Άσκηση στα μαθηματικά (αντιπαραγώγιση)

[Guest 831328]

Καλησπέρα μπορεί κάποιος να με βοηθήσει στο III και στο iv ερώτημα αυτής της άσκησης;

 

[F1L1PAS]

Καλησπέρα μπορεί κάποιος να με βοηθήσει στο III και στο iv ερώτημα αυτής της άσκησης;

και στα 2 ερωτηματα βγαινει g(x)=c=1 = (ημχ)^2 + (συνχ)^2
δεν ξερω πως ομως θα πεις f(x)=ημχ ή f(x)=-συνχ

 

[Guest 831328]

Ναι για αυτό ρωτάω το πρώτο που παρέθεσες το ξέρω

 

[Oof]

Νομίζω θέτεις συνάρτηση h(x) =f+συνχ και δείχνεις ότ το g(h(x)) είναι σταθερό

 

[Oof]

Σε συνέχεια προηγούμενου σχολίου που μάλλον δεν εξήγησα πλήρως, προκυπτει ότι η h''=-h δηλαδή ισχύει ότι και για την f άρα ισχύει και ότι η συνάρτηση h' ^2 + h^2 θα είναι σταθερή. Μένει να δείξεις ότι το c είναι 0 που βγαίνει από τις τιμές που δίνει και μετά προκύπτει h =0 άρα f +συνχ =0

 

[Cade]

Επεκτείνω λίγο τη πολύ ωραία σκέψη του @Oof στη γενική περίπτωση.

 

[eukleidhs1821]

μην ζαλιζετε το μυαλο σας με τοσο ακραιες ασκησεις.δεν προκειται να τεθει ποτε κατι τετοιο.τσαμπα χρονο χανετε

 

[Cade]

ναι δεν ηταν ευκολη... @ai man απο που ειναι η ασκηση αυτη;

 

[Guest 831328]

Από το φυλλάδιο που έχουμε στο φροντιστήριο. Έχει και ο Μπάρλας μια παρόμοια. Το "μυστικό" από ότι κατάλαβα είναι να ξεκινήσεις από το ζητούμενο καθώς τπτ δεν μπορεί να βγει από κάποια σχέση που σου δίνει στα δεδομένα. Δηλαδή αν ήταν η ερώτηση να βρείτε τον τύπο της f η άσκηση δεν θα μπορούσε να λυθεί

 

[Cade]

Από το φυλλάδιο που έχουμε στο φροντιστήριο. Έχει και ο Μπάρλας μια παρόμοια. Το "μυστικό" από ότι κατάλαβα είναι να ξεκινήσεις από το ζητούμενο καθώς τπτ δεν μπορεί να βγει από κάποια σχέση που σου δίνει στα δεδομένα. Δηλαδή αν ήταν η ερώτηση να βρείτε τον τύπο της f η άσκηση δεν θα μπορούσε να λυθεί

Προφανώς πρέπει να υποψιαστείς ότι η λύση έρχεται από ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς συναρτήσεις επειδή 2 τετράγωνα κάνουν 1. Το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να δεις εάν επαληθεύουν την αρχική και να βγάλεις συμπέρασμα. Η άσκηση αυτή μπορεί να λυθεί αν την γράψεις d^2y/dx^2..., τη φέρεις στην κατάλληλη μορφή και μετά ολοκληρώσεις αλλά βέβαια δεν ειναι για γ λυκείου. Πάντως πολλές λύσεις στα μαθηματικά προέρχονται από διαίσθηση πες το και "παρατήρηση" και δεν υπάρχει μεθοδολογια

 

[Guest 831328]

Μια άλλη εδώ που δεν βγάζω άκρη.
f,g: (-1,+00)-->R παραγωγίσιμες με f(0)=g(0)=1 και f(x)>0 και g(x)>0 για κάθε Χ> -1. Αν ισχύει.
2f'(x) + ((f(x))^2)g(x) = 2g'(x) + ((g(x))^2)f(x) = 0

Να αποδείξετε ότι f = g και να βρείτε τον τύπο της f

 

[Cade]

Μια άλλη εδώ που δεν βγάζω άκρη.
f,g: (-1,+00)-->R παραγωγίσιμες με f(0)=g(0)=1 και f(x)>0 και g(x)>0 για κάθε Χ> -1. Αν ισχύει.
2f'(x) + ((f(x))^2)g(x) = 2g'(x) + ((g(x))^2)f(x) = 0

Να αποδείξετε ότι f = g και να βρείτε τον τύπο της f

Όλο αυτό κάνει 0 ;
Εντάξει την έλυσα

Αν αντικαταστήσεις πάνω πρέπει να βγαίνει και ο τυπος

 

[Guest 831328]

Ναι βγαίνει τον τύπο τον έχω βρει την ισότητα ήθελα να αποδείξω. Προσπαθούσα να αποδείξω συνέχεια ότι f(x)-g(x) είναι σταθερή και ίση με 0 το πηλίκο τους ούτε που μου πέρασε από το μυαλό

 

[F1L1PAS]

Ναι βγαίνει τον τύπο τον έχω βρει την ισότητα ήθελα να αποδείξω. Προσπαθούσα να αποδείξω συνέχεια ότι f(x)-g(x) είναι σταθερή και ίση με 0 το πηλίκο τους ούτε που μου πέρασε από το μυαλό

Νομίζω οτι ειναι σωστος και ο δικος σου τροπος: εστω h(χ) = f(χ)-g(χ)
εστω h(χ) σταθερη, αρα πρεπει: h(χ) = c ==> f(x) - g(x) = c ==> f(0) - g(0) = c ==> c = 1-1 = 0 ==> f(x) - g(x) = 0 ==> f(x)=g(x) (1)
2f'(x)+f^2(x)g(x) = 2g'(x) + g^2(x)f(x) ==> 2(g'(x) - f'(x)) = g(x)f(x) [f(x) - g(x)] (2)

h σταθερη, αρα: h'(x)=0 ==> f'(x) - g'(x) = 0 ==> g'(x) - f'(x) = 0 ==> 2(g'(x) - f'(x)) = 0
Απο το (2) προκυπτει:
g(x)f(x) [f(x)-g(x)] = 0 ==> f(x) - g(x) = 0 ==> f(x) = g(x) επαληθευει το (1)

(Το g(x)f(x) "φευγει" επειδη η εκφωνηση λεει πως ειναι >0)

ΥΓ1: Πειτε μου αν εκανα καποιο λαθος...
ΥΓ2: Τον τυπο της f πως τον βρισκουμε?

 

[Cade]

Νομίζω οτι ειναι σωστος και ο δικος σου τροπος: εστω h(χ) = f(χ)-g(χ)
εστω h(χ) σταθερη, αρα πρεπει: h(χ) = c ==> f(x) - g(x) = c ==> f(0) - g(0) = c ==> c = 1-1 = 0 ==> f(x) - g(x) = 0 ==> f(x)=g(x) (1)
2f'(x)+f^2(x)g(x) = 2g'(x) + g^2(x)f(x) ==> 2(g'(x) - f'(x)) = g(x)f(x) [f(x) - g(x)] (2)

h σταθερη, αρα: h'(x)=0 ==> f'(x) - g'(x) = 0 ==> g'(x) - f'(x) = 0 ==> 2(g'(x) - f'(x)) = 0
Απο το (2) προκυπτει:
g(x)f(x) [f(x)-g(x)] = 0 ==> f(x) - g(x) = 0 ==> f(x) = g(x) επαληθευει το (1)

(Το g(x)f(x) "φευγει" επειδη η εκφωνηση λεει πως ειναι >0)

ΥΓ1: Πειτε μου αν εκανα καποιο λαθος...
ΥΓ2: Τον τυπο της f πως τον βρισκουμε?

Δεν νομίζω πως βγαίνει έτσι και η υπόθεση πως η h είναι σταθερή δεν είναι σωστή. Δηλαδή υπέθεσες ότι f=g. Άρα τι θα αποδείξεις ;
Τώρα για τον τύπο βάζεις όπου g(x)-> f(x) σε μια από τις 2 αρχικές και βγαίνει :
2f'(x) +[f(x)]^3=0 <=> -2f'(x)/[f(x)]^3 =1 <=> [1/(f(x))^2]' = (x)'...

 

[F1L1PAS]

Δεν νομίζω πως βγαίνει έτσι και η υπόθεση πως η h είναι σταθερή δεν είναι σωστή. Δηλαδή υπέθεσες ότι f=g. Άρα τι θα αποδείξεις ;
Τώρα για τον τύπο βάζεις όπου g(x)-> f(x) σε μια από τις 2 αρχικές και βγαίνει :
2f'(x) +[f(x)]^3=0 <=> -2f'(x)/[f(x)]^3 =1 <=> [1/(f(x))^2]' = (x)'...

Ναι, επρεπε να το γραψω αναποδα αυτο το σημειο:

h σταθερη, αρα: h'(x)=0 ==> f'(x) - g'(x) = 0 ==> g'(x) - f'(x) = 0 ==> 2(g'(x) - f'(x)) = 0
Απο το (2) προκυπτει:
g(x)f(x) [f(x)-g(x)] = 0 ==> f(x) - g(x) = 0 ==> f(x) = g(x)

δηλαδη, θα επρεπε να ξεκινησω απο f(x)=g(x) , αφου αυτο ηταν το αποτελεσμα της υποθεσης στο (1), και επειτα να καταληξω στο h'(x) = 0 για να πω οτι επαληθευεται η υποθεση.

το καταλαβα αυτο με τον τυπο, δεν θυμομουν οτι ισχυει η σχεση: 2f'(x)/f^3(x) = (1/f(x))'

 

[Oof]

Ναι, επρεπε να το γραψω αναποδα αυτο το σημειο:

δηλαδη, θα επρεπε να ξεκινησω απο f(x)=g(x) , αφου αυτο ηταν το αποτελεσμα της υποθεσης στο (1), και επειτα να καταληξω στο h'(x) = 0 για να πω οτι επαληθευεται η υποθεση.

το καταλαβα αυτο με τον τυπο, δεν θυμομουν οτι ισχυει η σχεση: 2f'(x)/f^3(x) = (1/f(x))'

Όχι το θέμα είναι ότι κάνεις κύκλο. Θες να δείξεις ότι η h είναι σταθερή. Υποθέτεις ότι είναι, λες ότι αυτό σημαίνει ότι h' =0 και λες που ισχύει επειδή h σταθερή ουσιαστικά.

 

[F1L1PAS]

Όχι το θέμα είναι ότι κάνεις κύκλο. Θες να δείξεις ότι η h είναι σταθερή. Υποθέτεις ότι είναι, λες ότι αυτό σημαίνει ότι h' =0 και λες που ισχύει επειδή h σταθερή ουσιαστικά.

Η λογικη μου:
υποθεση + α' δεδομενο απο εκφωνηση ==> αποτελεσμα (1)

(1) + β' + γ' δεδομενα απο εκφωνηση ==> υποθεση

Αυτο θεωρειται κυκλος?? Γιατι??

Μου φαινεται σαν ατοπο απαγωγη αλλα αναποδα (περιπου)...

 

[Oof]

Δεν υπάρχει άτοπο ανάποδα κάνεις ένα συχνό λάθος στα μαθηματικά που λέγεται ληψη του ζητουμενου. Αν δεις την απόδειξη σου ξεκινάς υποθέτοντας ότι η h είναι σταθερή και με τα ενδιάμεσα βήματα καταλήγεις στο ότι τότε η h είναι σταθερή και λες που ισχύει. Δηλαδή λες αν η h είναι σταθερή τότε είναι σταθερή το οποίο ισχύει άρα η h είναι σταθερή. Δε ξέρω αν το βλέπεις τώρα

 

[Cade]

Ας δούμε και λίγο γενικά το θέμα βάσει της μαθηματικής λογικής. Έστω ότι θέλεις να συμπεράνεις την αλήθεια μιας πρότασης q. Για να γίνει αυτό μπορείς να ξεκινήσεις από μια αληθή πρόταση p και να δείξεις την αλήθεια της p=> q. Όμως αν ξεκινήσεις με την q (αυτή που θέλεις να αποδείξεις) και δειξεις ότι q=> p (συνεπαγωγή αληθής, p αληθής) για την q δεν μπορείς να πεις τίποτα και ούτε η συνεπαγωγη αυτή έχει σχέση με την απόδειξη της q.
Ή μπορείς να πάρεις την άρνηση της q και με συνεπαγωγες να προκύψει ατοπο, το ανάποδο δεν ισχύει