Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

lowbaper92 · 2014-01-13T03:44:26+0200

Αρχική Δημοσίευση από giorgosHTML:
να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνάει από το σημείο τομής των ευθειών : (E) y = 3x - 5 (D) y = x - 3 kai
(a) είναι κάθετη στο διάνυσμα: a dianysma = (-1,5)
(b) περνάει από το σημείο A(0,3)
(c) είναι παράλληλη στην ευθεία ΜΝ όπου Ν(2,0) και Μ(2,3)

Το σημείο τομής είναι το $K=(1,-2)$

Γενικά μια ευθεία που διέρχεται απ'το σημείο $K=\left({x}_{0},{y}_{0} \right)$ είναι της μορφής
$y-{y}_{0}=\lambda \left(x-{x}_{0} \right)$

Άρα στην περίπτωσή μας x0=1 και y0=-2, οπότε κάθε ευθεία που ψάχνουμε είναι της μορφής
$y+2=\lambda \left(x-1 \right)$

Οπότε το μόνο που χρειαζόμαστε είναι να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης (λ)
------------------------------------------------
α)
${\lambda }_{\vec{\alpha }}=\frac{y}{x}=\frac{5}{-1}=-5$

Εφόσον θέλουμε η ευθεία να είναι κάθετη στο διάνυσμα, χρησιμοποιούμε τη σχέση:
${\lambda }_{\varepsilon }\cdot {\lambda }_{\vec{\alpha }}=-1\Leftrightarrow {\lambda }_{\varepsilon }=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}$
Βάζουμε το (λ) που βρήκαμε στη γενική μορφή και προκύπτει η ευθεία y=(1/5)x-11/5

------------------------------------------------
β) Η εκφώνηση λέει ότι η ευθεία περνάει από 2 γνωστά σημεία, το Κ(1,-2) και το Α(0,3), άρα ο συντελεστής διεύθυνσης είναι
${\lambda }_{\varepsilon }=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{3-\left(-2 \right)}{0-1}=-5$ , και ομοίως βρίσκουμε την ευθεία.

------------------------------------------------
γ) Παρατηρούμε ότι η ευθεία που διέρχεται απ'τα σημεία Ν και Μ είναι κατακόρυφη, και συγκεκριμένα η $x=2$
Για να είναι παράλληλή της η ευθεία που ψάχνουμε θα πρέπει να είναι κι αυτή κατακόρυφη, δηλαδή της μορφής $x={x}_{0}$

Κι επειδή θέλουμε να διέρχεται απ'το Κ(1,-2) αναγκαστικά προκύπτει ότι η ευθεία θα είναι η $x=1$

giorgosHTML · 2014-01-13T17:28:52+0200

thanks bro

λοιπόν · 2014-01-13T22:12:27+0200

Παιδιά πώς αντέχετε;;;; Εγώ χημεία ΓΠ γράφω αύριο και παλεύω στο τηλ με μια φίλη μου να τα εξηγήσει, 'όχι αυτά τ ακαταλαβίστικα!!! Γεια σου ρε Μαρίνα!

κοκομπλοκος · 2014-01-16T18:56:55+0200

τριγωνο ΑΒΓ δινεται κορυφη Α(0.1) κ το υψος ε1:χ=2 κ η διαμεσος ε2:2χ-ψ-1=0 τα οποια αγονται απο την ιδια κορυφη ....να βρω τις κορυφες Β Κ Γ οποιος μπορει ας βοηθησει

[

δινονται οι ευθειες ε;χημθ+ψσυνθ=συνθ κ μια αλλη η; χσυνθ-ψημθ=ημθ

ι) ν.δ.ο οι ευθειες τεμνονται
ιι)να βρειτε το σημειο τομης τους Μ
ιιι)αν μια ευθεια ζ τεμνει τις ευθειες ε κ η στο σημεια Α,Β αντιστοιχα ν.δ.ο ΜΑ.ΜΒ=0 <--- ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑ Κ ΜΒ

ΜΙΑ ΒΟΗΘΕΙΑ ΟΠΟΙΟΣ ΜΠΟΡΕΙ

rebel · 2014-01-16T20:40:18+0200

Αρχική Δημοσίευση από κοκομπλοκος:
τριγωνο ΑΒΓ δινεται κορυφη Α(0.1) κ το υψος ε1:χ=2 κ η διαμεσος ε2:2χ-ψ-1=0 τα οποια αγονται απο την ιδια κορυφη ....να βρω τις κορυφες Β Κ Γ οποιος μπορει ας βοηθησει

To A δεν ανήκει στις ε1 και ε2 άρα ας πούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας Γ την κορυφή που αντιστοιχεί στο ύψος ε1 και την διάμεσο ε2. Λύνοντας το σύστημα των ε1 και ε2 προκύπτουν οι συντεταγμένες του $\Gamma(2,3)$ .
Έστω $B(x_B,y_B)$ οι συντεταγμένες του Β. Η ευθεία AB είναι κάθετη στην ε1 (ύψος από την κορυφή Γ). Όμως η ε1 είναι παράλληλη στον άξονα χ'χ, άρα η ΑΒ είναι παράλληλη στον y'y και όλα της τα σημεία έχουν την ίδια τεταγμένη. Οπότε $y_B=y_A=1$ . Έστω $M\left(\frac{0+x_B}{2},\frac{1+1}{2} \right)=\left(\frac{x_B}{2},1 \right)$ το μέσον του τμήματος ΑΒ. Οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της διαμέσου. Άρα αντικαθιστώντας έχουμε:
$2\frac{x_B}{2}-1-1=0 \Leftrightarrow x_B=2$

Αρχική Δημοσίευση από κοκομπλοκος:
δινονται οι ευθειες ε;χημθ+ψσυνθ=συνθ κ μια αλλη η; χσυνθ-ψημθ=ημθ

ι) ν.δ.ο οι ευθειες τεμνονται
ιι)να βρειτε το σημειο τομης τους Μ
ιιι)αν μια ευθεια ζ τεμνει τις ευθειες ε κ η στο σημεια Α,Β αντιστοιχα ν.δ.ο ΜΑ.ΜΒ=0 <--- ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑ Κ ΜΒ

α) Η ορίζουσα του συστήματος των δύο ευθειών είναι
$D= \left| \begin{matrix} \eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ \sigma \upsilon \nu \theta & - \eta \mu \theta \end{matrix} \right|=- \eta \mu ^2 \theta - \sigma \upsilon \nu ^2 \theta =-1 \neq 0.$
Άρα οι ευθείες τέμνονται διότι το σύστημά τους έχει ακριβώς μία λύση.
β)
Υπολογίζουμε
$D_x= \left| \begin{matrix} \sigma \upsilon \nu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\\eta \mu \theta & - \eta \mu \theta \end{matrix} \right|=- 2 \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta$
$D_y= \left| \begin{matrix} \eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ \sigma \upsilon \nu \theta & \eta \mu \theta \end{matrix} \right|= \eta \mu^2 \theta -\sigma \upsilon \nu ^2 \theta$
οπότε η λύση δίνεται από τους τύπους
$x=\frac{D_x}{D}, \,\,y=\frac{D_y}{D}$
γ)
Αφού το διάνυσμα $\overrightarrow {MA}$ ανήκει στην ευθεία ε, θα είναι παράλληλο στο διάνυσμα $\vec{a}=(\sigma \upsilon \nu \theta,-\eta \mu \theta)$ και αφού το διάνυσμα $\overrightarrow {MB}$ ανήκει στην ευθεία η, θα είναι παράλληλο στο διάνυσμα $\vec{b}=(-\eta \mu \theta, -\sigma \upsilon \nu \theta)$ . Όμως
$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ οπότε τα $\vec{a}, \vec{b}$ είναι κάθετα. Έτσι και τα $\overrightarrow {MA}, \overrightarrow {MB}$ είναι κάθετα οπότε $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}=0$

giorgosHTML · 2014-01-17T15:45:43+0200

Δίνεται παρ/μο ΑΒΓΔ με κέντρο το Κ(2,1) , Αν οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι y = x + 1 και y = -2x + 4 , να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών

απορίες:
πως θα καταλάβω σε ποιες πλευρές απευθύνονται οι εξισώσεις που δίνει ?
[(ίσως επειδή δεν έχουν ίδιο Χ σημαίνει ότι θα είναι οι 2 μη παράλληλες?)]

και πως θα μπορέσω να βρω της συντεταγμένες των πλευρών αφού μου δίνει μόνο της συντεταγμένες μέσου ?

για προσπαθήστε να τη λύσετε παίδες

Εχέμυθη · 2014-01-17T16:01:50+0200

Αρχική Δημοσίευση από giorgosHTML:
Δίνεται παρ/μο ΑΒΓΔ με κέντρο το Κ(2,1) , Αν οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι y = x + 1 και y = -2x + 4 , να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών

απορίες:
πως θα καταλάβω σε ποιες πλευρές απευθύνονται οι εξισώσεις που δίνει ?
[(ίσως επειδή δεν έχουν ίδιο Χ σημαίνει ότι θα είναι οι 2 μη παράλληλες?)]

και πως θα μπορέσω να βρω της συντεταγμένες των πλευρών αφού μου δίνει μόνο της συντεταγμένες μέσου ?

για προσπαθήστε να τη λύσετε παίδες

Αφου οι εξισωσεις εχουν διαφορετικο λ σημαινει ακριβως οτι ειναι οι μη παραλληλες.
αν λυσεις το συστημα των 2 εξισωσεων τοτε θα βρεις ενα σημειο που θα ειναι η το Α , Β , Γ, Δ ...θα το επιλεξεις εσυ αυτο....Αρα θα εχεις 2 σημεια , αυτου του κεντρο και το σημειο που βρηκες(αν στο συστημα επελεξες το σημειο που βρηκες να ειναι το Α τοτε μεσω του Κ θα εχεις υπολογισει το Γ). Αυτο σημαινει οτι μπορεις να υπολογισεις και ενα τριτο σημειο και απο εκει μετα να βρεις τις εξισωσεις των αλλων δυο πλευρων.

giorgosHTML · 2014-01-17T16:28:29+0200

Αρχική Δημοσίευση από Εχέμυθη:
Αφου οι εξισωσεις εχουν διαφορετικο λ σημαινει ακριβως οτι ειναι οι μη παραλληλες.
αν λυσεις το συστημα των 2 εξισωσεων τοτε θα βρεις ενα σημειο που θα ειναι η το Α , Β , Γ, Δ ...θα το επιλεξεις εσυ αυτο....Αρα θα εχεις 2 σημεια , αυτου του κεντρο και το σημειο που βρηκες(αν στο συστημα επελεξες το σημειο που βρηκες να ειναι το Α τοτε μεσω του Κ θα εχεις υπολογισει το Γ). Αυτο σημαινει οτι μπορεις να υπολογισεις και ενα τριτο σημειο και απο εκει μετα να βρεις τις εξισωσεις των αλλων δυο πλευρων.

Ok βρήκα το Γ σημείο.. Μετα ? Πως θα υπολογίσω το B η το Δ ώστε να υπολογίσω και τις εξισώσεις.. (θέλω η 2 συντεταγμένες η μια και την Λ)

rebel · 2014-01-17T16:56:18+0200

H ΓΔ διέρχεται από το Γ και είναι παράλληλη στην ΑΒ άρα μπορείς να την βρεις. Και η ΒΓ διέρχεται από το Γ και είναι παράλληλη στην ΑΔ άρα μπορείς να την βρεις.

Guest 019112 · 2014-01-31T23:44:09+0200

Για κάποιο λόγο δεν υπάρχει topic για βοήθεια στην άλγεβρα, οπότε γράφω εδώ.
Η άσκηση είναι η εξής:

Π(χ)= βχ^4 +4χ^3 + (α-β)χ^2 + αχ + 10

Να βρεθούν τα α,β, ανήκουν στους R, αν χ^2+2 είναι παράγοντας του Π(χ)

Παρακαλώ λίγη βοήθεια, είναι επείγον και ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Guest 856924 · 2014-01-31T23:58:01+0200

παιδια για πειτε μου λιγο αυτην εξισωση πως τη προχωραω....x^2-x+y^2-2y=..

rebel · 2014-02-01T00:36:10+0200

Αρχική Δημοσίευση από Panosgp:
Για κάποιο λόγο δεν υπάρχει topic για βοήθεια στην άλγεβρα, οπότε γράφω εδώ.
Η άσκηση είναι η εξής:

Π(χ)= βχ^4 +4χ^3 + (α-β)χ^2 + αχ + 10

Να βρεθούν τα α,β, ανήκουν στους R, αν χ^2+2 είναι παράγοντας του Π(χ)

Παρακαλώ λίγη βοήθεια, είναι επείγον και ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Εκτελώντας την διαίρεση των πολυωνύμων παίρνουμε:

$10 + a x + (a - b) x^2 + 4 x^3 + b x^4= \\ \left( x^2+2\right)\left(bx^2+4x+a-3b\right)+(a- 8 ) x+10-2a+6b$

και αφού η διαίρεση είναι τέλεια πρέπει το υπόλοιπο να είναι 0, δηλαδή:

$\begin{cases} a-8=0 \\ 10-2a+6b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=8 \\ b = 1 \end{cases}$

Αλεξακις · 2014-02-02T14:42:56+0200

Δίνονται οι κύκλοι : C1 : χ2+ψ2=1(χ τετραγωνο και ψ τετραγωνο) και C2: χ2+ψ2+2χ-4ψ+3=0(χ τετραγωνο και ψ τετραγωνο)
α) Να βρειτε τις συντεταγμενες των σημειων τομης του Α και Β
β)Να βρειτε την εξισωση της ευθειας ε η οποια οριζεται απο τα κεντρα των δυο κυκλων.Να αποδειξετε οτι ΑΒ καθετο στο ε

Avalonlll · 2014-02-26T21:44:42+0200

Καλησπερα... Μας εχει βαλει μια ασκηση η μαθηματικος και θα ηθελα αν μπορειτε να με βοηθησετε...
Εχω τη παρακατω ασκηση:
Να βρεθει η εξισωση του εγγεγραμμενου κυκλου του τριγωνου που σχηματιζει η ευθεια: (τρια χ πλην ριζα του τρια ψ και δεκαπεντε =0)(3x-ριζα3y+15=0)
με τους αξονες
Λεει να λυθει με 4 τροπους...
Εχω βρει εναν, με τον οποιο απο τον τυπο του ηρωνα(Ε=τρ) εχω βγαλει την ακτινα και μετα εχω κανει
d(i, x'x)=|Y1|=ρ
d(i, y'y)=|X1|=ρ
τα στοιχεια που δινει ειναι:
σημειο Α(-5,0) Β(0,3) Ο(0,0) Kαι το κεντρο του κυκλου το ονομασα Ι(x1,y1)
αν μπορει κανεις θα του ημουν ευγνώμων...

rebel · 2014-02-27T06:20:02+0200

Έστω $K(x_0,y_0)$ το κέντρο του κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες θα ισχύει $|x_0|=|y_0|=\rho,\,\,(1)$ . Η ευθεία $(\varepsilon):y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$ βρίσκουμε ότι τέμνει τους άξονες στα σημεία $A(-5,0),B\left(0,5\sqrt{3}\right)$ . Άρα:
$\left\{ \begin{matrix}-5<x_0<0 \\ 0<y_0<\sqrt{3}x_0+5\sqrt{3}\end{matrix} \right. ,\,\,(2)$
Ο δεύτερος περιορισμός προκύπτει απ' το γεγονός ότι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου θα βρίσκεται κάτω από την ευθεία $(\varepsilon)$ . Λόγω των περιορισμών (2) και της σχέσης (1) είναι: $x_0=-\rho,\,\,y_0=\rho$ . Επίσης:
$d(K,\varepsilon)=\rho \Leftrightarrow \frac{\left|-\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}\right|}{\sqrt{4}}=\rho \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}=2\rho \\ \acute \eta \\ -\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}=-2\rho \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\rho=\frac{5}{\sqrt{3}+1} \\ \acute \eta \\ \rho=\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \end{matrix} \right.$
Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι οι περιορισμοί (2) ικανοποιούνται για $\rho=\frac{5}{\sqrt{3}+1}$ . H άλλη τιμή του $\rho$ αντιστοιχεί στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΟΑΒ που εφάπτεται στις ίδιες ευθείες.

Άλλος τρόπος είναι να βρεθεί το κέντρο του κύκλου σαν σημείο τομής δύο εσωτερικών διχοτόμων του τριγώνου ΟΑΒ. Και ο τύπος $E=\tau \rho$ που λες πρέπει να δουλεύει.

Avalonlll · 1 Μαρτίου 2014 στις 19:08

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Έστω $K(x_0,y_0)$ το κέντρο του κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του. Αφού ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες θα ισχύει $|x_0|=|y_0|=\rho,\,\,(1)$ . Η ευθεία $(\varepsilon):y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$ βρίσκουμε ότι τέμνει τους άξονες στα σημεία $A(-5,0),B\left(0,5\sqrt{3}\right)$ . Άρα:
$\left\{ \begin{matrix}-5<x_0<0 \\ 0<y_0<\sqrt{3}x_0+5\sqrt{3}\end{matrix} \right. ,\,\,(2)$
Ο δεύτερος περιορισμός προκύπτει απ' το γεγονός ότι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου θα βρίσκεται κάτω από την ευθεία $(\varepsilon)$ . Λόγω των περιορισμών (2) και της σχέσης (1) είναι: $x_0=-\rho,\,\,y_0=\rho$ . Επίσης:
$d(K,\varepsilon)=\rho \Leftrightarrow \frac{\left|-\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}\right|}{\sqrt{4}}=\rho \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}=2\rho \\ \acute \eta \\ -\sqrt{3}\rho-\rho+5\sqrt{3}=-2\rho \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\rho=\frac{5}{\sqrt{3}+1} \\ \acute \eta \\ \rho=\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \end{matrix} \right.$
Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι οι περιορισμοί (2) ικανοποιούνται για $\rho=\frac{5}{\sqrt{3}+1}$ . H άλλη τιμή του $\rho$ αντιστοιχεί στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΟΑΒ που εφάπτεται στις ίδιες ευθείες.

Άλλος τρόπος είναι να βρεθεί το κέντρο του κύκλου σαν σημείο τομής δύο εσωτερικών διχοτόμων του τριγώνου ΟΑΒ. Και ο τύπος $E=\tau \rho$ που λες πρέπει να δουλεύει.

ωραια ευχαριστω πολυ!!
επισης, σε εξισωση παραμετρικη μ χει 2 ερωτηματα
1)να δειξω οτι παριστανει κυκλο οκ αυτο ειναι ευκολο
και 2)να δειξω λεει οτι διερχεται απο 2 σταθερα σημεια Α και Β κ να βρω τις εφαπτομενες π διερχονται απο αυτα τα 2 σημεια
πως τα βρισκω αυτα τα 2 σημεια;
βαζω 2 τυχαιες τιμες στο y και οτι χ βγει και αυτα ειναι τα σημεια;

rebel · 1 Μαρτίου 2014 στις 19:23

Δες εδώ στη σελίδα 261.

κοκομπλοκος · 27 Μαρτίου 2014 στις 22:05

δινεται η ελειψη C:x^2/32+y^2/2=1 na vreite tis efaptomenes tis eleipseis C sta shmeia ths me tetagmenh 1,,,pws lunetai auto??

Αλεξακις · 6 Απριλίου 2014 στις 19:53

Αν ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η ευθεία χ+2y+3=0,να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w=z-3+5i

Όποιος μπορεί ευχαριστώ!

Νομάρχης · 21 Απριλίου 2014 στις 21:59

Αρχική Δημοσίευση από Αλεξακις:
Αν ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η ευθεία χ+2y+3=0,να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w=z-3+5i

Όποιος μπορεί ευχαριστώ!

Έστω z=x+yi και w=α+βi. Ισχύει x+2y+3=0 ή x=-3-2y(1).
w=α+βi=x+yi-3-5i=(x-3)+(y-5)i=(1)(-3-2y-3)+(y-5)i=-(2y+6)i+(y-5)i. Δηλαδή α=-2y-6 και β=y-5, αντικαθιστώντας παίρνω
α=-2(β+5)-6 ή α=-2β-10-6 ή α=-2β -16. Δηλαδή, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία x+2y+16=0. Με συγχωρείς αν έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος...

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 019112

Επισκέπτης

Guest 856924

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος