Βοήθεια σε άσκηση μαθηματικών

[Guest 004218]

Αν μπορεί κάποιος ας βοηθήσει στο Δ1. Ευχαριστώ

 

[eukleidhs1821]

μηπως αντι για f(1)=1 ειναι f τονος του 1=1??νομιζω ειναι λαθος η εκφωνηση

 

[Guest 004218]

μηπως αντι για f(1)=1 ειναι f τονος του 1=0???νομιζω ειναι λαθος η εκφωνηση

Πιθανόν, δεν είναι δική μου άσκηση. Ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

 

[eukleidhs1821]

Πιθανόν, δεν είναι δική μου άσκηση. Ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

μαλλον σωστη ειναι η εκφωνηση γτ με το f(1)=1 βγαινουν τα ζητουμενα του τριτου ερωτηματος.καποια πονηραδα ισως με ατοπο να θελει αλλα δεν μου ερχεται.διατηρει σταθερο προσημο με τα κλαασικα και θελω προσημο για το φ τονος του 1

 

[Cade]

Πραγματι αν ήταν f'(1) θα βοηθούσε παρα πολύ

Λοιπόν, έστω ότι υπάρχει Χο : f'(xο)<ln(xo)(1). Αφού παρουσιάζει κρίσιμο στο Χο και είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού => f'(xo) =0. Αντικαθιστώντας στην (1) : lnxo>0 <=> xo>1<=>f'(xo)>f'(1) που είναι άτοπο γιατί δεν ισχύει για κάθε Χ>0
----
Δεν ειμαι σίγουρος για την ορθότητα της συγκεκριμένης λύσης αλλά αυτή τη στιγμή δεν μου ρχεται κάτι αλλο.

 

[Guest 004218]

Λοιπόν, έστω ότι υπάρχει Χο : f'(xο)<ln(xo)(1). Αφού παρουσιάζει κρίσιμο στο Χο και είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού => f'(xo) =0. Αντικαθιστώντας στην (1) : lnxo>0 <=> xo>1<=>f'(xo)>f'(1) που είναι άτοπο γιατί δεν ισχύει για κάθε Χ>0
----
Δεν ειμαι σίγουρος για την ορθότητα της συγκεκριμένης λύσης αλλά αυτή τη στιγμή δεν μου ρχεται κάτι αλλο.

Ναι αλλα νομιζω το xo που παιρνεις στην αρχη ειναι τυχαιο και δεν ταυτιζεται με το κρίσιμο σημειο της f. Οποτε πως γίνεται να κανεις αντικατάσταση

 

[eukleidhs1821]

Λοιπόν, έστω ότι υπάρχει Χο : f'(xο)<ln(xo)(1). Αφού παρουσιάζει κρίσιμο στο Χο και είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού => f'(xo) =0. Αντικαθιστώντας στην (1) : lnxo>0 <=> xo>1<=>f'(xo)>f'(1) που είναι άτοπο γιατί δεν ισχύει για κάθε Χ>0
----
Δεν ειμαι σίγουρος για την ορθότητα της συγκεκριμένης λύσης αλλά αυτή τη στιγμή δεν μου ρχεται κάτι αλλο.

δεν νομιζω φιλε.για να δινει την συνεχεια της φ' πρεπει να κανεις τη συνεπεια του bolzano.το θεμα ειναι οτι θες προσημο μιας τιμης για να γενικευσεις.εφοσον σου δινει στο επομενο ερωτημα να αποδειξεις οτι το χο κινειται απο 0 εως 1 λογικα θα χρειαστεις το προσημο της f'(1).

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Φεβρουαρίου 2022

καταρχην σιγουρα f'(1) ειναι διαφορο του μηδενος αν το βαλεις τη σχεση f'(1) διαφορο του ln1.αν πεις εστω f'(1)<0 και πας με το οριο limf(x)-f(1)/x-1<0 κοντα στο 1.πεφτεις σε ατοπο?δεν πεφτεις.δεν νομιζω να υπαρχει αλλος τροπος αρα καταληγω οτι λειπει ενα δεδομενο στην ασκηση

Λοιπόν, έστω ότι υπάρχει Χο : f'(xο)<ln(xo)(1). Αφού παρουσιάζει κρίσιμο στο Χο και είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού => f'(xo) =0. Αντικαθιστώντας στην (1) : lnxo>0 <=> xo>1<=>f'(xo)>f'(1) που είναι άτοπο γιατί δεν ισχύει για κάθε Χ>0
----
Δεν ειμαι σίγουρος για την ορθότητα της συγκεκριμένης λύσης αλλά αυτή τη στιγμή δεν μου ρχεται κάτι αλλο.

 

[Cade]

επισης λες οτι f'(1)=1.αν το ξεραμε αυτο χαιρω πολυ λυνοταν η ασκηση.

Όχι, απλά πέρασα την f'

 

[eukleidhs1821]

Όχι, απλά πέρασα την f'

ναι συγγνωμη εχεις δικιο δεν το ειδα

 

[Cade]

Ίσως με έναν πίνακα ψιλοξεκαθαρισει το τοπίο αλλά και παλι νομίζω είναι αχρειαστος στο πρώτο ερώτημα.

 

[eukleidhs1821]

δεν ξεκαθαριζει γτ θες το προσημο της f'(x)-lnx.θεωρω οτι λειπει δεδομενο.

 

[Alexandros28]

Η f δίνει ότι είναι παραγωγισιμη στο ΚΛΕΙΣΤΟ [0,+οο). Έτσι, αν πάρουμε τα όριο της παράστασης (f’(x)-lnx) στο 0 θα δώσει f’(0) -(-oo) άρα +οο. Επομένως υπάρχει κ κοντα στο 0 τέτοιο ώστε
f’(κ)-lnκ>0

 

[Guest 004218]

Η f δίνει ότι είναι παραγωγισιμη στο ΚΛΕΙΣΤΟ [0,+οο). Έτσι, αν πάρουμε τα όριο της παράστασης (f’(x)-lnx) στο 0 θα δώσει f’(0) -(-oo) άρα +οο. Επομένως υπάρχει κ κοντα στο 0 τέτοιο ώστε
f’(κ)-lnκ>0

Πως ομως αυτο αποδεικνύεται για καθε x>0;

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Φεβρουαρίου 2022

@eukleidhs1821 Εστω οτι ξερω το προσημο της f'(1) και λυνω το 1ο ερωτημα. Το Β πως λυνεται; (σε ρωταω γιατι ειπες πανω οτι θα χρησιμοποιηθεί το προσημο της παραγωγού στο 1 για την λυση του δ2)

 

[Samael]

Πως ομως αυτο αποδεικνύεται για καθε x>0;

Το έχει εξασφαλίσει από την συνέχεια της f' και το γεγονός ότι f'(x) != lnx.

Οπότε είτε θα είναι f'(x) > lnx για κάθε x > 0 είτε f '(x) < lnx για κάθε x > 0.

Επομένως το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να βρεις έστω και μια τιμή μόνο κ τέτοια ώστε f(κ) > lnκ για να αποδείξεις την σχέση γενικά για κάθε x.

 

[Cade]

Εστω οτι ξερω το προσημο της f'(1) και λυνω το 1ο ερωτημα. Το Β πως λυνεται; (σε ρωταω γιατι ειπες πανω οτι θα χρησιμοποιηθεί το προσημο της παραγωγού στο 1 για την λυση του δ2)

Πολύ εύκολα αντικαθιστώντας που χ το Χο στη σχέση του Δ1

 

[Guest 004218]

Η f δίνει ότι είναι παραγωγισιμη στο ΚΛΕΙΣΤΟ [0,+οο). Έτσι, αν πάρουμε τα όριο της παράστασης (f’(x)-lnx) στο 0 θα δώσει f’(0) -(-oo) άρα +οο. Επομένως υπάρχει κ κοντα στο 0

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Φεβρουαρίου 2022

Ευχαριστώ πολυ όλους!!!

 

[Alexandros28]

Έστω πως δεν υπάρχει κ τέτοιο ώστε…τότε για κάθε χ>0 η παράσταση ειναι αρνητική, άτοπο αφου το όριο στο 0 ειναι +οο

 

[Samael]

Για να το καταλάβει κανείς αυτό το θεώρημα έστω και διαισθητικά, αρκεί να σκεφτεί τον επίσημο ορισμό του ορίου. Λέμε πως η f έχει όριο στο χo το L, εαν για κάθε ε>0 , μπορεί να βρεθεί ένα δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε |χ-xo| < δ να ισχύει |f(x) - L| < ε .

Αυτό σημαίνει πως η f μπορεί να προσεγγίσει το όριο L αυθαίρετα κοντά. Ποτέ δεν πρόκειται να το αγγίξει, αλλά στην πράξη στον κόσμο των μαθηματικών, το πλησιάζει απειροστά.

Στην περίπτωση λοιπόν που το L < 0 , και δεδομένου οτι μπορώ να κάνω το ε οσοδήποτε μικρό επιθυμώ(αλλά πάντα θετικό), επιλέγω να το κάνω μικρότερο απο το L έτσι ώστε f(x) < L + ε < 0 . Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό,εφόσον η f έχει όριο στο xo το L, μπορεί να βρεθεί δ τέτοιο ώστε για κάθε |x-xo| < δ να είναι :

|f(x) - L| < ε =>
L - ε < f(x) < L + ε < 0

Επομένως μπορώ να βρω κάποιο x κοντά στο χο, στην γειτονιά (xo-δ)U(xο+δ) συγκεκριμένα, τέτοιο ώστε f(x) < 0 . Κάτι τέτοιο κάναμε και εδώ χωρίς βέβαια να αναφερθούμε σε αυτά, και με την διαφορά οτι το L μας έτεινε στο +οο. Καμία διαφορά ωστόσο,ίδια λογική.

Η αλήθεια είναι οτι κακώς δεν διδάσκεται ο ορισμός γιατί περνάει η εντύπωση οτι ο μαθητής κάνει μαγικά στον λογισμό, με πράγματα που κάπως τείνουν στο 0, κάπως πάνε στο άπειρο, είναι τάδε κοντά στο τάδε, ή διαιρούμε με x και το αφήνουμε να πλησιάσει το 0 χωρίς να το ιάσει κτλπ. κτλπ. και χάνουμε την ουσία για το τι σημαίνουν. Γιατί προφανώς το τείνω σε κάτι ,ή το είμαι άπειρος κτλπ. είναι έννοιες τις οποίες φτιάχνει κανείς για να δουλεύει πιο άνετα, αλλά έχουν λογική απο πίσω τους. Anyways δεν είμαι μαθηματικός για να επιμένω στο rigour,αλλά κάποια πράγματα έστω και πιο λεπτομερή καμιά φορά βοηθάνε στο να καταλαβαίνουμε τουλάχιστον στοιχειωδώς γιατί κάτι δουλεύει. Προφανώς κανείς δεν θα λύσει ποτέ ένα όριο με βάση τον ορισμό, αλλά πιστεύω οτι ο ορισμός είναι σημαντικός για να καταλάβει κανείς για τι μιλάει.

 

[eukleidhs1821]

Η f δίνει ότι είναι παραγωγισιμη στο ΚΛΕΙΣΤΟ [0,+οο). Έτσι, αν πάρουμε τα όριο της παράστασης (f’(x)-lnx) στο 0 θα δώσει f’(0) -(-oo) άρα +οο. Επομένως υπάρχει κ κοντα στο 0 τέτοιο ώστε
f’(κ)-lnκ>0

ναι εχεις δικιο.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Φεβρουαρίου 2022

πολυ πονηρο σημειο παντως αυτο.ουσιαστικα κανεις χρηση limf(x)>0 κοντα στο χ0 f(x)>0

 

[Samael]

ναι εχεις δικιο.

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 19 Φεβρουαρίου 2022

πολυ πονηρο σημειο παντως αυτο.ουσιαστικα κανεις χρηση limf(x)>0 κοντα στο χ0 f(x)>0

Θα αναρωτιόταν αν θα λυνόταν εαν δεν ήταν συνεχής στο 0 η f' .