Αποδείξεις προτάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

Σε αυτό το θέμα θα περιλαμβάνονται προτάσεις με τις αποδείξεις τους, οι οποίες δεν περιλαμβάνονται στο σχολικό βιβλίο αλλά είναι χρήσιμες και πολλές φορές απαραίτητες για την επίλυση των ασκήσεων και των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Έτσι καθίσταται εύκολη και γρήγορη η εύρεσή τους.

Σε κάθε περίπτωση για να τις χρησιμοποιήσετε στις πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει πρώτα να τις αποδείξετε για να είστε σίγουροι ότι δεν θα σας κόψουν καμία μονάδα. Αν δεν τις αποδείξετε και ο διορθωτής είναι στραβόξυλο μπορεί να σας κόψει λίγες μονάδες.

Σε κάθε περίπτωση μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άφοβα οποιοδήποτε πρόταση δεν περιλαμβάνεται στην εξεταστέα ύλη αρκεί να την αποδείξετε με γνώσεις της εξεταστέας ύλης. Αυτό μπορείτε να το κάνετε επειδή στην τελευταία σελίδα των θεμάτων αναγράφεται η φράση "Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή".

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)<f(x2)

Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)>f(x2) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)<f(x2) => x1<x2

Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η ισοδυναμία:
x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 οπότε σύμφωνα με τον ορισμό ισχύει η συνεπαγωγή:
x1<x2 => f(x1)>f(x2)

Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1>x2 τότε προκύπτει ότι f(x1)<f(x2) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα που είναι άτοπο
Αν ίσχυε η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1=x2 τότε θα προέκυπτε f(x1)=f(x2) που είναι άτοπο
Επομένως θα ισχύει υποχρεωτικά η συνεπαγωγή f(x1)>f(x2) => x1<x2

Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Αν για μία συνάρτηση f ορισμένη στο Δ ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)<f(x2) για κάθε x1,x2 στο Δ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ

Αν για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)<f(x2) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα εξ ορισμού.

Στη συνέχεια θα εξεταστεί η μονοτονία της ορισμένης στο Δ συνάρτησης f για την οποία για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή
f(x1)<f(x2) => x1<x2

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)>f(x2).
Σε αυτήν την περίπτωση θεωρούμε x1,x2 στο Δ με f(x1)<f(x2), οπότε προκύπτει
f(x1)<f(x2) => x1<x2 => f(x1)>f(x2) που είναι άτοπο
Άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ

Αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ τότε υπάρχουν x1,x2,x3 στο με x1<x2<x3 τέτοια ώστε f(x1)<f(x2) και f(x3)<f(x2). Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε
f(x1)<f(x2) => x1<x2
f(x3)<f(x2) => x3<x2 που είναι άτοπο εφόσον x2<x3
Άρα είναι αδύνατο η f να μην είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Συνεπώς η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Η f είναι γνησίως μονότονη και δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Αν για μία συνάρτηση f ορισμένη στο Δ ισχύει η ισοδυναμία x1<x2 <=> f(x1)>f(x2) για κάθε x1,x2 στο Δ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ

Αν για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)>f(x2) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα εξ ορισμού.

Στη συνέχεια θα εξεταστεί η μονοτονία της ορισμένης στο Δ συνάρτησης f για την οποία για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή
f(x1)>f(x2) => x1<x2

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ ισχύει η συνεπαγωγή x1<x2 => f(x1)>f(x2).
Σε αυτήν την περίπτωση θεωρούμε x1,x2 στο Δ με f(x1)>f(x2), οπότε προκύπτει
f(x1)>f(x2) => x1<x2 => f(x1)<f(x2) που είναι άτοπο
Άρα η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ

Αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ τότε υπάρχουν x1,x2,x3 στο με x1<x2<x3 τέτοια ώστε f(x1)<f(x2) και f(x3)<f(x2). Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε
f(x2)>f(x1) => x2<x1 που είναι άτοπο εφόσον x1<x2
f(x2)>f(x3) => x2<x3
Άρα είναι αδύνατο η f να μην είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Συνεπώς η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Η f είναι γνησίως μονότονη και δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως αύξουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:

x1<x2 <=> f(x1)<f(x2)

Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή

(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1<y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1<y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1<y2 ισχύει η συνεπαγωγή:

y1<y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της Α και γνησίως φθίνουσα στο Δ υποσύνολο Α τότε και η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)

Η f είναι 1-1 οπότε και αντιστρέψιμη. Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A και y ανήκει f(A)

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ οπότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει η ισοδυναμία:

x1<x2 <=> f(x1)>f(x2)

Αν y1=f(x1) και y2=f(x2) τότε x1=(f-1)(y1) και x2=(f-1)(y2)
Επομένως η παραπάνω ισοδυναμία γράφεται στη μορφή

(f-1)(y1)<(f-1)(y2) <=> y1>y2 ή αναδιατάσσοντας τα μέλη λόγω της ισοδυναμίας y1>y2 <=> (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Άρα για κάθε y1, y2 στο Δ με y1>y2 ισχύει η συνεπαγωγή:

y1>y2 => (f-1)(y1)<(f-1)(y2)

Επομένως η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 018946]

αν θες την αποψη μου οι προτασεις του ποστ #2 ειναι υπερβολικο να σου κοψουν αν τις χρησιμοποιησεις αναποδειχτες .

Οπως και να χει πολυ καλη δουλεια .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε η αντίστροφή της f-1 είναι συνεχής στο f(x0)

Η f με πεδίο ορισμού Α είναι αντιστρέψιμη ως 1-1, οπότε
y=f(x) <=> x=(f-1)(y), x ανήκει A, y ανήκει f(A)

Η f είναι συνεχής στο x0 ανήκει A => lim(x->x0)f(x)=f(x0). Θέτουμε y0=f(x0) <=> x0=(f-1)(y0).

Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητής x=(f-1)(y). Έχουμε:
lim(y->y0)(f-1)(y)=lim(x->x0)x=x0=(f-1)(y0)

Άρα lim(y->y0)(f-1)(y)=(f-1)(y0) που σημαίνει ότι η f-1 είναι συνεχής στο y0=f(x0)

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0, τότε η αντίστροφή της f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)

Η f με πεδίο ορισμού Α είναι αντιστρέψιμη ως 1-1, οπότε
y=f(x) <=> x=(f-1)(y), x ανήκει A, y ανήκει f(A)

Θέτουμε y0=f(x0) <=> x0=(f-1)(y0)

Η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει A οπότε
f΄(x0)=lim(x->x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]

Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητής y=f(x) <=> x=(f-1)(y). Έχουμε:
lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=lim(x->x0)[(x-x0)/(f(x)-f(x0))]=1\lim(x->x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]=1/f΄(x0)

Άρα η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0) ή αλλιώς (f-1)(y0)=1/f΄((f-1)(y0)).

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0)=0, τότε η αντίστροφη συνάρτηση f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η ευθεία x=f(x0) είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f-1 στο σημείο (f(x0),x0)

Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,β) όπου α<x0<β τότε με το σκεπτικό της προηγούμενης πρότασης ισχύει μία από τις εξής εκδοχές:
(i) lim(y->y0-)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=-oo και lim(y->y0-)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=+oo
(ii) lim(y->y0-)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=+oo και lim(y->y0-)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=-oo
(iii) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=-oo
(iv) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=+oo

Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,x0] και δεν είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0,β) όπου α<x0<β τότε με το σκεπτικό της προηγούμενης πρότασης ισχύει μία από τις εξής εκδοχές:
(i) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=-oo
(ii) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=+oo

Αν η συνάρτηση f είναι δεν ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,x0] και είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0,β) όπου α<x0<β τότε με το σκεπτικό της προηγούμενης πρότασης ισχύει μία από τις εξής εκδοχές:
(i) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=-oo
(ii) lim(y->y0)[((f-1)(y)-(f-1)(y0))/(y-y0)]=+oo

Άρα σε κάθε περίπτωση η ευθεία x=y0 => x=f(x0) είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f-1 στο σημείο (y0,(f-1)(y0))=(f(x0),x0)

ΥΓ: Η κατακόρυφη εφαπτομένη συνήθως είναι εκτός εξεταστέας ύλης. Σε αυτή την περίπτωση αρκεί να ξέρετε μόνο το υπογραμμισμένο κομμάτι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και η ευθεία x=x0 είναι κατακόρυφη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (x0,f(x0)) τότε η αντίστροφη συνάρτηση f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(f(x0))=0, δηλαδή η ευθεία y=x0 είναι οριζόντια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f-1 στο σημείο (f(x0),x0)

ΥΓ: Η κατακόρυφη εφαπτομένη συνήθως είναι εκτός εξεταστέας ύλης. Σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να ξέρετε την παραπάνω πρόταση και δεν θα σας χρειαστεί στις πανελλήνιες εξετάσεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε ισχύει f΄(x)>=0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ. Αν υπάρχουν x στο εσωτερικό του Δ για τα οποία ισχύει η ισότητα τότε αυτά είναι μεμονωμένα σημεία (δηλαδή δεν σχηματίζουν διάστημα).

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2).

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, οπότε για κάθε x στο εσωτερικό του Δ ισχύει:
f΄(x)=lim(h->0){[f(x+h)-f(x)]/h}

Αν για κάθε x στο εσωτερικό του Δ επιλεγεί h>0 ώστε το x+h να ανήκει στο εσωτερικό του Δ τότε έχουμε:
h>0 => x+h>x => f(x+h)>f(x) => f(x+h)-f(x)>0 => [f(x+h)-f(x)]/h>0

Αν για κάθε x στο εσωτερικό του Δ επιλεγεί h<0 ώστε το x+h να ανήκει στο εσωτερικό του Δ τότε έχουμε:
h<0 => x+h<x => f(x+h)<f(x) => f(x+h)-f(x)<0 => [f(x+h)-f(x)]/h>0

Επομένως για κάθε h ανήκει R* έτσι ώστε τα x και x+h να ανήκουν στο εσωτερικό του Δ έχουμε:
[f(x+h)-f(x)]/h>0

Άρα lim(h->0){[f(x+h)-f(x)]/h}>=lim(h->0)0 => f΄(x)>=0

Αν υπήρχε διάστημα δ υποσύνολο του εσωτερικού του Δ τέτοιο ώστε να ισχύει f΄(x)=0 για κάθε x ανήκει δ τότε υπάρχει σταθερά c ανήκει R έτσι ώστε f(x)=c για κάθε x ανήκει δ. Δηλαδή η f είναι σταθερή στο δ. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και συνεπώς και στο δ. Επομένως αν υπάρχουν σημεία x στο εσωτερικό του Δ τέτοια ώστε f΄(x)=0 τότε αυτά είναι μεμονωμένα.

(Παράδειγμα: Η συνάρτηση f(x)=x^3 είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=3(x^2). Για κάθε x ανήκει R* ισχύει f΄(x)>0 και f΄(0)=0)


Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε ισχύει f΄(x)<=0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ. Αν υπάρχουν x στο εσωτερικό του Δ για τα οποία ισχύει η ισότητα τότε αυτά είναι μεμονωμένα σημεία (δηλαδή δεν σχηματίζουν διάστημα).

Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ τότε για κάθε x1,x2 στο Δ με x1<x2 ισχύει f(x1)>f(x2).

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, οπότε για κάθε x στο εσωτερικό του Δ ισχύει:
f΄(x)=lim(h->0){[f(x+h)-f(x)]/h}

Αν για κάθε x στο εσωτερικό του Δ επιλεγεί h>0 ώστε το x+h να ανήκει στο εσωτερικό του Δ τότε έχουμε:
h>0 => x+h>x => f(x+h)<f(x) => f(x+h)-f(x)<0 => [f(x+h)-f(x)]/h<0

Αν για κάθε x στο εσωτερικό του Δ επιλεγεί h<0 ώστε το x+h να ανήκει στο εσωτερικό του Δ τότε έχουμε:
h<0 => x+h<x => f(x+h)>f(x) => f(x+h)-f(x)>0 => [f(x+h)-f(x)]/h<0

Επομένως για κάθε h ανήκει R* έτσι ώστε τα x και x+h να ανήκουν στο εσωτερικό του Δ έχουμε:
[f(x+h)-f(x)]/h<0

Άρα lim(h->0){[f(x+h)-f(x)]/h}<=lim(h->0)0 => f΄(x)<=0

Αν υπήρχε διάστημα δ υποσύνολο του εσωτερικού του Δ τέτοιο ώστε να ισχύει f΄(x)=0 για κάθε x ανήκει δ τότε υπάρχει σταθερά c ανήκει R έτσι ώστε f(x)=c για κάθε x ανήκει δ. Δηλαδή η f είναι σταθερή στο δ. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και συνεπώς και στο δ. Επομένως αν υπάρχουν σημεία x στο εσωτερικό του Δ τέτοια ώστε f΄(x)=0 τότε αυτά είναι μεμονωμένα.

(Παράδειγμα: Η συνάρτηση f(x)=-x^3 είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=-3(x^2). Για κάθε x ανήκει R* ισχύει f΄(x)<0 και f΄(0)=0)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,x0], παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 τότε ισχύει f΄(x0)<=0

H f είναι παραγωγίσιμη στο x0, που σημαίνει ότι lim(x->x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=f΄(x0)

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 τότε υπάρχει δ με 0<δ<x0-α ώστε για κάθε x ανήκει [x0-δ,x0] να ισχύει f(x)>=f(x0).

Για κάθε x ανήκει [x0-δ,x0) έχουμε:
f(x)>=f(x0) => f(x)-f(x0)>=0 => [f(x)-f(x0)]/(x-x0)<=0

Επομένως
lim(x->x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}<=lim(x->x0-)0 => f΄(x0)<=0


Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (α,x0], παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 τότε ισχύει f΄(x0)>=0

H f είναι παραγωγίσιμη στο x0, που σημαίνει ότι lim(x->x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=f΄(x0)

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 τότε υπάρχει δ με 0<δ<x0-α ώστε για κάθε x ανήκει [x0-δ,x0] να ισχύει f(x)<=f(x0).

Για κάθε x ανήκει [x0-δ,x0) έχουμε:
f(x)<=f(x0) => f(x)-f(x0)<=0 => [f(x)-f(x0)]/(x-x0)>=0

Επομένως
lim(x->x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}>=lim(x->x0-)0 => f΄(x0)>=0


Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0,β), παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 τότε ισχύει f΄(x0)>=0

H f είναι παραγωγίσιμη στο x0, που σημαίνει ότι lim(x->x0+){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=f΄(x0)

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 τότε υπάρχει δ με 0<δ<β-x0 ώστε για κάθε x ανήκει [x0,x0+δ] να ισχύει f(x)>=f(x0).

Για κάθε x ανήκει (x0,x0+δ] έχουμε:
f(x)>=f(x0) => f(x)-f(x0)>=0 => [f(x)-f(x0)]/(x-x0)>=0

Επομένως
lim(x->x0+){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}>=lim(x->x0+)0 => f΄(x0)>=0


Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [x0,β), παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 τότε ισχύει f΄(x0)<=0

H f είναι παραγωγίσιμη στο x0, που σημαίνει ότι lim(x->x0+){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=f΄(x0)

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 τότε υπάρχει δ με 0<δ<β-x0 ώστε για κάθε x ανήκει [x0,x0+δ] να ισχύει f(x)<=f(x0).

Για κάθε x ανήκει (x0,x0+δ] έχουμε:
f(x)<=f(x0) => f(x)-f(x0)<=0 => [f(x)-f(x0)]/(x-x0)<=0

Επομένως
lim(x->x0+){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}<=lim(x->x0+)0 => f΄(x0)<=0


Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0, το οποίο ανήκει στο εσωτερικό του Δ, τότε ισχύει f΄(x0)=0

ΥΓ: Η απόδειξη υπάρχει στο σχολικό βιβλίο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f΄(α)f΄(β)<0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] αφού είναι παραγωγίσιμη στο [α,β].

Αν f΄(α)>0 τότε f΄(β)<0.
Έχουμε lim(x->α){[f(x)-f(α)]/(x-α)}=f΄(α)>0. Άρα υπάρχει 0<δ<β-α τέτοιο ώστε για κάθε x ανήκει (α,α+δ) να ισχύει [f(x)-f(α)]/(x-α)>0 =>
=> f(x)>f(α). Επομένως η f δεν παρουσιάζει μέγιστο στο α.
Έχουμε lim(x->β){[f(x)-f(β)]/(x-β)]=f΄(β)<0. Άρα υπάρχει 0<ε<β-α τέτοιο ώστε για κάθε x ανήκει (β-ε,β) να ισχύει [f(x)-f(β)]/(x-β)<0 =>
=> f(x)>f(β). Επομένως η f δεν παρουσιάζει μέγιστο στο α.
Δεδομένου ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] τότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα έχει σίγουρα μέγιστο στο διάστημα αυτό και αφού δεν το παρουσιάζει στα άκρα του διαστήματος θα το παρουσιάζει σε σημείο ξ στο διάστημα (α,β). Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο ξ ανήκει (α,β) και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει f΄(ξ)=0.

Αν f΄(α)<0 τότε f΄(β)>0.
Έχουμε lim(x->α){[f(x)-f(α)]/(x-α)}=f΄(α)<0. Άρα υπάρχει 0<δ<β-α τέτοιο ώστε για κάθε x ανήκει (α,α+δ) να ισχύει [f(x)-f(α)]/(x-α)<0 =>
=> f(x)<f(α). Επομένως η f δεν παρουσιάζει ελάχιστο στο α.
Έχουμε lim(x->β){[f(x)-f(β)]/(x-β)]=f΄(β)>0. Άρα υπάρχει 0<ε<β-α τέτοιο ώστε για κάθε x ανήκει (β-ε,β) να ισχύει [f(x)-f(β)]/(x-β)>0 =>
=> f(x)<f(β). Επομένως η f δεν παρουσιάζει ελάχιστο στο β.
Δεδομένου ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] τότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα έχει σίγουρα ελάχιστο στο διάστημα αυτό και αφού δεν το παρουσιάζει στα άκρα του διαστήματος θα το παρουσιάζει σε σημείο ξ στο διάστημα (α,β). Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο ξ ανήκει (α,β) και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει f΄(ξ)=0.

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0

ΥΓ: Η πρώτη παράγωγος f΄ ΔΕΝ απαιτείται να είναι συνεχής στο [α,β]

Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύει f΄(α) διάφορο f΄(β), τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f΄(α) και f΄(β) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=η (Θεώρημα Darboux)

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)-ηx. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], με πρώτη παράγωγο g΄(x)=f΄(x)-η.

Αν f΄(α)<f΄(β) τότε f΄(α)<η<f΄(β). Έχουμε g΄(α)=f΄(α)-η<0 και g΄(β)=f΄(β)-η>0, οπότε g΄(α)g΄(β)<0. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει g΄(α)g΄(β)<0. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 => f΄(ξ)=η.

Αν f΄(β)<f΄(α) τότε f΄(β)<η<f΄(α). Έχουμε g΄(α)=f΄(α)-η>0 και g΄(β)=f΄(β)-η<0, οπότε g΄(α)g΄(β)<0. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει g΄(α)g΄(β)<0. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 => f΄(ξ)=η.

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0

ΥΓ: Η πρώτη παράγωγος f΄ ΔΕΝ απαιτείται να είναι συνεχής στο [α,β]

Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύει f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει (α,β) τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο [α,β]

Αν υπήρχαν x1,x2 με α<=x1<x2<=β τέτοια ώστε f΄(x1)<0<f΄(x2) τότε επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο [x1,x2] και ισχύει f΄(x1)f΄(x2)<0 θα υπήρχε τουλάχιστον ένα ξ στο διάστημα (x1,x2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0, που είναι άτοπο. Άρα η πρώτη παράγωγος f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α,β).

Αν υπήρχαν x1,x2 με α<=x1<x2<=β τέτοια ώστε f΄(x2)<0<f΄(x1) τότε επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο [x1,x2] και ισχύει f΄(x1)f΄(x2)<0 θα υπήρχε τουλάχιστον ένα ξ στο διάστημα (x1,x2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0, που είναι άτοπο. Άρα η πρώτη παράγωγος f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α,β).

Σε κάθε περίπτωση η πρώτη παράγωγος f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α,β) που σημαίνει ότι είναι γνησίως μονότονη στο [α,β].

ΥΓ: Η πρώτη παράγωγος f΄ ΔΕΝ απαιτείται να είναι συνεχής στο [α,β]

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Effort]

Απλα wow! Δεν εχω λογια. Civilara πανε βγαλε καμια αδεια(για οικοδομη) ρε μεγαλε. Κανε ενα διαλειμμα απο τα μαθηματικα .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Απλα wow! Δεν εχω λογια. Civilara πανε βγαλε καμια αδεια(για οικοδομη) ρε μεγαλε. Κανε ενα διαλειμμα απο τα μαθηματικα .

Ψάχνω ρε Johny αλλά κάνεις δεν χτίζει. Δεν γίνεται και κανας δυνατός σεισμός να έχω δουλειά με αποκαταστάσεις κτιρίων (πλάκα κάνω). Φέτος θα σας βοηθάω. Από του χρόνου έχει να πέσει ηλεκτρονική ταυτότητα και τακτοποιήσεις αυθαιρέτων, το μόνο που μου μένει.

Που 'σαι Johny. Αν θες να χτίσεις εδώ είμαι, μην ψάχνεις αλλού.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Effort]

Μεινε ησυχος . Ελα ενταξει θα φτιαξουν τα πραγματα ας ελπισουμε στην Ελλαδα. Λιγη αισιοδοξια δεν βλαπει!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο διάστημα Δ, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Δ

Θα θεωρήσουμε την πρόταση:
Έστω ότι υπάρχουν στοιχεία x1, x2, x3, x4 του Δ για τα οποία ισχύει:
(i) x1<x2, f(x1)<f(x2) και
(ii) x3<x4, f(x3)>f(x4)

Θα αποδείξουμε ότι η πρόταση αυτή είναι ψευδής διότι αντίκειται στα δεδομένα της πρότασης. Επομένως ισχύ θα έχει η άρνηση της παραπάνω πρότασης. Δηλαδή θα χαρακτηρίζεται αληθής η εξής πρόταση:
Για κάθε στοιχεία x1, x2, x3, x4 του Δ θα ισχύει:
(i) x1<x2, f(x1)<f(x2) ή
(ii) x3<x4, f(x3)>f(x4)


Συμπεράσματα από το (i):
Έστω ψ1 ανήκει Δ διάφορο από τα x1, x2. Τότε:
(α) Αν x1<ψ1<x2 τότε θα είναι f(x1)<f(ψ1)<f(x2).
Πράγματι αν αυτό δεν συνέβαινε, τότε θα είχαμε:
1) Αν f(ψ1)<f(x1)<f(x2) τότε επειδή η f είναι συνεχής στο Δ θα υπάρχει τουλάχιστον ένα γ ανήκει (ψ1,x2) τέτοιο ώστε f(γ)=f(x1). Άτοπο αφού η συνάρτηση είναι 1-1.
2) Αν f(x1)<f(x2)<f(ψ1) τότε επειδή η f είναι συνεχής στο Δ θα υπάρχει τουλάχιστον ένα δ ανήκει (x1,ψ1) τέτοιο ώστε f(δ)=f(x2). Άτοπο αφού η συνάρτηση είναι 1-1.
(β) Ομοίως αν ψ1<x1<x2 τότε θα είναι f(ψ1)<f(x1)<f(x2).
(γ) Ομοίως αν x1<x2<ψ1 τότε θα είναι f(x1)<f(x2)<f(ψ1).
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Συμπεράσματα από το (ii) με τον ίδιο τρόπο όπως στο (i):
Έστω ψ2 ανήκει Δ διάφορο από τα x3, x4.
(α) Αν x3<ψ2<x4 τότε θα είναι f(x3)>f(ψ2)>f(x4).
(β) Αν ψ2<x3<x4 τότε θα είναι f(ψ2)>f(x3)>f(x4).
(γ) Αν x3<x4<ψ2 τότε θα είναι f(x3)>f(x4)>f(ψ2).
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Παρατηρούμε ότι αποκλείεται κάποιο από τα x1, x2 να είναι ίσο με κάποιο από τα x3, x4, διότι τότε θα είχαμε τρία στοιχεία του Δ ίδια και θα ίσχυαν ταυτόχρονα οι συνθήκες (i) και (ii), που είναι αδύνατον.
Θα εξετάσουμε λοιπόν τις δυνατές θέσεις των x3,x4 ως προς τα x1,x2.
1) Αν x1<x3<x2<x4 τότε από την (i) προκύπτει f(x3)<f(x2)<f(x4) που είναι άτοπο αφού f(x3)>f(x4)
2) Αν x3<x1<x4<x2 τότε από την (ii) προκύπτει f(x1)>f(x4)>f(x2) που είναι άτοπο αφού f(x1)<f(x2)
3) Αν x3<x1<x2<x4 τότε από την (i) προκύπτει f(x3)<f(x2)<f(x4) που είναι άτοπο αφού f(x3)>f(x4)
4) Αν x1<x3<x4<x2 τότε από την (ii) προκύπτει f(x1)>f(x3)>f(x2) που είναι άτοπο αφού f(x1)<f(x2)
5) Αν x1<x2<x3<x4 τότε από την (i) προκύπτει f(x2)<f(x3) και από την (ii) f(x2)>f(x3) που είναι άτοπο
6) Αν x3<x4<x1<x2 τότε από την (ii) προκύπτει f(x3)>f(x1) και από την (i) f(x3)<f(x1) που είναι άτοπο


Συνεπώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[panabarbes]

Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και , εφόσον υπάρχουν, ανήκουν στην ευθεία

Έστω ένα κοινό σημείο των και . Τότε ισχύουν:
και (1)
Θα αποδείξουμε ότι το σημείο ανήκει στην ευθεία , δηλαδή θα αποδείξουμε ότι .Έστω ότι είναι . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) Αν , επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει από (1) :
, άτοπο
2) Αν , τότε:
, άτοπο.

Σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο, άρα είναι

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και πεδίο τιμών f(A) είναι 1-1 τότε οι εξισώσεις f(x)=x και (f-1)(x)=x είναι ισοδύναμες

Επειδή η f είναι 1-1 τότε είναι αντιστρέψιμη. Συνεπώς για κάθε x ανήκει A και y ανήκει f(A) ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

Οι λύσεις των εξισώσεων f(x)=x και (f-1)(x)=x (εφόσον υπάρχουν) ανήκουν στο σύνολο Β=Ατομήf(A).

Έχουμε:
f(x)=x => (f-1)(f(x))=(f-1)(x) => x=(f-1)(x) => (f-1)(x)=x
(f-1)(x)=x => f((f-1)(x))=f(x) => x=f(x) => f(x)=x

Επομένως ισχύει η ισοδυναμία f(x)=x <=> (f-1)(x)=x

Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και πεδίο τιμών f(A) είναι 1-1 τότε οι εξισώσεις (f-1)(x)=f(x) και f(f(x))=x είναι ισοδύναμες

Επειδή η f είναι 1-1 τότε είναι αντιστρέψιμη. Συνεπώς για κάθε x ανήκει A και y ανήκει f(A) ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

Οι λύσεις των εξισώσεων (f-1)(x)=f(x) και f(f(x))=x (εφόσον υπάρχουν) ανήκουν στο σύνολο Β=Ατομήf(A).

Έχουμε:
(f-1)(x)=f(x) => f((f-1)(x))=f((x)) => x=f(f(x)) => f(f(x))=x
f(f(x))=x => (f-1)(f(f(x)))=(f-1)(x) => f(x)=(f-1)(x) => (f-1)(x)=f(x)

Επομένως ισχύει η ισοδυναμία (f-1)(x)=f(x) <=> f(f(x))=x



ΥΓ: Οι εξισώσεις (f-1)(x)=f(x) και f(x)=x ΔΕΝ είναι απαραίτητα ισοδύναμες. Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1/x. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών A=f(A)=R*. Για x1, x2 ανήκουν R* με f(x1)=f(x2) προκύπτει x1=x2 που σημαίνει ότι η f είναι 1-1, άρα και αντιστρέψιμη. Έχουμε:

y=f(x) <=> y=1/x <=> x=1/y <=> (f-1)(y)=1/y=f(y)

Παρατηρούμε ότι ισχύει (f-1)(x)=f(x)=1/x για κάθε x ανήκει R* που σημαίνει ότι οι f και f-1 είναι ίσες συναρτήσεις.

Οι εξισώσεις f(x)=x και (f-1)(x)=x είναι ισοδύναμες, οπότε έχουμε:
f(x)=x <=> 1/x=x <=> x^2=1 <=> x=-1 ή x=1

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (f-1)(x)=f(x) έχει λύσεις όλα τα x ανήκουν R* ενώ οι εξισώσεις f(x)=x και (f-1)(x)=x έχουν 2 λύσεις, τις x1=-1 και x2=1. Επομένως οι εξισώσεις (f-1)(x)=f(x) και f(x)=x δεν είναι ισοδύναμες.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Civilara]

Επαναφέρω αυτό το θέμα στο προσκήνιο μιας και πλησιάζει η εξέταση των μαθηματικών κατεύθυνσης.

Καλή επιτυχία σε όλες και σε όλους! Να σκίσετε παιδιά!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[eyb0ss]

Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ένα σημείο του διαστήματος στο οποίο η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.

Αν και , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και τα όρια υπάρχουν και είναι ίσα με .
Δηλαδή:
άρα υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε άρα για κάθε .
άρα υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε άρα για κάθε .
Θεωρούμε το μικρότερο στοιχείο του συνόλου και θα έχουμε:
για κάθε
για κάθε
συνεχής στο ως παραγωγίσιμη στο επομένως σύμφωνα με το κριτήριο της πρώτης παραγώγου το είναι τοπικό ελάχιστο.
Q.E.D. (Έτσι, για ποζεριά)

Ομοίως, αν και τότε η απόδειξη είναι ίδια και το είναι τοπικό μέγιστο.

Ευχαριστώ πολύ τον styt_geia για την διόρθωση του όσον αφορά τη διάταξη του .
Οποιεσδήποτε προτάσεις ή διορθώσεις δεκτές αλλά σε pm για να μην "μολυνθεί" το θέμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.