Βοήθεια σε άσκηση μαθηματικών

[eukleidhs1821]

View attachment 97090
Θα αναρωτιόταν αν θα λυνόταν εαν δεν ήταν συνεχής στο 0 η f' .

με αυτο τον τροπο που ελυσε ο αλεξ σιγουρα δε θα λυνοταν αν δε σου δινε τη συνεχεια της f'

 

[Samael]

με αυτο τον τροπο που ελυσε ο αλεξ σιγουρα δε θα λυνοταν αν δε σου δινε τη συνεχεια της f'

Εε προφανώς ρε Ευκλείδη για αυτό το ρώτησα . Η πρώτη ευκολία θα ήταν να σου δίνει μπαμ μια τιμή της f'. Η άλλη να σου δώσει όπως και έκανε την συνέχεια της f' στο 0, και ιδού το ερώτημα εαν δεν στο έδινε ούτε αυτό, θα μπορούσε να βρεθεί αποδειχθεί το ζητούμενο.

Εντελώς υπαρξιακή ερώτηση, όχι να το αποδείξουμε αλλά εαν θα γινόταν. Που είναι και ο Μάρκος Βασίλης να μας απαντήσει κατά gödel .

 

[eukleidhs1821]

Για να το καταλάβει κανείς αυτό το θεώρημα έστω και διαισθητικά, αρκεί να σκεφτεί τον επίσημο ορισμό του ορίου. Λέμε πως η f έχει όριο στο χo το L, εαν για κάθε ε>0 , μπορεί να βρεθεί ένα δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε |χ-xo| < δ να ισχύει |f(x) - L| < ε .

Αυτό σημαίνει πως η f μπορεί να προσεγγίσει το όριο L αυθαίρετα κοντά. Ποτέ δεν πρόκειται να το αγγίξει, αλλά στην πράξη στον κόσμο των μαθηματικών, το πλησιάζει απειροστά.

Στην περίπτωση λοιπόν που το L < 0 , και δεδομένου οτι μπορώ να κάνω το ε οσοδήποτε μικρό επιθυμώ(αλλά πάντα θετικό), επιλέγω να το κάνω μικρότερο απο το L έτσι ώστε f(x) < L + ε < 0 . Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό,εφόσον η f έχει όριο στο xo το L, μπορεί να βρεθεί δ τέτοιο ώστε για κάθε |x-xo| < δ να είναι :

|f(x) - L| < ε =>
L - ε < f(x) < L + ε < 0

Επομένως μπορώ να βρω κάποιο x κοντά στο χο, στην γειτονιά (xo-δ)U(xο+δ) συγκεκριμένα, τέτοιο ώστε f(x) < 0 . Κάτι τέτοιο κάναμε και εδώ χωρίς βέβαια να αναφερθούμε σε αυτά, και με την διαφορά οτι το L μας έτεινε στο +οο. Καμία διαφορά ωστόσο,ίδια λογική.

Η αλήθεια είναι οτι κακώς δεν διδάσκεται ο ορισμός γιατί περνάει η εντύπωση οτι ο μαθητής κάνει μαγικά στον λογισμό, με πράγματα που κάπως τείνουν στο 0, κάπως πάνε στο άπειρο, είναι τάδε κοντά στο τάδε, ή διαιρούμε με x και το αφήνουμε να πλησιάσει το 0 χωρίς να το ιάσει κτλπ. κτλπ. και χάνουμε την ουσία για το τι σημαίνουν. Γιατί προφανώς το τείνω σε κάτι ,ή το είμαι άπειρος κτλπ. είναι έννοιες τις οποίες φτιάχνει κανείς για να δουλεύει πιο άνετα, αλλά έχουν λογική απο πίσω τους. Anyways δεν είμαι μαθηματικός για να επιμένω στο rigour,αλλά κάποια πράγματα έστω και πιο λεπτομερή καμιά φορά βοηθάνε στο να καταλαβαίνουμε τουλάχιστον στοιχειωδώς γιατί κάτι δουλεύει. Προφανώς κανείς δεν θα λύσει ποτέ ένα όριο με βάση τον ορισμό, αλλά πιστεύω οτι ο ορισμός είναι σημαντικός για να καταλάβει κανείς για τι μιλάει.

σε επιπεδο πανεπιστημιου παντως και ειδικα σε πολλες μεταβλητες μεσω ορισμου αποκλειστικα βγαινουν ή πας με πολικες συντεταγμενες

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 20 Φεβρουαρίου 2022

παντως παρα πολυ εξυπνο ερωτημα.ομολογω δεν το εχω ξαναδει.συνηθως δινουνε παντα τις τιμες.δεν σου κοβει με την καμια παναγια να πας με το οριο ενω ειναι κατι απλο τελικα αλλα το απλο ειναι το δυσκολο.θα ειχε πλακα να επεφτε πανελλαδικες λογικα 2/100 θα το εβγαζαν

 

[Samael]

σε επιπεδο πανεπιστημιου παντως και ειδικα σε πολλες μεταβλητες μεσω ορισμου αποκλειστικα βγαινουν ή πας με πολικες συντεταγμενες

Στο μαθηματικό σίγουρα κάνουν τους ορισμούς. Βέβαια ακόμα και εκεί μετά απο ένα σημείο θα στηρίζονται σε θεωρήματα, ιδιότητες και λήμματα βέβαια. Αλίμονο εαν πήγαινες βάσει ορισμού σε πολύ περίπλοκες καταστάσεις, θα σου έπαιρνε 100 χρόνια να λύσεις το πρόβλημα. Αλλά είναι απαραίτητοι γιατί σε βοηθούν να είσαι rigorous, και επειδή αποτελούν τα θεμέλια για κάθε τομέα. Χωρίς ορισμούς δεν μπορεί να ξεκινήσει καν η πρακτική μελέτη.

Σε άλλες σχολές τώρα όχι. Τουλάχιστον σε εμάς δεν θυμάμαι να είχαν αναφέρει ποτέ τον αυστηρό ορισμό του ορίου όπως το περιέγραψα. Που όπως είπα είναι λάθος, κατά την γνώμη μου πάντα. Πρέπει να έχεις λίγο δηλαδή στο μυαλό σου πως ορίζονται αυστηρά κάποιες θεμελιώδεις έννοιες.

 

[eukleidhs1821]

Στο μαθηματικό σίγουρα κάνουν τους ορισμούς. Βέβαια ακόμα και εκεί μετά απο ένα σημείο θα στηρίζονται σε θεωρήματα, ιδιότητες και λήμματα βέβαια. Αλίμονο εαν πήγαινες βάσει ορισμού σε πολύ περίπλοκες καταστάσεις, θα σου έπαιρνε 100 χρόνια να λύσεις το πρόβλημα. Αλλά είναι απαραίτητοι γιατί σε βοηθούν να είσαι rigorous, και επειδή αποτελούν τα θεμέλια για κάθε τομέα. Χωρίς ορισμούς δεν μπορεί να ξεκινήσει καν η πρακτική μελέτη.

Σε άλλες σχολές τώρα όχι. Τουλάχιστον σε εμάς δεν θυμάμαι να είχαν αναφέρει ποτέ τον αυστηρό ορισμό του ορίου όπως το περιέγραψα. Που όπως είπα είναι λάθος, κατά την γνώμη μου πάντα. Πρέπει να έχεις λίγο δηλαδή στο μυαλό σου πως ορίζονται αυστηρά κάποιες θεμελιώδεις έννοιες.

ναι σιγουρα δεν δινουνε πολυ βαση γτ εσεις θελετε την εφαρμογη.βεβαια φανταζομαι οτι χρησιμοποιειται πολικες συντατεγμενες που ειναι ενας αγαπημενος τροπος ευρεσης οριων σε πολλες μεταβλητες

 

[Samael]

ναι σιγουρα δεν δινουνε πολυ βαση γτ εσεις θελετε την εφαρμογη.βεβαια φανταζομαι οτι χρησιμοποιειται πολικες συντατεγμενες που ειναι ενας αγαπημενος τροπος ευρεσης οριων σε πολλες μεταβλητες

Κυρίως ναι,σε ενδιαφέρει πως θα υπολογίσεις ένα όριο που θα σου τύχει λόγου χάρη παρά η φιλοσοφική ιδέα απο πίσω.

Για την ακρίβεια ναι, επειδή και στην πραγματικότητα οι διατάξεις που συχνά σχεδιάζουν οι ημμυ έχουν ωραίες(απο μαθηματικής άποψης) συμμετρίες, μπορείς να κάνεις χρήση πιο "θεωρητικών" μαθηματικών εργαλείων. Για την ακρίβεια ένας καθηγητής μας , μας τόνιζε την σημασία του να είναι κανείς καλός στα μαθηματικά γιατί στον ηλεκτρομαγνητισμό προκύπτουν προβλήματα που ακόμα και ο solver στον υπολογιστή ίσως δεν τα καταφέρνει τόσο καλά όσο θα τα έλυνε κανείς με το χέρι, ορισμένες φορές.

Σε άλλα πεδία όπως η μηχανολογία ή ρευστομηχανική κτλπ. δεν έχεις τόσο συχνά ωραίες συμμετρίες(σφαίρες,κυλίνδρους,ορθογώνια κτλπ.) αλλά πιο περίπλοκες. Προφανώς εκεί χρειάζονται αριθμητικές λύσεις αλλά κερδίζεις σε άλλα πράγματα. Π.χ. μια smooth καμπύλη επιφάνεια ναι μεν είναι πιο δύσκολη στην μαθηματική ανάλυση αλλά έχει λόγου χάρη καλύτερη αεροδυναμική απο έναν κύβο...οπότε κατάλαβες πως πάει το πράγμα. Και επειδή οι υπολογιστές έχουν εξελιχθεί τόσο πολύ πλέον, κανείς δεν νοιάζεται για τις δυσκολίες στην μαθηματική ανάλυση, αφού ο υπολογιστής την κάνει την δουλειά.