Ωραίος, βγαίνει και κατευθείαν
Αν σου είναι εύκολο, δες και την προηγούμενη λύση και τον ΟΕΦΕ, ποια είναι η γνώμη σου;
Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει το ξ χωρίς κλαδική συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=f(x)lnx+(F(x)/x)=F΄(x)lnx+(F(x)/x) με πεδίο ορισμού το (0,+οο).
Η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο) οπότε και συνεχής σε αυτό. Επομένως η F είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,+οο) με
F΄(x)=f(x)
F΄΄(x)=f΄(x)
Είναι F(0)=0 και F΄(0)=f(0)=1
Από προηγούμενα ερωτήματα έχει προκύψει ότι F(x)>0 και F΄(x)>1>0 για x>0.
Για x=1 προκύπτει h(1)=F(1)>0
H f είναι συνεχής στο [0,+οο), οπότε είναι συνεχής στο 0 και επομένως lim(x->0+)f(x)=f(0)=1>0
Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο), οπότε είναι παραγωγίσιμη στο 0 με F΄(0)=f(0)=1
Από τον ορισμό της παραγώγου σε σημείο έχουμε:
lim(x->0+){[F(x)-F(0)]/(x-0)}=F΄(0) => lim(x->0+)(F(x)/x)=1
Επειδή lim(x->0+)f(x)=f(0)=1>0 και lim(x->0+)lnx=-oo τότε lim(x->0+)[f(x)lnx]=-oo => lim(x->0+)[F΄(x)lnx]=-oo
Επειδή lim(x->0+)(F(x)/x)=1 και lim(x->0+)[F΄(x)lnx]=-oo τότε lim(x->0+)h(x)=-oo
Η h είναι συνεχής στο (0,1) και ισχύει lim(x->0+)h(x)=-oo τότε το διάστημα (lim(x->0+)h(x), h(1))=(-oo,h(1)) είναι υποσύνολο της εικόνας h((0,1)) του διαστήματος (0,1) (αν η h ήταν γνησίως αύξουσα στο (0,1) τότε θα θα ήταν η εικόνα του ακριβώς και το ζητούμενο ξ θα ήταν μοναδικό). Επειδή το 0 ανήκει στο διάστημα (-οο,h(1)), καθώς h(1)>0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ώστε h(ξ)=0.
