Ανώτερα Μαθηματικά

andreas157 · 23-06-09

καλωσήρθες στον κόσμο των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από andreas157:
καλωσήρθες στον κόσμο των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

omg!
Τοτε οριστε ρε παιδια και τις συναρτησεις αυτες.
Αλλα κατσε. Συναρτησεις πολλων μετ. ειναι και η f(x,y).Για μια τετοια μιλαμε;

Civilara · 23-06-09

Μερικά θεωρήματα του λογισμού πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής

1) Γενικευμένο θεώρημα της μέσης τιμής ή τύπος του Taylor

Αν η συνάρτηση f έχει συνεχείς παραγώγους τάξεως ν στο διάστημα Δ και είναι (ν+1) φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ (συμβολίζεται με ${\Delta }^{0}$ ) τότε για κάθε $\alpha ,\beta \epsilon \Delta$ με $\alpha <\beta$ υπάρχει $\xi \epsilon (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε

$f(\beta )=f(\alpha )+\frac{f'(\alpha )}{1!}(\beta -a)+...+\frac{{f}^{(\nu )}(\alpha) }{\nu !}{(\beta -\alpha )}^{\nu }+\frac{{f}^{(\nu+1 )}(\xi ) }{(\nu+1) !}{(\beta -\alpha )}^{\nu +1}$

2) Κριτήριο ν-στής παραγώγου

Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και ν φορές παραγωγίσιμη στο σημείο $\xi \epsilon {\Delta }^{0}$ , με

$f'(\xi )=f''(\xi )=...={f}^{(\nu -1)}(\xi )=0$ και ${f}^{(\nu )}(\xi )\neq 0$

Αν ν άρτιος και ${f}^{(\nu )}(\xi )> 0$ , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου.

Αν ν άρτιος και ${f}^{(\nu )}(\xi )< 0$ , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού μεγίστου.

Αν ν περιττός, τότε το ξ είναι σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη.

3) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο $\Delta -\left[{x}_{0} \right]$ . Αν η f' έχει όριο στο ${x}_{0}$ , τότε η f είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο στο ${x}_{0}$ .

4) Θεώρημα Darboux

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσισμη στο διάστημα [α,β], τότε η παράγωγός της f' παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β), δηλαδή το f'([α,β]) είναι διάστημα

5) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(α)f'(β)<0, τότε υπάρχει $\xi \epsilon (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0

6) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\epsilon \Delta$ , τότε η f είναι γνησίως μονότονη.

7) Θεώρημα Fermat

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] και ${x}_{0}\epsilon (\alpha ,\beta )$

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(\alpha )\geq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(\alpha )\leq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(\beta )\leq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(\beta )\geq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ${x}_{0}$ και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'({x}_{0})=0$ .

8) Ανισότητα Schwarz

Αν f,g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε ${\left( \int_{\alpha }^{\beta }f(x)g(x)dx\right)}^{2}\leq \left( \int_{\alpha }^{\beta }{f}^{2}(x)dx\right)\left( \int_{\alpha }^{\beta }{g}^{2}(x)dx\right)$

9) Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει $\xi \epsilon (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $\int_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=f(\xi )(\beta -\alpha )$

10) Κανόνας Leibnitz

Αν g,h παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα Δ και f συνεχής συνάρτηση στο $g(\Delta )\bigcup h(\Delta )$ , τότε η συνάρτηση $F(x)=\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$ είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει $F'(x)=f\left(g(x) \right)g'(x)-f\left(h(x) \right)h'(x)$

11) Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο [α,β] τότε η αντίστροφη συνάρτηση ${f}^{-1}$ είναι συνεχής στο $f([\alpha ,\beta])=[m,M]$ .

12) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, φραγμένο ή μη, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι συνεχής

13) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

14) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
αυτο που τονισα δε το καταλαβα. καλα.
το y δεν ειναι η εξαρτημενη μεταβλητη; Πώς γινεται να ειναι και οι δυο εξαρτημενες;

Νομίζω ότι αυτό ειναι απλό και δεν χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών για να το καταλάβει. Στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου μαθαίνετε ότι οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου ακτίνας ρ και κέντρου Ο(0,0) είναι

x=ρcosφ=f(φ)
y=ρsinφ=g(φ)

όπου φ στο διάστημα [0,2π). Για φ=0 και φ=2π έχουμε το ίδιο σημείο αφού f(0)=f(2π)=ρ και g(0)=g(2π)=0.

andreas157 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
omg!
Τοτε οριστε ρε παιδια και τις συναρτησεις αυτες.
Αλλα κατσε. Συναρτησεις πολλων μετ. ειναι και η f(x,y).Για μια τετοια μιλαμε;

για τέτοια μιλάμε. αλλα x = x(t), y = y(t).

Άρα η συνάρτηση f είναι συνάρτηση του t.

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Μερικά θεωρήματα του λογισμού πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής

1) Γενικευμένο θεώρημα της μέσης τιμής ή τύπος του Taylor

Αν η συνάρτηση f έχει συνεχείς παραγώγους τάξεως ν στο διάστημα Δ και είναι (ν+1) φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ (συμβολίζεται με ${Delta }^{0}$ ) τότε για κάθε $alpha ,beta epsilon Delta$ με $alpha <beta$ υπάρχει $xi epsilon (alpha ,beta )$ τέτοιο ώστε

$f(beta )=f(alpha )+frac{f'(alpha )}{1!}(beta -a)+...+frac{{f}^{(nu )}(alpha) }{nu !}{(beta -alpha )}^{nu }+frac{{f}^{(nu+1 )}(xi ) }{(nu+1) !}{(beta -alpha )}^{nu +1}$

2) Κριτήριο ν-στής παραγώγου

Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και ν φορές παραγωγίσιμη στο σημείο $xi epsilon {Delta }^{0}$ , με

$f'(xi )=f''(xi )=...={f}^{(nu -1)}(xi )=0$ και ${f}^{(nu )}(xi )neq 0$

Αν ν άρτιος και ${f}^{(nu )}(xi )> 0$ , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου.

Αν ν άρτιος και ${f}^{(nu )}(xi )< 0$ , τότε το ξ είναι σημείο τοπικού μεγίστου.

Αν ν περιττός, τότε το ξ είναι σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη.

3) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο $Delta -left[{x}_{0} right]$ . Αν η f' έχει όριο στο ${x}_{0}$ , τότε η f είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο στο ${x}_{0}$ .

4) Θεώρημα Darboux

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσισμη στο διάστημα [α,β], τότε η παράγωγός της f' παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β), δηλαδή το f'([α,β]) είναι διάστημα

5) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(α)f'(β)<0, τότε υπάρχει $xi epsilon (alpha ,beta )$ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0

6) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει $f'(x)neq 0$ για κάθε $xepsilon Delta$ , τότε η f είναι γνησίως μονότονη.

7) Θεώρημα Fermat

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] και ${x}_{0}epsilon (alpha ,beta )$

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(alpha )geq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(alpha )leq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(beta )leq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'(beta )geq 0$ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${x}_{0}$ και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε $f'({x}_{0})=0$ .

8) Ανισότητα Schwarz

Αν f,g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε ${left( int_{alpha }^{beta }f(x)g(x)dxright)}^{2}leq left( int_{alpha }^{beta }{f}^{2}(x)dxright)left( int_{alpha }^{beta }{g}^{2}(x)dxright)$

9) Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει $xi epsilon (alpha ,beta )$ τέτοιο ώστε $int_{alpha }^{beta }f(x)dx=f(xi )(beta -alpha )$

10) Κανόνας Leibnitz

Αν g,h παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα Δ και f συνεχής συνάρτηση στο $g(Delta )bigcup h(Delta )$ , τότε η συνάρτηση $F(x)=int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$ είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει $F'(x)=fleft(g(x) right)g'(x)-fleft(h(x) right)h'(x)$

11) Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο [α,β] τότε η αντίστροφη συνάρτηση ${f}^{-1}$ είναι συνεχής στο $f([alpha ,beta])=[m,M]$ .

12) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, φραγμένο ή μη, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι συνεχής

13) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)

14) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της ${f}^{-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
-----------------------------------------

Νομίζω ότι αυτό ειναι απλό και δεν χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών για να το καταλάβει. Στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου μαθαίνετε ότι οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου ακτίνας ρ και κέντρου Ο(0,0) είναι

x=ρcosφ=f(φ)
y=ρsinφ=g(φ)

όπου φ στο διάστημα [0,2π). Για φ=0 και φ=2π έχουμε το ίδιο σημείο αφού f(0)=f(2π)=ρ και g(0)=g(2π)=0.

και η συναρτησησ της καμπυλης ποια ειναι;
γιατι ειναι

.
Και γενικα πώς τη μελεταμε; Πρεπεει να τησ σπασουμε σε 2;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
και η συναρτησησ της καμπυλης ποια ειναι;
γιατι ειναι

.
Και γενικα πώς τη μελεταμε; Πρεπεει να τησ σπασουμε σε 2;

Ο κύκλος είναι καμπύλη που δεν παριστάνεται από συνάρτηση. Αλλά κάθε καμπύλη του επιπέδου παριστάνεται με παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x=f(t) και y=g(t) είτε είναι συνάρτηση είτε όχι. Τα σημεία της καμπύλης είναι για τις διάφορες τιμές του t τα (x,y)=(f(t),g(t)) στο επίπεδο Οxy. Αν είναι συνάρτηση τότε x=t και y=f(t) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης y=f(x).

paganini666 · 23-06-09

Θελουμε να βρουμε το συνολο των εικονοων των μιγαδικων z:

(1)
με πραξεις γραφουμε

και γραφει οτι η (1) ειναι ισοδυναμη με

και Β>0.
Αυτο με την εφαπτομενη το καταλαβα. Το Β>0 γιατι;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Θελουμε να βρουμε το συνολο των εικονοων των μιγαδικων z:

(1)
με πραξεις γραφουμε

και γραφει οτι η (1) ειναι ισοδυναμη με

και Β>0.
Αυτο με την εφαπτομενη το καταλαβα. Το Β>0 γιατι;

Δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Ο παρανομαστής της έκφρασης του ημιτόνου και του συνημιτόνου του ορίσματος είναι θετικός αφού ισούται με το μέτρο του μιγαδικού, όχι της εφαπτομένης.

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Ο παρανομαστής της έκφρασης του ημιτόνου και του συνημιτόνου του ορίσματος είναι θετικός αφού ισούται με το μέτρο του μιγαδικού, όχι της εφαπτομένης.

αρα εχει λαθος το σχολικο;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
αρα εχει λαθος το σχολικο;

Όταν είπα ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο εννοούσα στη γενική περίπτωση. Λάθος δικό μου. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι και Α>0 και Β>0 αφού η γωνία π/6 ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο. Το σχολικό βιβλίο είναι σωστό.

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Όταν είπα ότι δεν ισχύει κάτι τέτοιο εννοούσα στη γενική περίπτωση. Λάθος δικό μου. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι και Α>0 και Β>0 αφού η γωνία π/6 ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο. Το σχολικό βιβλίο είναι σωστό.

Ayto δε το αναφερει πουθενα.
Αρα αν Αrg στο 1ο τοτε Α>0 ,Β>0
αν Arg στο 2ο, τοτε Α<0,Β>0 κλπ;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Ayto δε το αναφερει πουθενα.
Αρα αν Αrg στο 1ο τοτε Α>0 ,Β>0
αν Arg στο 2ο, τοτε Α<0,Β>0 κλπ;

Τα Α και Β έχουν το ίδιο πρόσημο με συνArg και ημArg αντίστοιχα, οπότε ανάλογα με τη γωνία βγάζεις τα πρόσημα από τον τριγωνομετρικό κύκλο.

paganini666 · 23-06-09

μας λενε στη φυσικη οτι τις ροπες αδρανειας στη φυσικη τις υπολογιζουμε με ολοκληρωματα αλλα να μη μας νοιαζει πώς. Ρωταω λοιπον ΠΩΣ;

Civilara · 24-06-09

Πρέπει να ξέρεις ορισμένα πράγματα από το λογισμό πολλών μεταβλητών. Τώρα αν σου πω δεν θα καταλάβεις τίποτα και είναι λογικό.

paganini666 · 24-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Πρέπει να ξέρεις ορισμένα πράγματα από το λογισμό πολλών μεταβλητών. Τώρα αν σου πω δεν θα καταλάβεις τίποτα και είναι λογικό.

πες μου αυτα τα ορισμενα πραγματα!

Civilara · 24-06-09

Ας γράψω τους τύπους που υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας. Με επεισες paganini.

Έστω σύστημα Oxy στο επίπεδο.

Οι ροπές αδράνειας της καμπύλης C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα επικαμπύλια ολοκληρώματα

${I}_{x}=\int_{C}^{}{y}^{2}\varrho ds$
${I}_{y}=\int_{C}^{}{x}^{2}\varrho ds$

Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y: ${I}_{xy}=\int_{C}^{}xy\varrho ds$

Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων καμπύλων, όπως της ευθύγραμμης ράβδου και της κυκλικής περιφέρειας

Οι ροπές αδράνειας του επίπεδου χωρίου Α που σχηματίζεται από μία κλειστή και συνεχή επίπεδη καμπύλη C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα διπλά ολοκληρώματα

${I}_{x}=\int_{}^{}\int_{A}^{}{y}^{2}\rho dA$
${I}_{y}=\int_{}^{}\int_{A}^{}{x}^{2}\rho dA$

Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y: ${I}_{xy}=\int_{}^{}\int_{A}^{}xy\rho dA$

Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων χωρίων, όπως του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και του κυκλικού δίσκου.

Ανάλογοι τύποι υπαρχουν για καμπύλες και επιφάνειες στο χώρο καθώς και για συμπαγή στερεά σώματα.

paganini666 · 24-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ας γράψω τους τύπους που υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας. Με επεισες paganini.

Έστω σύστημα Oxy στο επίπεδο.

Οι ροπές αδράνειας της καμπύλης C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα επικαμπύλια ολοκληρώματα

${I}_{x}=int_{C}^{}{y}^{2}varrho ds$
${I}_{y}=int_{C}^{}{x}^{2}varrho ds$

Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y: ${I}_{xy}=int_{C}^{}xyvarrho ds$

Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων καμπύλων, όπως της ευθύγραμμης ράβδου και της κυκλικής περιφέρειας

Οι ροπές αδράνειας του επίπεδου χωρίου Α που σχηματίζεται από μία κλειστή και συνεχή επίπεδη καμπύλη C ως προς τους άξονες x και y υπολογίζονται από τα διπλά ολοκληρώματα

${I}_{x}=int_{}^{}int_{A}^{}{y}^{2}rho dA$
${I}_{y}=int_{}^{}int_{A}^{}{x}^{2}rho dA$

Επίσης ορίζεται και η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες x και y: ${I}_{xy}=int_{}^{}int_{A}^{}xyrho dA$

Με αυτούς τους τύπους υπολογίζονται οι ροπές αδράνειας των επίπεδων χωρίων, όπως του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και του κυκλικού δίσκου.

Ανάλογοι τύποι υπαρχουν για καμπύλες και επιφάνειες στο χώρο καθώς και για συμπαγή στερεά σώματα.

ειχες καποιο δικιο.

Civilara · 24-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
ειχες καποιο δικιο.

Ήμουν σίγουρος ότι θα μου το 'λεγες αυτό

paganini666 · 24-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Ήμουν σίγουρος ότι θα μου το 'λεγες αυτό

ημουν σιγουρος οτι θα το ελεγα αυτο.

Civilara · 24-06-09

Κάτι που αξίζει να ξέρει κανείς τελειώνοντας την Γ΄ Λυκείου

Θεωρείστε στις συναρτήσεις

$f(x)=sinx, x\epsilon \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$
$g(x)=cosx, x\epsilon \left[0,\pi \right]$
$h(x)=tanx, x\epsilon \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$

Οι συναρτήσεις f, g, h είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού τους άρα και αντιστρέψιμες

1) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφου) ημιτόνου η αντίστροφη συνάρτηση της f ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η f είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξημx ή Arcsinx:

$y=f(x)\Leftrightarrow x={f}^{-1}(y)$
$y=sinx\Leftrightarrow x=Arcsiny$

Στη συγκεκριμένη περίπτωση $x\epsilon \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$ και $y\epsilon [-1,1]$ . Γράφεται ${f}^{-1}(x)=Arcsinx,x\epsilon [-1,1]$ και $-\frac{\pi }{2}\leq Arcsinx\leq \frac{\pi }{2}$

2) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφου) συνημιτόνου η αντίστροφη συνάρτηση της g ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η g είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξσυνx ή Arccosx:

$y=g(x)\Leftrightarrow x={g}^{-1}(y)$
$y=cosx\Leftrightarrow x=Arccosy$

Στη συγκεκριμένη περίπτωση $x\epsilon \left[0,\pi \right] \right]$ και $y\epsilon [-1,1]$ . Γράφεται ${g}^{-1}(x)=Arccosx,x\epsilon [-1,1]$ και $0\leq Arccosx\leq \pi$

3) Ορίζεται ως συνάρτηση τόξου (ή αντίστροφης) εφαπτομένης η αντίστροφη συνάρτηση της h ξεχωριστά σε κάθε υποσύνολο του R που η h είναι 1-1 και συμβολίζεται με τοξεφx ή Arctanx:

$y=h(x)\Leftrightarrow x={g}^{-1}(y)$
$y=tanx\Leftrightarrow x=Arctany$

Στη συγκεκριμένη περίπτωση $x\epsilon \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ και $y\epsilon R$ . Γράφεται ${h}^{-1}(x)=Arctanx,x\epsilon R$ και $-\frac{\pi }{2}< Arctanx<\frac{\pi }{2}$
-----------------------------------------
Μερικά θεωρήματα για την παραγώγιση αντίστροφων συναρτήσεων

1) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα Δ (οπότε η αντίστροφή της υπάρχει και είναι συνεχής στο διάστημα f(Δ)) και παραγωγίσιμη στο $\xi \epsilon \Delta$ με $f'(\xi )\neq 0$ , τότε η ${f}^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\eta =f(\xi )$ και ισχύει:

$\left({f}^{-1} \right)'(f(\xi ))=\frac{1}{f'(\xi )}\Leftrightarrow \left({f}^{-1} \right)'(\eta )=\frac{1}{f'\left( {f}^{-1}(\eta )\right)}$

2) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο $\xi \epsilon \Delta$ με $f'(\xi)=0$ , τότε

$\lim_{y\rightarrow \eta }\frac{({f}^{-1})(y)-({f}^{-1})(\eta )}{y-\eta }=+\propto \Leftrightarrow \lim_{y\rightarrow f(\xi ) }\frac{({f}^{-1})(y)-\xi}{y-f(\xi ) }=+\propto$

3) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο $\xi \epsilon \Delta$ με $f'(\xi)=0$ , τότε

$\lim_{y\rightarrow \eta }\frac{({f}^{-1})(y)-({f}^{-1})(\eta )}{y-\eta }=-\propto \Leftrightarrow \lim_{y\rightarrow f(\xi ) }\frac{({f}^{-1})(y)-\xi}{y-f(\xi ) }=-\propto$

4) Το $\lim_{y\rightarrow \eta }\frac{({f}^{-1})(y)-({f}^{-1})(\eta )}{y-\eta }$ υπάρχει αν και μόνο αν υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow \xi }\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }$ όπου $\eta =f(\xi )$ .

Ανώτερα Μαθηματικά

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος