Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Dias · 25 Απριλίου 2011 στις 00:18

Αρχική Δημοσίευση από Giorgio-PD:
Να αποδείξετε ότι αν ενώσουμε τα μέσα των χορδών ενός κύκλου, σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο..

Η εκφώνηση που γράφεις δεν είναι πλήρης. Ένας κύκλος έχει άπειρες χορδές και τα μέσα 3 τυχαίων δεν σχηματίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο. :hmm:

Giorgio-PD · 25 Απριλίου 2011 στις 00:55

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Η εκφώνηση που γράφεις δεν είναι πλήρης. Ένας κύκλος έχει άπειρες χορδές και τα μέσα 3 τυχαίων δεν σχηματίζουν πάντα ισόπλευρο τρίγωνο.

Ισοσκελές τρίγωνο...έτσι ήταν η εκφώνηση...

Dias · 25 Απριλίου 2011 στις 01:02

Αρχική Δημοσίευση από Giorgio-PD:
Ισοσκελές τρίγωνο...έτσι ήταν η εκφώνηση...

Ούτε ισοσκελές τρίγωνο σχηματίζουν πάντα. Πρέπει να δίνει κάτι για τις χορδές αυτές. Από πού είναι η άσκηση? Από κάποιο βιβλίο? Ή την υπαγόρευσε καθηγητής και ή αυτός ή εσύ ξεχάσατε κάτι?

Giorgio-PD · 25 Απριλίου 2011 στις 01:06

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Ούτε ισοσκελές τρίγωνο σχηματίζουν πάντα. Πρέπει να δίνει κάτι για τις χορδές αυτές. Από πού είναι η άσκηση? Από κάποιο βιβλίο? Ή την υπαγόρευσε καθηγητής και ή αυτός ή εσύ ξεχάσατε κάτι?

Την υπαγόρευεσε ο καθηγητής στην τάξη τελευταία μέρα πριν το Πάσχα...

natasoula... · 25 Απριλίου 2011 στις 11:23

Πρεπει να ξεχασε καποια προϋποθεση,ουτε εγω νομιζω οτι ισχυει ετσι οπως το δινεις...

Δυσκολευομαι κ εγω με κατι ασκησουλες στην κατευθυνση και θα το εκτιμουσα πολυ αν με βοηθουσε καποιος γιατι εχω φαει τοσες ωρες και δεν μπορω να καταληξω καπου!Λοιπον...
1)Δινεται η εξισωση (λ-1)χστο τετραγωνο+(2λ-3)ψστο τετραγωνο+6(2-λ)χ=16(λ-1),λεR (1).
α)Αν λ=1,να αποδειξετε οτι η (1) παριστανει παραβολη C1 της οποιας να βρειτε τη διευθετουσα δ και την εστια Ε.
β)Αν λ=2, να αποδειξετε οτι η (1) παριστανει κυκλο C2, του οποιου να βρειτε το κεντρο Ο και την ακτινα R.
γ)Να βρειτε την εξισωση της ελλειψης, που εχει κεντρο την αρχη Ο των αξονων, μια εστια της κοινη με την εστια Ε της παραβολης του ερωτηματος (α) και μεγαλο αξονα ισο με την ακτινα του κυκλου του ερωτηματος (β).
δ)Να βρειτε τα κοινα σημεια P1,P2 των κωνικων τομων C1,C2 και να αποδειξετε οτι η αποσταση του P1 απο τη διευθετουσα δ μειον την αποσταση του P1 απο την εστια Ε ειναι ιση με την αποσταση του P2 απο τη διευθετουσα δ μειον την αποσταση του P2 απο την εστια Ε.

Και η δευτερη ασκηση..
2)Δινονται τα διανυσματα α,β για τα οποια ισχυει μετρο του α=4,μετρο του β=5 και προβολη του β στο α=5α/8.
α)Να αποδειξετε οτι α*β=10.(εσωτερικο γινομενο)
β)Να βρειτε τη γωνια των διανυσματων α,β.
γ)Να υπολογισετε το μετρο του διανυσματος ν=α-β
δ)Αν το διανυσμα υ=(α*β)α-κβ,κεR ειναι καθετο στο διανυσμα β, να βρειτε την τιμη του πραγματικου αριθμου κ.
(Εκτος του κ,ολα τα υπολοιπα γραμματα συμβολιζουν διανυσματα)

Και στις 2 ασκησεις εχω λυσει τα 2 πρωτα υποερωτηματα και κολλαω στα 2 τελευταια..Ευχαριστω οποιον προθυμοποιηθει να βοηθησει!

Χαρουλιτα · 25 Απριλίου 2011 στις 15:38

στην δευτερη ασκηση ποσο βρηκες το εσωτερικο γινομενο???

natasoula... · 25 Απριλίου 2011 στις 15:51

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
στην δευτερη ασκηση ποσο βρηκες το εσωτερικο γινομενο???

10,οσο λεει...

Χαρουλιτα · 25 Απριλίου 2011 στις 16:04

λοιπον δεν ειμαι 100% σιγουρη!
στην 2η ασκηση στο γ παιρνεις την σχεση και τη υψωνεις στο τετραγωνο. κανεις την ταυτοχρονα, τα ξερεις ολα και βγαζεις 21 αν δεν κανω λαθος. Αρα το μετρο του ν ειναι ριζα21

στο δ πρεπει [(α*β)α-κβ]β=0. κανοντας πραξεις αν δεν κανω λαθος βγαινει το κ=16!
αλλα ελεγξε το γιατι μπορει να εχω κανει κανενα λαθος στις πραξεις...

natasoula... · 25 Απριλίου 2011 στις 17:32

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
λοιπον δεν ειμαι 100% σιγουρη!
στην 2η ασκηση στο γ παιρνεις την σχεση και τη υψωνεις στο τετραγωνο. κανεις την ταυτοχρονα, τα ξερεις ολα και βγαζεις 21 αν δεν κανω λαθος. Αρα το μετρο του ν ειναι ριζα21

στο δ πρεπει [(α*β)α-κβ]β=0. κανοντας πραξεις αν δεν κανω λαθος βγαινει το κ=16!
αλλα ελεγξε το γιατι μπορει να εχω κανει κανενα λαθος στις πραξεις...

Στο (γ) υποερώτημα κι εγώ ρίζα21 βρίσκω...Αλλά στο (δ) βρίσκω κ=4...Όπως και να 'χει,ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!

rebel · 26 Απριλίου 2011 στις 21:17

1. γ) Η εστία της παραβολής $y^2=6x$ με p=3 είναι Ε(p/2,0) δηλαδή Ε(3/2,0) η οποία θα είναι και εστία της έλλειψης. Οπότε γ=3/2.

Επίσης (μήκος μεγάλου άξονα)=(ακτίνα κύκλου $x^2+y^2=4^2) \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2$ . Άρα
$\beta^2=a^2-\gamma^2=2^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{7}{4}$ . Όπότε η εξίσωση της έλλειψης είναι τελικά $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{7}{4}}=1$ .

δ) Τα κοινά σημεία των δύο καμπύλων θα βρεθούν από την λύση του συστήματος
$\left.\begin{matrix} x^2+y^2=16\\ y^2=6x \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x^2+6x=16\\ y^2=6x \end{matrix}\right\} \Rightarrow$
$\ldots \Rightarrow (x=2,y=2\sqrt{3})\vee (x=2,y=-2\sqrt{3})$

Χωρίς κανένα υπολογισμό αφού η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την εστία και την διευθετούσα και τα $P_1,P_2$ είναι σημεία της παραβολής, είναι $(P_1E)-d(P_1,\delta)=0= (P_2E)-d(P_2,\delta)$

https://img51.imageshack.us/i/parabolaq.jpg/

natasoula... · 26 Απριλίου 2011 στις 21:49

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1. γ) Η εστία της παραβολής $y^2=6x$ με p=3 είναι Ε(p/2,0) δηλαδή Ε(3/2,0) η οποία θα είναι και εστία της έλλειψης. Οπότε γ=3/2.

Επίσης (μήκος μεγάλου άξονα)=(ακτίνα κύκλου $x^2+y^2=4^2) \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2$ . Άρα
$\beta^2=a^2-\gamma^2=2^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{7}{4}$ . Όπότε η εξίσωση της έλλειψης είναι τελικά $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{7}{4}}=1$ .

δ) Τα κοινά σημεία των δύο καμπύλων θα βρεθούν από την λύση του συστήματος
$\left.\begin{matrix} x^2+y^2=16\\ y^2=6x \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x^2+6x=16\\ y^2=6x \end{matrix}\right\} \Rightarrow$
$\ldots \Rightarrow (x=2,y=2\sqrt{3})\vee (x=2,y=-2\sqrt{3})$

Χωρίς κανένα υπολογισμό αφού η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την εστία και την διευθετούσα και τα $P_1,P_2$ είναι σημεία της παραβολής, είναι $(P_1E)-d(P_1,\delta)=0= (P_2E)-d(P_2,\delta)$

Ευχαριστώ πολύ...!!

christina123 · 27 Απριλίου 2011 στις 10:10

καλημερα
ο μαθηματικος μας μας εδωσε ως υλη στα μαθηματικα κατευθυνσης τα εξης:διανυσματα(ολο το κεφαλαιο),ευθεια(ολο το κεφαλαιο),κωνικες τομες μονο ο κυκλος και μαθηματικη επαγωγη...
και αναρωτιεμαι αν υπαρχουν συνδυαστικες ασκησεις με επαγωγη και κυκλο ή καποιο αλλο κεφαλαιο οπως π.χ επαγωγη-ευθεια
ξερετε καμια;
ευχαριστω εκ των προτερων

natasoula... · 27 Απριλίου 2011 στις 15:35

Δίνεται ο κύκλος C1: 8χστο τετράγωνο+8ψστο τετράγωνο-8χ-7=0 και η παραβολή C2: ψστο τετράγωνο=8χ.
α)Να βρείτε την εφαπτομένη ε της παραβολής στο σημείο της Α(1,4).
β)Να δείξετε ότι η ε εφάπτεται στον κύκλο C1.
γ)Να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη των ε' του κύκλου και της παραβολής που άγεται από το σημείο τομής Β της ε με τον άξονα χ'χ.
δ)Να βρείτε τη γωνία των ε και ε'.
Κλασικά,οι απορίες στα (γ) και (δ) υποερωτήματα..!Ευχαριστώ όποιον βοηθήσει!

christina123 · 27 Απριλίου 2011 στις 16:06

Δίνεται ο κύκλος C1: 8χστο τετράγωνο+8ψστο τετράγωνο-8χ-7=0 και η παραβολή C2: ψστο τετράγωνο=8χ.
α)Να βρείτε την εφαπτομένη ε της παραβολής στο σημείο της Α(1,4).
β)Να δείξετε ότι η ε εφάπτεται στον κύκλο C1.
γ)Να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη των ε' του κύκλου και της παραβολής που άγεται από το σημείο τομής Β της ε με τον άξονα χ'χ.
δ)Να βρείτε τη γωνία των ε και ε'.
Κλασικά,οι απορίες στα (γ) και (δ) υποερωτήματα..!Ευχαριστώ όποιον βοηθήσει!

στο δ ερωτημα θα βαλεις ενα διανυσμα δ1παραλληλο στην ε και ενα διανυσμα δ2 παραλληλο στην ε' και μετα βρισκεις τη γωνια με το τυπο συν(δ1,δ2)=.....
ελπιζω να σε βοηθησα....

natasoula... · 27 Απριλίου 2011 στις 16:09

Αρχική Δημοσίευση από christina123:
στο δ ερωτημα θα βαλεις ενα διανυσμα δ1παραλληλο στην ε και ενα διανυσμα δ2 παραλληλο στην ε' και μετα βρισκεις τη γωνια με το τυπο συν(δ1,δ2)=.....
ελπιζω να σε βοηθησα....

Ευχαριστώ...

rebel · 27 Απριλίου 2011 στις 17:34

Το (1,4) δεν ανήκει στην παραβολή οπότε ή είναι άλλη η εξίσωσή της ή άλλο το σημείο (ή στραβός ο γιαλός

)

νατ · 30 Απριλίου 2011 στις 23:08

Χρειάζομαι βοήθεια στην παρακάτω άσκηση......

Δίνετε παραβολή C₁: y²=8χ με εστια Ε και διευθετουσα (δ).
1.Να βρειτε την Εξισωση της έλλειψης C₂ με κεντρο το Ο(0,0) που η μια εστια ειναι η Ε και το μήκος του μεγαλου άξονα ειναι 2α=6
2.Αν Κ,Λ τα σημεία τομής της παραβολής C₁: y²=8χ και της έλλειψης C₂

x²/9)+(y²/5)=1 και Κ'.Λ' οι πρπβολες τους στην διευθετουσα της παραβολης, να αποδείξετε ότι (ΚΚ')+(ΛΛ')+(ΚΕ') +(ΛΕ')=12.

Το 1. ερωτημα ειναι πολύ ευκολο βρηκα την έλλειψη C₂

x²/9)+(y²/5)=1 όμως στο
δευτερο ερωτημα έχω κολλησει (μπορει να φταινε και οι πραξεις) δεν ξέρω... μπορει κανείς να βοηθήσει;;;;;

rebel · 1 Μαΐου 2011 στις 12:54

1.
H εστία της παραβολής έχει συντεταγμένες Ε(2,0), δηλαδή γ=2 και $\beta^2=a^2-\gamma^2=9-4=5$ . Άρα η εξίσωση της έλλειψης είναι $\left(C_2 \right): \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

2.
Με γνωστή την ιδιότητα (ΜΕ)+(ΜΕ')=2α κάθε σημείου Μ της έλλειψης και την ιδιότητα (ME)=d(M,δ) κάθε σημείου της παραβολής έχουμε

$\Lambda' \Lambda+\Lambda E'+ K'K+KE' = \left(\Lambda E+\Lambda E'\right) + \left(KE+KE'\right)=2a+2a=6+6=12$

αφού Κ'Κ=ΚΕ, Λ'Λ=ΛΕ

antonio2761994 · 10 Μαΐου 2011 στις 10:36

έχοντας λύσει όλα τα ερωτήματα της άσκησης σωστά (σίγουρο και εξακριβωμένο) φτάνω στο τελευταίο ερώτημα έχοντα τον κύκλο (x-1)²+(y-1)²=1 και την παραβολή y²=χ και ζητούνται οι κοινές εφαπτόμενες. κάτι κάνω λάθος και δεν μου βγαίνει. όποιος μπορεί να κάνει αναλυτικά τις πράξεις μπας και το βρω του είμαι υπόχρεος

rebel · 10 Μαΐου 2011 στις 16:59

Μια προφανής είναι η χ=0. Απο κει και πέρα προσπαθώντας να βρω εφαπτομένες της μορφής y=lx+b κατέληξα στις εξισώσεις
$4lb=1 (1) \quad -4 (-2 b + b^2 - 2 l + 2 b l)=0 (2)$

το σύστημα των οποίων όμως δεν κατάφερα να λύσω στο χέρι αλλά με την βοήθεια υπολογιστή

Τελικά βρήκα $l\approx 0,133$ και $b\approx 1,876$

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος