματικά.
Προς ενημέρωση σου, 18.670 μόρια έχει και ανέβηκε σχεδόν 1.000 μόρια πάνω φέτος..

DumeNuke · 04-12-14

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Με συγχωρείς που θα σου το χαλάσω αλλά με 15+ στα μαθηματικά δεν περνάς ΗΜΜΥ.
Τα μόρια είναι ήδη πάρα πολλά και σίγουρα κάπου θα χάσεις κάποιους βαθμούς άρα αποκλείεται να το πιάσεις, ειδικά αν ανεβεί με τόσο λίγο στα μαθηματικά.
Προς ενημέρωση σου, 18.670 μόρια έχει και ανέβηκε σχεδόν 1.000 μόρια πάνω φέτος..

18683 μόρια σημαίνουν:
15 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
20 στα υπόλοιπα 5 μαθήματα...

@OP
Μην ξεχνάς, τα Μαθ.Κατ. είναι το μάθημα αυξημένης βαρύτητας.... Το 15 που ευελπιστείς να γράψεις σημαίνει -1.300 μόρια, με το καλημέρα. Δεν έχεις περιθώριο να είσαι τόσο large... :whistle:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος