Για να το καταλάβει κανείς αυτό το θεώρημα έστω και διαισθητικά, αρκεί να σκεφτεί τον επίσημο ορισμό του ορίου. Λέμε πως η f έχει όριο στο χo το L, εαν για κάθε ε>0 , μπορεί να βρεθεί ένα δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε |χ-xo| < δ να ισχύει |f(x) - L| < ε .
Αυτό σημαίνει πως η f μπορεί να προσεγγίσει το όριο L αυθαίρετα κοντά. Ποτέ δεν πρόκειται να το αγγίξει, αλλά στην πράξη στον κόσμο των μαθηματικών, το πλησιάζει απειροστά.
Στην περίπτωση λοιπόν που το L < 0 , και δεδομένου οτι μπορώ να κάνω το ε οσοδήποτε μικρό επιθυμώ(αλλά πάντα θετικό), επιλέγω να το κάνω μικρότερο απο το L έτσι ώστε f(x) < L + ε < 0 . Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό,εφόσον η f έχει όριο στο xo το L, μπορεί να βρεθεί δ τέτοιο ώστε για κάθε |x-xo| < δ να είναι :
|f(x) - L| < ε =>
L - ε < f(x) < L + ε < 0
Επομένως μπορώ να βρω κάποιο x κοντά στο χο, στην γειτονιά (xo-δ)U(xο+δ) συγκεκριμένα, τέτοιο ώστε f(x) < 0 . Κάτι τέτοιο κάναμε και εδώ χωρίς βέβαια να αναφερθούμε σε αυτά, και με την διαφορά οτι το L μας έτεινε στο +οο. Καμία διαφορά ωστόσο,ίδια λογική.
Η αλήθεια είναι οτι κακώς δεν διδάσκεται ο ορισμός γιατί περνάει η εντύπωση οτι ο μαθητής κάνει μαγικά στον λογισμό, με πράγματα που κάπως τείνουν στο 0, κάπως πάνε στο άπειρο, είναι τάδε κοντά στο τάδε, ή διαιρούμε με x και το αφήνουμε να πλησιάσει το 0 χωρίς να το ιάσει κτλπ. κτλπ. και χάνουμε την ουσία για το τι σημαίνουν. Γιατί προφανώς το τείνω σε κάτι ,ή το είμαι άπειρος κτλπ. είναι έννοιες τις οποίες φτιάχνει κανείς για να δουλεύει πιο άνετα, αλλά έχουν λογική απο πίσω τους. Anyways δεν είμαι μαθηματικός για να επιμένω στο rigour,αλλά κάποια πράγματα έστω και πιο λεπτομερή καμιά φορά βοηθάνε στο να καταλαβαίνουμε τουλάχιστον στοιχειωδώς γιατί κάτι δουλεύει. Προφανώς κανείς δεν θα λύσει ποτέ ένα όριο με βάση τον ορισμό, αλλά πιστεύω οτι ο ορισμός είναι σημαντικός για να καταλάβει κανείς για τι μιλάει.
